第28章
锐角三角函数
A
B
C
“斜而未倒”
BC=5.2m
AB=54.5m
α
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
分析：
情
境
探
究
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
A
B
C
50m
30m
B '
C '
AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
结论
问题
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比
叫做∠A的正弦（sine），记住sinA 即
当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
c
a
b
对边
斜边
正 弦 函 数
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解： （1）在Rt△ABC中，
因此
（2）在Rt△ABC中，
因此
A
B
C
A
B
C
3
4
13
例 题 示 范
5
练一练
1.判断对错:
√
√
×
×
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
×
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小
C.不变 D.不能确定
C
练一练
根据下图，求sinA和sinB的值．
A
B
C
3
5
练习
解： （1）在Rt△ABC中，
因此
根据下图，求sinA和sinB的值．
A
B
C
12
5
练习
解： （1）在Rt△ABC中，
因此
根据下图，求sinB的值．
A
B
C
n
练习
解： （1）在Rt△ABC中，
因此
m
练习
如图，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，图中sinB可由哪两条线段比求得。
解：在Rt△ABC中，
在Rt△BCD中，
因为∠B=∠ACD，所以
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。
如图, ∠C=90°CD⊥AB.
sinB可以由哪两条线段之比?
想一想
若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.
解: ∵∠B=∠ACD
∴sinB=sin∠ACD
在Rt△ACD中，AD=
sin ∠ACD=
∴sinB=
=4
小结
本节课你有什么收获呢？
回味无穷
1.锐角三角函数定义:
2.sinA是∠A的函数.
3.只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.
Sin300 =
sin45°=
小结
如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，
所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1,
如果∠A ＜ ∠B,则BC＜AC ,
那么0＜ sinA ＜sinB ＜1
＜1
＜1