机械能守恒定律
总结复习
一.重力势能
1.物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能
EP =mgh
2.重力势能的变化与重力做功的关系
a. 重力所做的功只跟物体的重力及始末位置的高度差有关，与物体移动的路径无关.
b. 重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功 - ΔEP = WG
c. 克服重力做功时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功 ΔEP = - WG
3.重力势能的相对性和重力势能变化的绝对性
(1)重力势能的大小取决于参考平面的选择,物体在零势能面之上的是正值，在其下的是负值.
(2)重力势能的变化与参考平面的选择无关.
4.重力势能是物体和地球共有的 。
假设没有了地球，就不存在重力了，重力势能也就不存在了。
二. 弹性势能
1. 发生弹性形变的物体具有的能叫做弹性势能.
2.弹簧的弹性势能大小表达式为
式中k是弹簧的劲度系数，X是弹簧的形变量。
3.弹力所做的功，等于弹性势能减少.
W弹= - ΔEP ′
动能和势能（重力势能与弹性势能）统称为机械能．
三.机械能
四.机械能守恒定律
1.在只有重力(及系统内弹簧的弹力)做功的情形下物体的动能和重力势能(及弹性势能)发生相互转化，但机械能的总量保持不变，这个结论叫做机械能守恒定律
2.机械能守恒定律的各种表达形式
（1）系统在初状态的总机械能等于末状态的总机械能.
1/2mv12 + mgh1= 1/2mv22 + mgh2
（2）物体（或系统）减少的势能等于物 体（或系统)增加的动能，反之亦然。
即 -ΔEP = ΔEK
（3）若系统内只有A、B两个物体，则A减少的机械能ΔEA等于B增加的机械能ΔE B
即 -ΔEA = ΔEB
用⑴时，需要规定重力势能的参考平面,是最基本的表达方式，易于理解和掌握，但始末状态的动能、势能要分析全。防止遗漏某种形式的机械能。
用⑵(3)时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系,应用(2)(3)方式列出的方程式简捷，但在分析势能的变化时易出错，要引起注意。
3.机械能守恒的条件
只有重力（或弹力）做功。
只有重力和弹力做功可作如下三层理解：
（１）只受重力作用：
在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动——自由落体、竖直上抛、平抛、斜抛等等。
（２）受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功
①物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功。
②在光滑水平面上的小球碰到弹簧，把弹簧压缩后又被弹簧弹回来。
（３）除重力和弹力之外，还有其他力做功，但其它力做功的总和为零，物体的机械能守恒
机械能守恒时，并不是物体只受重力和弹力，也可以受其它力，但其它力不能做功或做功代数和为零。因为其它力做功是引起机械能变化的原因。
机械能守恒定律适用于只有重力和弹簧的弹力做功的情况，应用于光滑斜面、光滑曲面、自由落体运动、上抛、下抛、平抛运动、单摆、竖直平面的圆周运动、弹簧振子等情况。
对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能产生)，则系统的机械能守恒。
4.判断机械能是否守恒
特别提醒注意的是，机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零.
（1)用做功来判断：分析物体或物体受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒；
(2）用能量转化来判定：若物体系中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系机械能守恒．
（3）对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除非题目的特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能不守恒
5.对机械能守恒定律的理解
(1)机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内.通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内,因为重力势能就是小球和地球所共有的.另外物体动能中的v,也是相对于地面的速度.
(2)当研究对象(除地球以外)只有一个物体时,往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒;当研究对象(除地球以外)由多个物体组成时,往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒.
6.应用机械能守恒定律解题的基本步骤
(1)根据题意，选取研究对象(物体或系统).
(2)明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功情况，判断是否符合机械能守恒的条件.
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程中的起始状态和末始状态的机械能(包括动能和重力势能).
(4)选定一种表达式，列式求解。
例1. 一个物体在平衡力的作用下运动,则在该物体的运动过程中, 物体的 ( )
A. 机械能一定保持不变
B. 动能一定保持不变
C. 动能保持不变, 而重力势能可能变化
D. 若重力势能发生了变化, 则机械能一定发生变化
B C D
练习1.下列运动物体，机械能守恒的有( )
A.物体沿斜面匀速下滑
B.物体沿竖直平面内的圆形轨道做匀速圆周运动
C.跳伞运动员在空中匀速下落
D.沿光滑曲面自由下滑的木块
D
例2. 下列几个物理过程中,机械能一定守恒的是(不计空气阻力) ( )
A.物体沿光滑曲面自由下滑的过程
B.气球匀速上升的过程
C.铁球在水中下下沉的过程
D.在拉力作用下,物体沿斜面匀速上滑的过程
E.物体沿斜面加速下滑的过程
F.将物体竖直向上抛出,物体减速上升的过程
A F
练习2.下列关于机械能守恒的说法中正确的是( )
A.做匀速运动的物体,其机械能一定守恒
B.做匀加速运动的物体,其机械能一定不守恒
C.做匀速圆周运动的物体,其机械能一定守恒
D.以上说法都不正确
D
1、
例3、 以下说法正确的是（ ）
（A）一个物体所受的合外力为零，它的机
械能一定守恒
（B）一个物体做匀速运动，它的机械能一
定守恒
（C）一个物体所受的合外力不为零，它的
机械能可能守恒
（D） 一个物体所受合外力的功为零，它一
定保持静止或匀速直线运动
C
练习3、两个物体在相互作用前后，下列说法中正确的是（ ）
（A） 只要动量守恒，则动能必定守恒
（B） 只要机械能守恒，动量必定守恒
（C） 如果动量守恒，机械能必定守恒
（D） 动量守恒和机械能守恒没有必然联系
D
例4、 如下图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧 上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量 的叙述中正确的是（ ）
（A）重力势能和动能之和总保持不变
（B）重力势能和弹性势能之和总保持不变
（C）动能和弹性势能之和总保持不变
（D）重力势能、弹性势能和动能
之和总保持不变
D
练习4.关于机械能守恒，下列说法中错误的是
（ ）
（A）物体的机械能守恒时，一定只受到重力和
弹力的作用
（B）物体处于平衡状态时机械能一定守恒
（C）在重力势能和动能的转化中，物体除受重
力外还受其他力时，其机械能可以守恒
（D）物体重力势能和动能之和增大时，必定是
有重力以外的力对它做了功
A B
【例5】对一个系统，下面说法正确的是（ ）
A．受到合外力为零时，系统机械能守恒
B．系统受到除重力弹力以外的力做功为零时，系统的机械能守恒
C．只有系统内部的重力弹力做功时，系统的机械能守恒
D．除重力弹力以外的力只要对系统作用，则系统的机械能就不守恒
C
【例6】一条长为L的均匀链条，放在光滑水平桌面上，链条的一半垂于桌边，如图所示现由静止开始使链条自由滑落，当它全部脱离桌面时的速度为多大?
【解析】因桌面光滑，链条虽受桌面的支持力，但支持力对链条不做功，在链条下滑过程中只有重力对链条做功，故链条下滑过程中机械能守恒
设链条总质量为ｍ，由于链条均匀，因此对链条所研究部分可认为其重心在它的几何中心，选取桌面为零势能面，则初、末状态的机械能分别为：
初态：
末态：
练习5.长为L质量分布均匀的绳子，对称地悬挂在轻小的定滑轮上，如图所示.轻轻地推动一下，让绳子滑下，那么当绳子离开滑轮的瞬间，绳子的速度为 .
解：由机械能守恒定律，取小滑轮处为零势能面.
【练习6】一根细绳不可伸长，通过定滑轮，两端系有质量为M和m的小球，且M=2m，开始时用手握住M，使M与离地高度均为h并处于静止状态．求：（1）当M由静止释放下落h高时的速度．（2）设M落地即静止运动，求m离地的最大高度。(h远小于半绳长，绳与滑轮质量及各种摩擦均不计)
解：在M落地之前，系统机械能守恒
(M－m)gh=½(M+m)v2
M落地之后，m做竖直上抛运动，机械能守恒．有： ½mv2=mgh/ h/=h/3
离地的最大高度为：H=2h+h/=7h/3
例7：将细绳绕过两个定滑轮A和B．绳的两端各系一个质量为m的砝码。A、B间的中点C挂一质量为M的小球，M<2m，A、B间距离为l，开始用手托住M使它们都保持静止，如图所示。放手后M和2个m开始运动。求(1)小球下落的最大位移H是多少？(2)小球的平衡位置距C点距离h是多少？
解：(1)如答案图(a)所示，M下降到最底端时速度为零，此时两m速度也为零，M损失的重力势能等于两m增加的重力势能(机械能守恒)
解得
(2)如答案图(b)所示，当M处于平衡位置时，合力为零，T=mg，则
Mg-2mgsinα=0
练习7:如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连结，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑S 距离后，细线突然断了。求物块B上升离地的最大高度H.
99年广东
解：对系统由机械能守恒定律
4mgSsinθ – mgS = 1/2× 5 mv2
∴ v2=2gS/5
细线断后，B做竖直上抛运动，由机械能守恒定律
mgH= mgS+1/2× mv2
∴ H = 1.2 S
机械能守恒定律与圆周运动结合
例8.如图所示．一根长L的细绳，固定在O点，绳另一端系一条质量为m的小球．起初将小球拉至水平于A点．求（1）小球从A点由静止释放后到达最低点C时的速度．（2）小球摆到最低点时细绳的拉力。
解：（1）由机械能守恒有：mgl=½mvC2;
(2) 在最低点，由向心力公式有T－mg=mv2/L
T=3mg;
【练习8】在上例中，将小球自水平向下移，使细绳与水平方向成θ=300角，如图所示．求小球从A点由静止释放后到达最低点C时细绳的拉力．
解：
【例9】如图，长为L的细绳一端拴一质量为m的小球，另一端固定在O点，在O点的正下方某处P点有一钉子，把线拉成水平，由静止释放小球，使线碰到钉子后恰能在竖直面内做圆周运动，求P点的位置
解析： 设绳碰到钉子后恰能绕P点做圆周运动的半径为r，运动到最高点的速率为V，由机械能守恒定律得
在最高点，由向心力公式有：
【练习9】如图所示，一个光滑的水平轨道AB与光滑的圆轨道BCD连接，其中图轨道在竖直平面内，半径为R，B为最低点，D为最高点．一个质量为m的小球以初速度v0沿AB运动，刚好能通过最高点D，则（ ）
A．小球质量越大，所需初速度v0越大
B．圆轨道半径越大，所需初速度v0越大
C．初速度v0与小球质量m、轨道半径R无关
D.小球质量m和轨道半径R同时增大，有可能不用增大初速度v0
解析：球通过最高点的最小速度为v，有mg=mv2/R，v=
这是刚好通过最高点的条件，根据机械能守恒，在最低点的速度v0应满足
½m v02=mg2R＋½mv2，v0=
B
例10. 小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速释放，绳长为L，为使球能绕B点做圆周运动，试求d的取值范围？
解：设BC=r， 若刚能绕B点通过最高点D，必须有
mg=mvD 2 /r （1）
由机械能守恒定律
mg(L-2r)=1/2m vD 2 （2）
∴r = 2L / 5
d=L-r= 3L/5
∴ d 的取值范围 3/5 L  d 练习10. 一根内壁光滑的细圆管，形状如下图所示，放在竖直平面内，一个小球自A口的正上方高h处自由落下，第一次小球恰能抵达B点；第二次落入A口后，自B口射出，恰能再进入A口，则两次小球下落的高度之比h1：h2= ______
解：第一次恰能抵达B点，不难看出
v B1=0
由机械能守恒定律
mg h1 =mgR+1/2·mvB12
∴h1 =R
第二次从B点平抛
R=vB2t R=1/2·gt 2
mg h2 =mgR+1/2·mvB22
h2 =5R/4
h1 ：h2 = 4：5
4：5
【例11】如图所示一质量为m的小球，在B点从静止开始沿半球形容器内壁无摩擦地滑下，B点与容器底部A点的高度差为h，容器质量为M，内壁半径为R．求：
（1）当容器固定在水平桌面上，小球滑至底部A时，容器内壁对小球的作用力大小．
（2）当容器放置在光滑的水平桌面上，小球滑至底部A时，小球相对容器的速度大小．
解析：（1）m下滑只有重力做功，机械能守恒 mgh=½mv2
达底端A，根据牛顿第二定律T－mg=mv2/R
所以T=mg＋2mgh/R=mg（1＋2h/R）
(2)若容器在光滑水平桌面上，选m和M为研究对象，系统机械能守恒，水平方向上动量守恒
mgh=½mv2＋½Mu12，0=mv十Mu1 所以u1=－mv/M
代入得mgh＝½mv2
所以v=
小球相对容器的速度大小为v/＝v—u1＝v十mv/M
所以v/=
【例12】如图所示，在一根长为L的轻杆上的B点和末端C各固定一个质量为m的小球，杆可以在竖直面上绕定点A转动，BC=L/3,现将杆拉到水平位置从静止释放，求末端小球C摆到最低点时速度的大小和这一过程中BC端对C球所做的功。（杆的质量和摩擦不计）
解析：B、C两球系统在下摆的过程中只有重力做功，系统机械能守恒。
由于B、C角速度相同，
解得：
对于C球,由动能定理得
解得杆BC段对C球做功
【例13】如图所示，长为l不可伸长的细绳一端系于O点，一端系一质量为m的物体，物体自与水平夹角300（绳拉直）由静止释放，问物体到达O点正下方处的动能是多少？
分析：小球运动过程是：先由A点自由下落至B．自B点做圆周运动，就在B处绳使其速度改变的瞬间小球的动能减少.
解:vB=
其方向竖直向下，将该速度分解如图所示 v2＝vcos300=
cos300
由B至C的过程中机械能守恒
½mv22十mg0.5l=½mvC2
由此得½mvC2=5mgl/4

例14．一个竖直放置的光滑圆环，半径为R，c、e、b、d分别是其水平直径和竖直直径的端点．圆环与一个光滑斜轨相接，如图所示．一个小球从与d点高度相等的a点从斜轨上无初速下滑．试求：
(1) 过b点时，对轨道的压力Nb多大？
(2) 小球能否过d点，如能，在d点对轨道压力Nd多大？如不能，小球于何处离开圆环？
分析：小球在运动的全过程中，始终只受重力G和轨道的弹力N．其中，G是恒力，而N是大小和方向都可以变化的变力．但是，不论小球是在斜轨上下滑还是在圆环内侧滑动，每时每刻所受弹力方向都与即时速度方向垂直．因此，小球在运动的全过程中弹力不做功，只有重力做功，小球机械能守恒．
从小球到达圆环最低点b开始，小球就做竖直平面圆周运动．小球做圆周运动所需的向心力总是指向环心O点，此向心力由小球的重力与弹力提供．
（2）小球如能沿圆环内壁滑动到d点，表明小球在d点仍在做圆周运动，则
当Nd已经减小到零（表示小球刚能到d点，但球与环顶已是接触而无挤压，处于“若即若离”状态)时,
度就不可能沿圆环到达d点．这就表明小球如能到达d点，其机械能至少应是
因此小球不可能到达d点．
定是在c、d之间的某点s离开圆环的．设半径Os与竖直方向夹α角，
小球从s点开始脱离圆环，所以圆环对小球已无弹力，仅由重力G

答：小球经过圆环最低点b时，对环的压力为5mg．小球到达高度为5R/3的s点开始脱离圆环，做斜上抛运动．
将①式代入②式得
mgcosα=2mg（1-cosα）
cosα=2/3
说明：1．小球过竖直圆环最高点d的最小速度称为“临界速度”
点就会离开圆环．
2．小球从s点开始做斜上抛运动，其最大高度低于d点，可自行证明．
机械能守恒定律的灵活运用
例15.如图所示，一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自已刚好能回到高处A 。求男演员落地点C 与O 点的水平距离s。已知男演员质量m1，和女演员质量m2之比=2,秋千的质量不计，秋千的摆长为R , C 点比O 点低5R。
解：设分离前男女演员在秋千最低点B 的速度为v0，由机械能守恒定律
(m1+m2)gR=½ (m1+m2)v02
设刚分离时男演员速度的大小为v1,方向与v0相同；女演员速度的大小为v2，方向与v0相反，由动量守恒
(m1+m2)v0=m1v1－m2v2
分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在C点所需的时间为t ，根据题给条件，由运动学规律4R=gt2 s=v1t
根据题给条件，女演员刚好回到A点，由机械能守恒定律,m2gR=m2v22
已知m1/m2=2,由以上各式可得 s=8R
【练习11】如图5 -4 -5所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球．支架悬挂在0点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动．开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是
A. A球到达最低点时速度为零
B. A球机械能减少量等于B球机械能增加量
C. B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度
D.当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度
解析:因A处小球质量大，所处的位置高，图中三角形框架处于不稳定状态，释放后支架就会向左摆动．摆动过程中只有小球受的重力做功，故系统的机械能守恒，选项B正确，D选项也正确.A球到达最低点时，若设支架边长是L. A球下落的高度便是L/2，有2mg·（L/2）的重力势能转化为支架的动能，因而此时A球速度不为零，选项A错．当A球到达最低点时有向左运动的速度，还要继续左摆，B球仍要继续上升，因此B球能达到的最高位置比A球的最高位置要高，C选项也正确．
【例16】如图所示，总长为L的光滑匀质的铁链，跨过一光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，某一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度多大？
解析：铁链的一端上升，一端下落是变质量问题，利用牛顿定律求解比较麻烦，也超出了中学物理大纲的要求．但由题目的叙述可知铁链的重心位置变化过程只有重力做功，或“光滑”提示我们无机械能与其他形式的能转化，则机械能守恒，这个题目我们用机械能守恒定律的总量不变表达式E2=El，和增量表达式ΔEP=一ΔEK分别给出解答，以利于同学分析比较掌握其各自的特点．
（1）设铁链单位长度的质量为P，且选铁链的初态的重心位置所在水平面为参考面，则初态E1=0
滑离滑轮时为终态，重心离参考面距离L/4，
EP/=－PLgL/4
Ek2=½Lv2即终态E2=－PLgL/4＋½PLv2
由机械能守恒定律得E2= E1有 －PLgL/4＋½PLv2=0，
所以v=
（2）利用ΔEP=－ΔEK，求解:初态至终态重力势能减少，重心下降L/4，重力势能减少－ΔEP= PLgL/4，动能增量ΔEK=½PLv2，所以v=
点评（1）对绳索、链条这类的物体，由于在考查过程中常发生形变，其重心位置对物体来说，不是固定不变的，能否确定其重心的位里则是解决这类问题的关键，顺便指出的是均匀质量分布的规则物体常以重心的位置来确定物体的重力势能．此题初态的重心位置不在滑轮的顶点，由于滑轮很小，可视作对折来求重心，也可分段考虑求出各部分的重力势能后求出代数和作为总的重力势能．至于零势能参考面可任意选取，但以系统初末态重力势能便于表示为宜．
（2）此题也可以用等效法求解，铁链脱离滑轮时重力势能减少，等效为一半铁链至另一半下端时重力势能的减少，然后利用ΔEP=－ΔEK求解．
【练习12】如图所示，在光滑的水平面上放一质量为M＝96．4kg的木箱，用细绳跨过定滑轮O与一质量为m=10kg的重物相连，已知木箱到定滑轮的绳长AO＝8m，OA绳与水平方向成300角，重物距地面高度h=3m，开始时让它们处于静止状态．不计绳的质量及一切摩擦，g取10 m／s2，将重物无初速度释放，当它落地的瞬间木箱的速度多大？
解析：本题中重物m和水箱M动能均来源于重物的重力势能，只是m和M的速率不等．
根据题意，m，M和地球组成的系统机械能守恒，选取水平面为零势能面，有mgh＝½mvm2＋½MvM2
从题中可知，O距M之间的距离为 h/＝Oasin300＝4 m
当m落地瞬间，OA绳与水平方向夹角为α，则cosα=
=4/5
而m的速度vm等于vM沿绳的分速度，如图所示，
则有 vm＝vMcosα
所以，由式①一③得vM=
m/s
例17.质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为x0，如图所示。一物块从钢板正上方距离为 3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最低点后又
向上运动。已知物块质量也为m时，
它们恰能回到O点。若物块质量为
2m，仍从A处自由落下，则物块与
钢板回到O点时，还具有向上的速度。
求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。
97年高考
物块自由下落，与钢板碰撞，压缩弹簧后再反弹向上，运动到O点，弹簧恢复原长。碰撞过程满足动量守恒条件。压缩弹簧及反弹时机械能守恒。自由下落3x0，根据机械能守恒：
物块与钢板碰撞时，根据动量守恒：　 mv0=(m+m)v1（v1为碰后共同速度）
分析与解：
设回到O点时物块和钢板的速度为V，则：
物块与钢板一起升到O点，根据机械能守恒：
1/2×2mV12+Ep=2mgx0 [1]
如果物块质量为2m，根据动量守恒
则：2mVo=(2m+m)V2 ，
即 V2=2/3×Vo
1/2×3mV22+Ep=3mgx0+ 1/2×3mV2 [2]
从O点开始物块和钢板分离，由[1]式得：
Ep= 1/2×mgx0

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