第六章　万有引力与航天
1　行星的运动
一、两种对立的学说
1.地心说:_____是宇宙的中心,是静止不动的,太阳、月亮以及
其他行星都绕_____运动。
2.日心说:_____是宇宙的中心,是静止不动的,地球和其他行星
都绕_____运动。
3.局限性:都把天体的运动看得很神圣,认为天体的运动必然是
最完美、最和谐的_________运动。但计算所得数据和丹麦天
文学家_____的观测数据不符。
地球
地球
太阳
太阳
匀速圆周
第谷
【自我思悟】
1.太阳每天都是东升西落,这一现象是否说明太阳是绕着地球转的?为什么?
提示:否。太阳是太阳系的中心,地球绕太阳公转,由于地球同时还在自转,所以造成了太阳东升西落的现象。
2.日心说具有什么样的局限性?
提示:日心说在证明地球和其他行星是围绕太阳转的同时,也有缺陷:太阳并非宇宙中心,而是太阳系的中心;地球和其他行星的运行轨道是椭圆而不是圆。
二、开普勒行星运动定律
椭圆
椭圆
焦点
相等的面积
半长轴
公转周期
无关
【自我思悟】
1.围绕太阳运动的行星的速率是一成不变的吗?
提示:不是。根据开普勒第二定律,行星离太阳近时运动速率大,离太阳远时运动速率小。
2.行星轨道的半长轴越长,行星的运行周期越长吗?
提示:根据开普勒第三定律,行星的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方成正比,故半长轴越长,行星的运行周期越长。
三、行星运动的一般处理方法
行星的轨道与圆十分接近,在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理,即:
圆心
不变
匀速圆周
轨道半径
公转周期
【自我思悟】
1.匀速圆周运动有什么样的特点?
提示:匀速圆周运动的线速度大小、角速度和周期均保持不变。
2.行星的轨道与圆十分接近,在中学阶段的研究中我们通常按圆轨道处理,这样做有什么好处?
提示:圆周运动要比椭圆运动简单得多,将行星的轨道按圆轨道处理可以将问题大大简化。
一、对开普勒三定律的理解　 深化理解
【微思考】
(1)如图所示是地球绕太阳公转时的示意图,由图可知地球在春分日、夏至日、秋分日和冬至日四天中哪天绕太阳运动的速度最大?
提示:冬至日。由图可知,冬至日地球在近日点附近,由开普勒第二定律可知,冬至日地球绕太阳运动的速度最大。
(2)如图所示是“金星凌日”的示意图,观察图中地球、金星的位置,思考地球和金星谁的公转周期更长。
提示:地球。由题图可知,地球到太阳的距离大于金星到太阳的距离,根据开普勒第三定律可得,地球的公转周期更长一些。
【题组通关】
【示范题】(2013·江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【解题探究】(1)所有行星绕太阳的运动是否遵守共同的规律?这个规律是什么?
提示:是。开普勒三定律总结的是行星运动的规律,所以,所有行星的运动都遵守开普勒三定律。
(2)开普勒三定律揭示了怎样的行星运动规律?
提示:开普勒第一定律指出:行星的轨道不是圆是椭圆。
开普勒第二定律指出:同一行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。
开普勒第三定律指出:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相同。
【规范解答】选C。太阳位于木星运行轨道的一个焦点上,A项错误;火星与木星轨道不同,在运行时速度不可能始终相等,B项错误;“在相等的时间内,行星与太阳连线扫过的面积相等”是对于同一颗行星而言的,不同的行星,则不具有可比性,D项错误;根据开普勒第三定律,对同一中心天体来说,行星公转半长轴的三次方与其周期的平方的比值为一定值,C项正确。
【通关1+1】
1.(2014·泰安高一检测)关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是(　　)
A.所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B.行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处
C.离太阳越近的行星的运动周期越长
D.所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
【解析】选D。所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,但不是同一轨道,太阳处在椭圆的一个焦点上,故A、B错。所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等,离太阳越近的行星其运动周期越短,故C错,D对。
2.(多选)(2014·沈阳高一检测)关于行星的运动,以下说法正确的是(　　)
A.行星轨道的半长轴越长,自转周期越大
B.行星轨道的半长轴越长,公转周期越大
C.水星的半长轴最短,公转周期最长
D.海王星离太阳“最远”,绕太阳运动的公转周期最长
【解析】选B、D。根据开普勒第三定律:所有行星轨道的半长
轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等,即 =k,所以
行星轨道的半长轴越长,公转周期就越大;行星轨道的半长轴越
短,公转周期就越小;特别要注意公转与自转的区别,例如,地球
的公转周期为一年,而地球的自转周期为一天。
3.(2014·哈尔滨高一检测)如图所示,B为绕地
球沿椭圆轨道运行的卫星,椭圆的半长轴为a,
运行周期为TB;C为绕地球沿圆周运动的卫星,
圆周的半径为r,运行周期为TC。下列说法或关
系式中正确的是(　　)
A.地球位于B卫星轨道的一个焦点上,位于C卫星轨道的圆心上
B.卫星B和卫星C运动的速度大小均不变
C. 该比值的大小与地球有关
D. 该比值的大小不仅与地球有关，还与太阳有关
【解析】选A。由开普勒第一定律可知,选项A正确;由开普勒第
二定律可知,B卫星绕地球转动时速度大小在不断变化,选项B错
误;由开普勒第三定律可知, =k,比值的大小仅与地球
有关,选项C、D错误。
【变式训练】(2014·遵义高一检测)太阳系有八大行星,八大行星离太阳的远近不同,绕太阳运转的周期也不相同。下列能反映周期与轨道半径关系的图像中正确的是(　　)
【解析】选D。由开普勒第三定律可得: =k,即R3=kT2,
故选项D正确。
【素养升华】
深入理解开普勒定律
(1)开普勒三定律是通过总结行星运动的观察结果而得出的规律,它们都是经验定律。
(2)开普勒三定律虽然是对行星绕太阳运动的总结,但实践表明该定律也适用于其他天体的运动,如月球绕地球的运动,卫星(或人造卫星)绕行星的运动。
(3)开普勒第二定律与第三定律的区别:前者揭示的是同一行星
在距太阳不同距离时的运动快慢的规律,后者揭示的是不同行
星运动快慢的规律。
(4)开普勒第三定律 =k中的k由中心天体决定,与环绕天体
无关。
二、天体的运动规律及分析方法 规律方法
1.模型构建:天体的运动可近似看成匀速圆周运动,天体虽做椭圆运动,但它们的轨道一般接近圆。中学阶段我们在处理天体运动问题时,为简化运算,一般把天体的运动当作圆周运动来研究,并且把它们视为做匀速圆周运动,椭圆的半长轴即为圆半径。
2.轨道半径与周期的关系:在处理天体运动时,开普勒第三定律
表述为,天体轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的
比值为常数,即 =k。据此可知,绕同一天体运动的多个天体,
轨道半径r越大的天体,其周期越长。
3.适用规律:天体的运动遵循牛顿运动定律及匀速圆周运动规
律,与一般物体的运动在应用这两个规律上没有区别。
【微思考】
(1)在同一轨道上沿同一方向做匀速圆周运动的两颗人造地球卫星,它们的运行周期是否相同?
提示:相同。由开普勒第三定律 =k可知,r相同,则T一定
相同。
(2)已知“嫦娥二号”卫星绕月球做匀速圆周运动时的周期比
“嫦娥一号”卫星的周期小,则两颗卫星中哪个离月面近?
提示:“嫦娥二号”卫星。开普勒定律不仅适用于行星的运动,
也适用于卫星的运动,由 =k可知,周期越小,轨道半径越小,
故“嫦娥二号”卫星离月面近。
【题组通关】
【示范题】太阳系八大行星绕太阳运行的轨迹可粗略地视为圆,下表是各星球的半径和轨道半径。
从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近(　　)
A.80年　　B.120年　　C.165年　　D.200年
【解题探究】(1)若将行星的运行轨道视为圆，则开普勒第三
定律如何表述?
提示：所有行星的轨道半径的三次方跟公转周期的二次方的比
值都相同，即
(2)利用开普勒第三定律 求海王星的周期时，由于不知
道常数k，应如何解决?
提示：由于地球的轨道半径已知，公转周期为一年，可利用
求出海王星的公转周期。
【规范解答】选C。设海王星绕太阳运行的平均轨道半径为
r1，周期为T1，地球绕太阳公转的轨道半径为r2，周期为
T2(T2=1年)，由开普勒第三定律有 ，故
≈164年，故选C。
【通关1+1】
1.(拓展延伸)在【示范题】表格中，哪一颗行星的周期最小?最
小周期是多少?
【解析】由表中的数据知水星的轨道半径最小，为r3=0.579×
1011 m，周期最小；利用地球绕太阳公转周期为已知量，由
得T3≈0.24年。
答案：水星 0.24年
2.(2014·聊城高一检测)宇宙飞船围绕太阳在近似圆周的轨道上运动，若其轨道半径是地球轨道半径的9倍，则宇宙飞船绕太阳运行的周期是( )
A.3年 B.9年 C.27年 D.81年
【解析】选C。由开普勒第三定律 得：
=27年，故C项正确，
A、B、D错误。
3.木星的公转周期约为12年，如果把地球到太阳的距离作为1天文单位，则木星到太阳的距离约为( )
A.2天文单位 B.4天文单位
C.5.2天文单位 D.12天文单位
【解析】选C。木星、地球都环绕太阳按椭圆轨道运行，近似
计算时可当成圆轨道处理，因此它们到太阳的距离可当成是绕
太阳公转的轨道半径。由开普勒第三定律 得
≈5.2天文单位。
4.月球绕地球运动的周期约为27天，则月球中心到地球中心的距离R1与地球同步卫星(绕地球运动的周期与地球的自转周期相同)到地球中心的距离R2之比R1∶R2约为( )
A.3∶1 B.9∶1 C.27∶1 D.18∶1
【解析】选B。由开普勒第三定律有 所以
选项B正确，A、C、D错误。
【素养升华】
应用开普勒第三定律的步骤和技巧
1.应用开普勒第三定律时可按以下步骤进行：
(1)判断两个行星的中心天体是否相同，只有对同一个中心天体开普勒第三定律才成立；
(2)明确题中给出的周期关系或半径关系；
(3)根据开普勒第三定律 列式求解。
2.应用技巧：
(1)解决太阳系的行星运动问题，地球公转周期是一个很重要的隐含条件，可以直接利用；
(2)公式 =k对于同一中心天体的不同行星k的数值相同，对于不同的中心天体的行星k的数值不同；
(3)公式 =k常常用于比较不同行星的周期或半径。
【资源平台】备选角度：开普勒第三定律与图像相结合
【示范题】太阳系中的八大行星的轨道均可视为圆轨道。下
列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。
图中坐标系的横轴是 ，纵轴是 ；这里T和R分别是行
星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水
星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确
的是( )
【标准解答】选B。根据开普勒第三定律：周期平方与轨道半
径三次方成正比可知：R3=kT2， ，两式相除后取对
数，得： 整理得： 故选项B正
确，选项A、C、D错误。
开普勒第二定律的应用
【案例剖析】“神舟十号”飞船绕地球飞行时近地点高度约h1=200 km，远地点高度约h2=330 km，已知R地=6 400 km，求飞船在近地点、远地点的运动速率之比v1∶v2。
【精讲精析】“神舟十号”飞船在近地点和远地点，相同时间
Δt内扫过的面积分别为 则
即
又v1=R1ω1，v2=R2ω2，代入上式中得v1R1=v2R2，
所以
答案：
【名师指津】行星速率的特点
(1)定性分析:行星靠近太阳时,速率增大;远离太阳时,速率减小。
(2)定量计算:在近日点、远日点行星的速率与行星到太阳的距离成反比。
(3)近似处理:行星的运行轨道看成圆时,行星做匀速圆周运动,速率不变。
【自我小测】
1.某行星沿椭圆轨道运行，近日点离太阳距离为a，远日点离太阳的距离为b，过近日点时行星的速率为va，则过远日点时的速率为( )
【解析】选C。如图所示，A、B分别为近日点、远日点，由开
普勒第二定律，太阳和行星的连线在相等的时间里扫过的面积
相等，取足够短的时间Δt，则有：va·Δt·a=vb·Δt·b，
所以
2.(2013·杭州高一检测)如图所示是行星m绕恒星M运动情况的示意图，下列说法正确的是( )
A.速度最大点是B点
B.速度最小点是C点
C.m从A到B做减速运动
D.m从B到A做减速运动
【解析】选C。由开普勒第二定律可知，近日点时行星运行速度最大，因此，A、B错误；行星由A向B运动的过程中，行星与恒星的连线变长，其速度减小，故C正确，D错误。
3.据报道，美国计划2021年开始每年送15 000名游客上太空
旅游。如图所示，当航天器围绕地球做椭圆运动时，在近地
点A的速率 (选填“大于”“小于”或“等于”)在
远地点B的速率。
【解析】根据开普勒第二定律：对任意一个行星来说，行星与太阳的连线在任意相等的时间内扫过相等的面积，类比航天器和地球，可知航天器在近地点A的速率大于在远地点B的速率。
答案：大于