万有引力与航天
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一、开普勒三定律：
1、开普勒第一定律：
所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
3、开普勒第三定律：
所有的行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
2、开普勒第二定律：
对于每一个行星而言，太阳和行星在相等的时间内扫过相等的面积。
二、万有引力定律：（1687年）
1、定律内容：
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。
表达式：
公式推导：
把行星运动近似看成圆周运动，利用向心力公式和开普勒第三定律推导。
2、理解：
（1）任何两物体间存在万有引力。
（2）r的含义：a：指质点间的距离；
b：均匀几何体指几何中心间的距离。
（3）重力是地球对物体万有引力的一个分力
地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即
从而得出(黄金代换 )
3、G的测量：
卡文迪许扭秤实验
（1）结构：
（2）原理：
略。M引力=M扭转 M1=kθ M2=FL
（3）G的意义：
a：数值上等于两质量为1kg的物体相距1m时的引力大小。
b：证明万有引力定律的正确。
（4）大小：G=6.67×10-11Nm2/kg2
三、天体运动：
（1）测天体质量和密度：
设r指轨道半径，R指恒星的半径
若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，其周期T,则天体密度
（2）天体运动情况：
（3）海王星发现：
（4）证明开普勒第三定律的正确性。
四、人造卫星：基本上都是引力提供向心力
1、线速度：
2、角速度：
即线速度
即角速度
3、周期：
4、加速度：
说明：V、T、an、ω由r决定，(对同一中心天体)
r大：T大，V小，an小， ω小。
即周期
1、线速度：
2、角速度：
5、同步卫星：
（1）T=T自转
（2）轨道与赤道在同一个平面
（3）高度一定：h=3.6×104km
r=R，F=mg=mv2/r
说明：a：发射卫星的最小速度。 b：近地环绕速度。
（2）第二宇宙速度：
V=11.2km/s
V=7.9km/s
6、宇宙速度
（1）第一宇宙速度（环绕速度）：
（3）第三宇宙速度：
V=16.7km/s
四、应用万有引力定律解题：
1、地面附近：
F引=mg
2、天体看成圆周运动：
F引=Fn
3、求重力加速度相关问题：
r=R+h
h↑ ，g↓ ；h ↓，g ↑。
纬度↑，r ↓，g ↑。
纬度↓ ，r ↑ ，g ↓ 。
已知下面哪组数据可以计算出地球的质量M地（引力常数G为已知）（ ）(A)月球绕地球运行的周期T1及月球到地球中心的距离r1(B)地球“同步卫星”离地面的高度h

(C)地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离r2(D)人造地球卫星在地面附近的运行速度v和运行周期T3
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小结:应用的基本思路与方法
1、天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
2、是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即
例题2：
假设火星和地球都是球体，火星的质量M火与地球质量M地之比M火/ M地 = p ；火星的半径R火与地球的半径R地之比R火 / R地 = q ，那么火星表面的引力加速度g火与地球表面处的重力加速度g地之比g火 / g地等于（ ）
（A）p / q2 （B）p· q2 （C）p / q （D） p ·q
例题3：
第一宇宙速度是用r=R地计算出来的，实际上人造地球卫星轨道半径都是r＞R地，那么轨道上的人造卫星的线速度都是（ ）
（A）等于第一宇宙速度 （B）大于第一宇宙速度
（C）小于第一宇宙速度 （D）以上三种情况都可能
A
例题4：
某行星的质量和半径都是地球的2倍,在这行星上用弹簧秤称重物和发射卫星的第一宇宙速度是地球上的( )
（A）1/4倍,1/4倍 （B）1/2倍,1倍 （C）1倍,1/2倍 （D）2倍,4倍
例题5：
人造地球卫星内有一个质量是1kg的物体,挂在一个弹簧秤上,这时弹簧秤的读数是( ).
(A)略小于9.8N (B)等于9.8N
(C)略大于9.8N (D)0
例题6：
我国在1984年4月8日成功发射了一颗试验地球同步通讯卫星，1986年2月1日又成功发射了一颗实用地球同步通讯卫星，它们进入预定轨道后，这两颗人造卫星的运行周期之比T1∶T2=__________，轨道半径之比为R1∶R2=__________。第一颗通讯卫星绕地球公转的角速度1跟地球自转的角速度2之比1∶2=__________。
1:1
1:1
1:1
例题7：
关于人造卫星，下列说法中正确的是（ ）
（A）发射时处于超重状态，落回地面过程中处于失重状态
（B）由公式v2 = G ·M / ( R + h )， 知卫星离地面的高度h 越大，速度越小，发射越容易
（C）同步卫星只能在赤道正上方，且到地心距离一定
（D）第一宇宙速度是卫星绕地做圆周运动的最小速度
例题8：
已知地球半径是R＝6400千米，地球表面的重力加速度g＝ 9.8米/秒2，求人造卫星绕地球运行的最小周期.
1.41小时
例题9：
如果有一个行星质量是地球的1/8，半径是地球半径的1/2.求在这一行星上发射卫星的环绕速度.
3.95千米/秒
例题10：
甲、乙两颗人造地球卫星在同一轨道平面上的不同高度处同向运动（可视为匀速圆周运动），甲距地面的高度为地球半径的0.5倍,乙距地面的高度为地球半径的5倍,两卫星的某一时刻正好位于地球表面某点的正上空.求： (1)两卫星运行的线速度之比?(2)乙卫星至少要经过多少周期,两卫星间的距离才会达到最大?
(1)2：1 (2)1/14
中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=1/30s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G=6.67×10-11N ·m2/kg2)
解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。
例题11：
设中子星的密度为，质量为M ，半径为R，自转角速度为，位于赤道处的小物块质量为m，则有
由以上各式得
代入数据解得
点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。
r=1.27×1014kg/m3
例： 如图所示，阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小圆球的球心和大球体球心间的距离是，求球体剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力.(用“挖补法”)
分析：万有引力定律只适用于两个质点间的作用，只有对均匀球体才可将其看作是质量全部集中在球心的一个质点，至于本题中不规则的阴影区，那是不能当作一个质点来处理的，故可用补偿法，将挖去的球补上.
[解析] 将挖去的球补上，则完整的大球对球外质点P的引力：
半径为R/2的小球的质量
补上小球对质点1的引力：
因而挖去小球的阴影部分对质点P的引力：