第三节 牛顿第二定律
上节课实验探讨
其数学表达式是：
(其中k为比例常数)
力对物体产生的加速度跟作用力成正比,跟物体的质量成反比加速度的方向跟引起这个加速度的力的方向相同
或F=Kma
在国际单位制中，力的单位是牛顿。牛顿这个单位就是这样定义的：使质量是1kg的物体产生1m/s2的加速度的力为1N，即1N=1kg·m/s2。
可见，如果F=Kma中都用国际单位制中的单位，就可以使k=1，那么公式则简化为F=ma，这就是牛顿第二定律的数学公式。
3．牛顿第二定律公式简化形式：F＝ma
牛顿第二定律的表达式F＝kma中，k的数值取决于F、m、a所选取的单位．若选择合适的单位使k＝1，则可使上式最为简单．如果F、m、a的单位均己被确定，则k的数值就不能任意选择．现在的情况是m，a的单位已被确定，在国际单位制中它们的单位分别是kg、m/s2，而F的单位尚未确定．于是根据牛顿第二定律，规定国际单位制中力的单位“牛顿”(简称“牛”，符号是N)为：使质量是1kg的物体产生1m/s2的加速度的力为1N，即1N＝1kg·m/s2.从而，k＝1，牛顿第二定律的表达式就简化为F＝ma.
2、牛顿第二定律的推广
当物体受到几个力的作用时，牛顿第二定律也是正确的，不过这时F代表的是物体所受外力的合力。牛顿第二定律更一般的表述是：
物体的加速度跟所受的外力的合力成正比，跟物体的质量成反比
加速度的方向跟合外力的方向相同
数学表达式是：
F合=ma
特别提醒：
对G＝mg的理解
1．式中的m表示物体的质量．质量是物体所含物质的多少，是物体惯性大小的量度；只有大小，没有方向，是标量；其大小由物体本身的因素决定，与物体所处的位置无关．
2．式中的G是物体所受的重力，也称为物体的重量，是由于地球的吸引而使物体受到的一种力，是重力加速度g产生的原因；是矢量，方向总是竖直向下；大小除与物体的质量有关外，还与物体所处的地理位置有关，质量相同的物体在不同的地理位置的重量会略有差异．
3．式中的g开始是以比例常数的身份引入的，g＝9.8N/kg，现在我们知道，g就是重力加速度，虽然各地的值略有差异，如北京地区的重力加速度g＝9.801m/s2，广州地区的重力加速度g＝9.788m/s2，但差异不大，通常的计算中可取g＝9.8m/s2，有时为了计算方便，取g＝10m/s2.
4．根据牛顿第二定律，G＝mg可理解为G是使质量为m的物体产生重力加速度为g的力．
4．对牛顿第二定律的理解
(1)矢量性：牛顿第二定律的公式是矢量式，任一瞬间，a的方向均与F合的方向一致．
(2)瞬时性：加速度与合外力是瞬时对应关系，同时产生，同时变化，同时消失．
(3)同体性：F合、m及a是对同一物体或同一系统而言的．
(4)独立性：即力的独立作用原理，当物体受多个力作用时，每一个力都产生一个加速度，物体运动的加速度为每个力产生的加速度的矢量和．
(5)相对性：物体的加速度必须是对静止的或匀速直线运动的参考系而言的．对加速运动的参考系不适用．如图所示，若物体A、B均加速运动，但加速度不同，求B相对于A的加速度时，若以A为参考系，运用牛顿第二定律则是错误的，因为A是加速运动的．只能是运用牛顿第二定律求B对地的加速度aB和A对地的加速度aA，然后得到aBA＝aB－aA.
7．定律的物理意义
牛顿第二定律以简单的数学形式表明了运动和力的关系．使我们能够把物体的运动情况和受力情况有机地联系起来.
1．物体所受合外力的方向决定了其加速度的方向，合外力与加速度的大小关系是F＝ma，只要有合外力，不管速度是大还是小，或是零，都有加速度，只要合外力为零，则加速度为零，与速度的大小无关．只有速度的变化率才与合外力有必然的联系．
2．合力与速度同向时，物体做加速运动，反之减速．
3．力与运动关系：
力是改变物体运动状态的原因，即力→加速度→速度变化(运动状态变化)，物体所受到的合外力决定了物体加速度的大小，而加速度的大小决定了单位时间内速度变化量的大小，加速度的大小与速度大小无必然的联系．
特别提醒：
物体的加速度的方向与物体所受的合外力是瞬时对应关系，即a与合力F方向总是相同，但速度v的方向不一定与合外力的方向相同．
总结
应用牛顿第二定律解题可分为二类、一类是已知物体受力情况求解物体的运动状况，另一类是已知物体运动状况，求解物体受力．无论哪一类习题，它们的解题方法都遵循基本规律，应用牛顿第二定律的解题步骤为：
①认真分析题意，建立物理图景．明确已知量和所求量．
②选取研究对象，所选取的对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的系统（有关这一点，我们以后再讲解）．
③对研究对象的受力进行分析．利用力的合成与分解，求合力表达式方程或分力表达式方程．
④对研究对象的运动状态进行分析，运用运动学公式，求得物体加速度表达式．
⑤根据牛顿第二定律F＝ma，联合力的合成、分解的方程和运动学方程组成方程组．
⑥求解方程组，解出所求量，若有必要，对所求量进行讨论．
正交分解法是把一个矢量分解在两个互相垂直的坐标轴上的方法，是一种常用的矢量运算方法．其实质是将复杂的矢量运算转化为简单的代数运算，从而简捷方便地解题，是解牛顿第二定律问题的基本方法．物体在受到三个或三个以上的力作用时一般都用正交分解法．
特别提醒：
正交分解建立坐标系的原则：
1．一般情况：以加速度方向为一个坐标抽的正方向，垂直于加速度方向为另一坐标轴的方向．
2．特珠情况：所有力都在两个互相垂直的方向上，而加速度不在这两个方向上，建立坐标系时应使各个力都在坐标轴上，即分解加速度而不分解力．
在应用牛顿第二定律求解物体的瞬时加速度时，经常会遇到轻绳、轻杆、轻弹簧和橡皮绳这些常见的力学模型．全面准确地理解它们的特点，可帮助我们灵活正确地分析问题．
这些模型的共同点是：都是质量可忽略的理想化模型，都会发生形变而产生弹力，同一时刻内部弹力处处相等且与运动状态无关．
这些模型的不同点是：
1．轻绳：只能产生拉力，且方向一定沿着绳子背离受力物体，不能承受压力；认为绳子不可伸长，即无论绳子所受拉力多大，长度不变(只要不被拉断)；绳子的弹力可以发生突变——瞬时产生，瞬时改变，瞬时消失．
2．轻杆：既能承受拉力，又可承受压力，施力或受力方向不一定沿着杆的轴向(只有“二力杆件”才沿杆的轴向)；认为杆子既不可伸长，也不可缩短，杆子的弹力也可以发生突变．
3．轻弹簧：既能承受拉力，又可承受压力，力的方向沿弹簧的轴线；受力后发生较大形变，弹簧的长度既可变长，又可变短，遵循胡克定律；因形变量较大，产生形变或使形变消失都有一个过程，故弹簧的弹力不能突变，在极短时间内可认为弹力不变．
4．橡皮条：只能受拉力，不能承受压力；其长度只能变长，不能变短，同样遵循胡克定律；因形变量较大，产生形变或使形变消失都有一个过程，故橡皮条的弹力同样不能突变．
例1如右图所示，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线偏离竖直方向37°角，球和车厢相对静止，球的质量为1kg(g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
典型例题解析
题型1 合成法与牛顿第二定律的结合应用
(1)求车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况．
(2)求悬线对球的拉力．

解析：(1)球和车厢相对静止，它们的运动情况相同，由于对球的受力情况知道的较多，故应以球为研究对象，球受两个力作用：重力mg和线的拉力F，由于球随车一起沿水平方向做匀变速直线运动，故其加速度沿水平方向，合外力沿水平方向．
规律总结：解答本题的关键是根据小球的加速度方向，判断出物体所受合力的方向，然后画出平行四边形，解其中的三角形就可求得结果．
变式训练1　一物体放置在倾角为θ的斜面上，斜面
固定于加速上升的电梯中，加速度为a，
如右图所示．在物体始终相对于斜面静止
的条件下，下列说法中正确的是
(　　)
A.当θ一定时，a越大，
斜面对物体的正压力越小
B．当θ一定时，a越大，
斜面对物体的摩擦力越大
C．当a一定时，θ越大，
斜面对物体的正压力越小
D．当a一定时，θ越大，
斜面对物体的摩擦力越小
答案：BC
解析：对物体受力分析如右图所示，设物体质量为m，物体具有向上的加速度a，因此物体所受的支持力FN和摩擦力Ff的合力F竖直向上，只有这样，F和重力G的合力F合才可能竖直向上．根据牛顿第二定律，有
F合＝F－mg＝ma(1)
根据力的合成有F＝FN/cosθ(2)
F＝Ff/sinθ(3)
由(1)(2)(3)式得
FN＝m(g＋a)cosθ(4)
Ff＝m(g＋a)sinθ(5)
由(4)(5)式知
当θ一定时，a越大，FN越大，A不正确；当θ一定时，a越大，Ff越大，B正确；
当a一定时，θ越大，FN越小　∴C正确；
当a一定时，θ越大，Ff越大，D不正确．
规律总结：在利用牛顿运动定律进行正交分解时，有时分解力而不分解加速度(本题也可以采用此法求解)，而有时分解加速度而不分解力．究竟是分解力还是分解加速度，要灵活掌握．为了解题方便，总的原则是应尽可能减少矢量的分解．通常是分解力而不分解加速度，只有在加速度和几个力既不在一条直线上又不垂直的时候才分解加速度而不分解力．
解析：小球受四个力作用(图中的mg、F、FN、F′)，在这四个力中FN和F′是未知的，而且加速度方向是沿着斜面的，如果沿杆建立坐标系，既可以少分解矢量又可以避免分解未知量，由于题中支持力FN的方向未知，可假定与y轴正向相同．
据题意，设斜杆对小球的支持力方向垂直于斜杆向上，则小球受力如图所示，据牛顿第二定律，在y轴方向
Fcosθ＋FN－mgcosθ＝0
例3小球A、B的质量分别为m和2m，用轻弹簧相连，然后用细线悬挂而静止，如图所示，在剪断细线瞬间，A、B的加速度各是多少？方向如何？
答案：aA＝3g，方向竖直向下　aB＝0
分析：这是用牛顿第二定律的瞬时性解决的一类问题，关键是弄清细线剪断前和剪断后瞬间A、B两球受力情况的变化．
解析：应该分两步解决．第一，剪断前对A、B球分别进行受力分析，并要明确各力的大小，如图所示；第二，在剪断细线的瞬间，细线对A球的拉力F2立即消失，而弹簧的形变尚未来得及改变，弹簧对A、B球的弹力也未改变．对A、B两球分别应用牛顿第二定律，求出二者的加速度大小和方向分
别为：aA＝ ，方向竖直
向下；aB＝0.
规律总结：分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析这一瞬时的受力情况和运动状态，再由牛顿第二定律求出瞬时加速度．此类问题应注意两种基本模型的建立：
(1)刚性绳(或接触面)：形变不明显，发生形变不需要时间，其弹力随外力的变化在瞬间就能发生突变；
(2)弹簧(或橡皮绳)：形变较大，发生形变需要一定的时间，其弹力在瞬间不能发生突变．
变式训练3　如右图所示，一只轻弹簧和一根细线共同拉住一个质量为m的小球，平衡时细线处于水平方向，弹簧与竖直方向的夹角为θ.若突然剪断细线，求剪断的瞬时，弹簧的拉力大小和小球的加速度的大小和方向．
答案：剪断细线之前，小球受力如右图所示．
根据力的平衡条件得出F拉＝mgtanθ，剪断细线的瞬时，F拉′＝0，小球只受F弹与mg两个力作用，这两个力在剪断前、后均不变，且二者的合力与F拉大小相等、方向相反．
所以此时F合＝mgtanθ，
即小球的加速度为a＝gtanθ.
解析：牛顿第二定律的瞬时性是牛顿第二定律的一个重要性质，当合外力发生变化时，其加速度也要相应发生变化．处理这种问题时，我们要想到物体运功的实际情境，分析出哪些力发生了变化，哪些力没有发生变化，然后根据F合＝ma计算．
例4如图所示，一个铁球从竖直在地面上的轻质弹簧的正上方某处自由落下，接触弹簧后将弹簧弹性压缩．从它接触弹簧开始到弹簧压缩到最短的过程中，小球的速度和受到的合外力的变化情况是 (　　)
A．合力变小，速度变小
B．合力变小，速度变大
C．合力先变小后变大，速度先变小后变大
D．合力先变小后变大，速度先变大后变小
答案：D
分析：抓住合外力的变化情况，分析加速度及速度的变化情况是分析动态问题的主线．
解析：铁球接触弹簧前，做自由落体运动，有一向下的速度．铁球接触弹簧后，在整个压缩弹簧的过程中，仅受重力G和弹簧弹力F的作用．开始压缩时，弹簧的弹力F小于物体的重力G，合外力向下，铁球向下做加速运动．但随着铁球向下运动，弹簧形变量增大，弹力随之增大，合外力减小，加速度减小，但速度增大．当弹簧弹力增至与重力相等的瞬间，合力为零，加速度为零，速度最大．此后，弹簧弹力继续增大，弹力大于重力，合力向上且逐渐增大，加速度向上且逐渐增大，直至铁球速度逐渐减小为零，此时弹簧压缩量最大．
规律总结：分析动态问题的方法是首先确定合外力的变化情况，然后根据牛顿第二定律确定物体的加速度情况，进而根据加速度与速度的方向关系确定速度的变化情况．
变式训练4　如右图所示，轻弹簧一端固定，另一端自由伸长时恰好到达O点，将质量为m(视为质点)的物体P与弹簧连接，并将弹簧压缩到A由静止释放物体后，物体将沿水平面运动．若物体与水平面的摩擦力不能忽略，则关于物体运动的下列说法中正确的是 (　　)
A．从A到O速度不断增大，
从O到B速度不断减小
B．从A到O速度先增大后减小，
从O到B速度不断减小
C．从A到O加速度先减小后增大，
从O到B加速度不断增大
D．从A到O加速度不断减小，
从O到B加速度不断增大
答案：BC
解析：设物体与水平面的动摩擦因数为μ，分析物体受力情况可知从A到O的过程中，弹簧对物体的弹力kx向右，摩擦力μmg向左，取向右为正方向，由牛顿第二定律可得：kx－μmg＝ma，开始阶段，kx>μmg，物体P向右加速，但a随x的减小而减小，当kx＝μmg时，加速度a＝0，此后a随x的减小而反向增大，因a与速度反向，物体P的速度减小；物体P由O到B的过程，弹簧处于伸长状态，弹簧对物体的弹力方向向左，摩擦力μmg也向左，取向左为正方向，有：kx＋μmg＝ma，a随x的增大而增大，故此过程a与v反向，物体的速度不断减小．综上所述只有B、C正确．
一、牛顿第二定律
1．内容
物体加速度的大小跟作用力成__________，跟物体的质量成__________，加速度的方向跟__________的方向相同，这就是牛顿第二定律．
2．表达式
F＝ma式中的F指的是物体所受的__________．
课时训练
二、力的单位
当物体的质量m＝1kg、在某力作用下它获得的加速度a＝__________时，F＝ma＝__________kg·m/s2，我们把这个力叫做“__________”，把__________称做牛顿，用符号__________表示．
自主校对：

一、1.正比　反比　作用力　2.合外力
　　　
二、1m/s2　1　一个单位的力　kg·m/s2　N
1．关于牛顿第二定律，以下说法中正确的是(　　)
A．由牛顿第二定律可知，加速度大的物
体，所受的合外力一定大
B．牛顿第二定律说明了，质量大的物体，
其加速度一定就小
C．由F＝ma可知，物体所受的合外力与物体
的质量成正比
D．对同一物体而言，物体的加速度与物体所受的合外力成正比，而且在任何情况下，加速度的方向，始终与物体所受的合外力方向一致
答案：D
解析：加速度是由合外力和质量共同决定的，故加速度大的物体，所受的合外力不一定大，故A、B错误；物体所受的合外力与物体的质量无关，故C错误，由牛顿第二定律可知，物体的加速度与物体所受的合外力成正比，并且加速度的方向与合外力方向一致，故D正确．
3．如图，位于水平地面上的质量为M的小木块，在大小为F、方向与水平方向成α角的拉力作用下沿地面做加速运动．若木块与地面之间的动摩擦因数为μ，则木块的加速度为 (　　)
A．F/M
B．Fcosα/M
C．(Fcosα－μMg)/M
D．[Fcosα－μ(Mg一Fsinα)]/M
答案：D
分析：可以先求出物体所受合外力，再利用F＝ma求加速度，或者利用正交分解法求加速度．
牛顿生平
牛顿是英国物理学家、数学家和天文学家，1643年1月4日(儒略历1642年12月25日)诞生于英国林肯郡的一个小镇乌尔斯索普的一个农民家庭．牛顿出生之前，他的父亲就去世了，从小跟着祖母生活．牛顿自幼性格倔强，喜欢组合各种复杂的机械玩具、模型．他做的风车、风筝、日晷、漏壶等都十分精巧．
课外阅读
牛顿在中学时代学习成绩并不出众，只是爱好读书，对自然现象有好奇心，并有很好的技巧，喜欢别出心裁地做些小工具、小发明、小实验．牛顿中学时期的校长及牛顿的一位舅父独具慧眼，鼓励牛顿上大学读书．牛顿于1661年以减费生的身份进入剑桥大学三一学院，成为一名优秀的学生，1665年毕业于剑桥大学并获学士学位.1669年，年仅26岁的牛顿就担任了剑桥大学的教授，1672年他被接纳为英国皇家学会会员，1703年被选为皇家学会主席．牛顿于1727年3月逝世，国葬于伦敦威斯敏斯特教堂．
牛顿对自然科学的发展作出了重大贡献，在力学方面，他在伽利略等人工作的基础上进行深入研究，总结出机械运动的三个定律．他进一步开展了开普勒等人的工作，发现了万有引力定律．他把日常所见的重力和决定天体运动的引力统一起来，在科学史上有特别重要的意义.1687年他在天文学家哈雷的鼓励和赞助下，出版了著名的《自然哲学的数学原理》一书．在这本书里，他用数学解释了哥白尼学说和天体运动的现象，阐明了运动三定律和万有引力定律等．
在光学方面，他曾致力于光的颜色和光的本性的研究，用棱镜进行光的色散实验，证明了白光是由单色光复合而成的．为光谱分析奠定了基础；发现了光的一种干涉图样，称为牛顿环；制作了新型的反射望远镜，考察了行星的运动规律；创立了光的微粒说．在一定程度上反映了光的本性．
在数学方面，牛顿在前人工作的基础上，发现了二项式定理，创立了微积分学，开辟了数学史上的一个新纪元．
在谈及个人的成就时，牛顿曾经说道：“如果说我比一些人看得远一些，那是因为我站在巨人们肩上的缘故”，牛顿的这种谦逊精神永远值得后人敬仰和学习．
1942年，爱因斯坦在纪念牛顿诞生300周年写的文章中，对牛顿的一生作如下的评价：“只有把他的一生看做为永恒真理而斗争的舞台上的一幕，才能真正理解他．”