第七章 机械能守恒定律
功和能
功
能
功能关系
功 ：W = F S cos
功率:
动能：
势能：重力势能
机械能：
动能定理：
机械能
守恒定律
功是能量转化的量度——W=△E
1、对“功”的学习方法指导
功——是力的空间积累效应，它和位移 相对应。
恒力做功
注 意 ①F和S是对应同一个物体的；
②某力做的功仅由F、S和决定。
变力做功可用动能定理 W=△Ek ；
可用无限分小法来求,过程无限分小后可认为每小段是恒力做功。
例1.如图所示，物体受到二 个水平恒力 和 相作用，F1和F2互垂直，物体沿光滑水平面从A点运动到B点的过程中，位移为S，AB连线与 间的夹角为，则下面关于外力做的功的表达式一定正确的是：
(A)
(B) (F1+F2) S
(C) F1Scos  + F2Ssin 
(D) F1Ssin  + F2Scos 
﹚ 
A
B
F2
F1
功 的 计 算 举 例
计算：一质量为m的物体静止于倾角为的斜面体上，对斜面体施一水平向左的外力F使它们一起向左匀速前进一段位移S，试确定物体所受各力对物体做功分别为多少？各力对物体所做总功是多少？
F

在斜面上由静止开始下滑的物体（所有接触面都光滑）物体受到的各力是否做功？做正功还是做负功？
课堂讨论
结论：
1、重力对物体做正功
2、支持力对物体做负功
点 评
求总功有两种方法：
一种是先求出合外力，然后求总功，表达式为
另一种是总功等于各力做功的代数和，即
合外力还是矢量，本题的合外力 与位移的夹角无法确定，不一定就等于。
例2.AB两物体叠放在水平面上，A物体用线系在墙上，B 物体在力 F作用下向右运动，则B对A的摩擦力f1对A———功， A对B的摩擦力f2对B做——功。
不做
负
3．如图所示，质量分别为ml和m2的两个物体，m1＜m2，在大小相等的两个力F1和F2的作用下沿水平方向移动了相同的距离，若F1做的功为W1，F2做的功为W2则：
A、W1＞W2 B． W1＜W2
C．W1=W2； D．条件不足，无法确定
（ C ）
4．如图，物体重10N，置于水平地面上，线绳一端系在物体上，另一端跨过定滑轮，用16 N的力F，沿与竖直成600角的方向拉过0.5m，则拉力对物体做的功是
A、8J； B．5J； C．4J； D．0
（ A ）
5、如图示，板长为L，板的B端放有质量为m的小物体，物体与板的动摩擦因素为μ，开始时板水平，若缓慢转过一个小角度α的过程中，物体与板保持相对静止，则这个过程中（ ）
A. 摩擦力对P做功为 μmgLcosα(1-cosα)
B. 摩擦力对P做功为-mgLsinα(1-cosα)
C. 弹力对P做功为mgLcosαsinα
D. 板对P做功为mgLsinα
如果一个力始终与速度垂直，则这个力不做功。
辨析位移s
1、力的方向上的位移
2、一般相对地面而言
例6．如图所示，一木块放在光滑水平面上，一子弹水平射入木块中，射入深度为d，平均阻力为f．设木块离原点S远时开始匀速前进，下列判断正确的是[ ]
B D
S
d
2.对“功率”的学习方法指导
功率——描述 做功快慢 的物理量
①按定义： ，所求出的功率是时间t内的平均功率。
②计算式： ，其中θ是力与速度间的夹角。用该公式时，要求F为恒力。
v----即时速度--P--即时功率 v----平均速度--P--平均功率
重力的功率可表示为 ，仅由重力及物体的竖直分运动的速度大小决定。
1、长为L的细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，开始时，细线被拉直，并处于水平位置，球处在0点等高的A位置，如图所示，现将球由静止释放，它由A运动到最低点B的过程中，重力的瞬时功率变化的情况是（ ）
A.一直在增大
B.一直在减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
功率的计算
2、如图所示，质量为1Kg的木块在倾角为37度的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为0.5，斜面足够长。
求： (1) 前3s内重力做的功   
(2) 前3s内重力的平均功率 
(3) 3s末重力的瞬时功率。
汽车的两种起动方式
1、以恒定功率起动
先做加速度减小的加速运动，再做匀速运动
2、匀加速启动过程
a不变
F牵不变
变加速速运动
当F牵=f时，a=0 V达最大
机车以恒定加速度的起动过程
0～t1阶段，机车匀加速
v 增大
P 增大
t1时刻，机车达额定功率
v 增大，F减小，一直到a = 0
t1 ～t2阶段，机车以额定功率继续加速，同情况1
例1.按额定功率行驶的汽车，所受地面的阻力保持不变，则[ ]
A．汽车加速行驶时，牵引力不变，速度增大
B．汽车可以做匀加速运动
C．汽车加速行驶时，加速度逐渐减小，速度逐渐增大
D．汽车达到最大速度时，所受合力为零
C D
例2、质量是2000kg、额定功率为80kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20m/s。若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2m/s2，运动中的阻力不变。
求：（1）汽车所受阻力的大小。
（2）汽车做匀加速运动的时间。
（3）汽车匀加速时的末速度。
（4）3s末汽车的瞬时功率。
（5）汽车在匀加速运动中牵引力所做的功。
3、质量为 的汽车，沿倾角为 的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2000N，汽车发动机的额定输出功率为 ， 开始时以 的加速度做匀加速运动（斜坡无限长， ）。求
（1）汽车做匀加速运动的时间；
（2）汽车所能达到的最大速率；
（3）若斜坡长143.5m，且认为汽车达到坡顶之前，已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多少时间？
【 7、8、22 】

4、一辆汽车的质量是5000kg，发动机的额定功率为60kw，汽车所受阻力为5000N，如果汽车从静止开始以0.5m/s的加速度做匀加速直线运动，功率达到最大后以额定功率运动了一段距离后汽车达到最大速度，在整个过程中，汽车运动了125m。
问：在这个过程中，汽车发动机的牵引力做功多少？
动能定理：
外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量
公式：
外力总功
末动能
初动能
③动能变化量为: “末减初”。
理解:
①要明确初末状态之间有一个过程.
②W总包括物体受到的一切力所作的功，分清每个力所作功的正负
动能定理适用于变力做功
例 题
1、一架喷气式飞机，质量为m=5000kg,起飞过程中从静止开始滑跑的路程为l=530m时，达到起飞速度v=60m/s。在此过程中飞机受到的平均阻力F阻是飞机重量的0.02倍（k=0.02）。求飞机受到的牵引力F。（g取10m/s2)
解：对飞机
由动能定理有
启发：此类问题，牛顿定律和动能定理都适用，但动能定理更简洁明了。
1.确定研究对象和研究过程。
2.对研究对象进行受力分析。（周围物体施予研究对象的所有的力）。
3.写出合外力做的功，或分别写出各个力做的功。（如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。）
4.写出物体的初、末动能。
5.列式求解。
应用动能定理解题步骤
题1：下列关于运动物体所受合外力做功和动能变化的关系正确的是（ ）
A、如果物体所受合外力为零，则合外力对物体做的功一定为零
B、如果合外力对物体做的功为零，则合外力一定为零
C、物体在合外力作用下做变速运动，动能一定变化
D、物体的动能不变，所受合外力一定为零
A
知识应用
题4：质量为1kg物体与水平面间摩擦力为5N,在10N水平力作用下由静止开始前进2m后撤去外力,再前进1m,此时物体仍在运动,其速度为多大?物体最终停止运动,其经过的全部位移为多大?
题3：如图，一质量为2kg的铅球从离地面2m高处自由下落，陷入沙坑2cm深处，求：沙子对铅球的平均阻力？
题2：从高为h处水平抛出一个质量为m的小球，落地点与抛出点水平距离为s，求抛球时人对球所做的功。
5、水平地面上有一质量为m＝0.5kg的物体。水平恒力F为2.5N，作用在物体上，使物体由静止出发开始运动。经过一段时间后，力F停止作用，物体继续滑行一段距离后停止。若物体移动的总距离Ｓ为4m，物体和地面间的摩擦系数 。
求：力F所做的功。
6、质量m为0.5kg的小球，从离地面h为20m高处落下，落地时小球的速度v为18m/s。
求：下落过程中空气对小球平均阻力？
7、质量m为0.02kg的子弹以v1为600m/s的速度垂直射穿一块厚度S为10cm的固定木板，已知木板对子弹的平均阻力f为 。
求：子弹穿过木板后的速度v2为多大？
8、一质量m＝0.5kg的物体，以v0=4m/s的初速度沿水平桌面上滑过S＝0.7m的路程后落到地面，已知桌面高h＝0.8m，着地点距桌沿的水平距离s1=1.2m，（g取10m/s2）
求：物体与桌面间的摩擦系数是多少？
9、如图所示，以速度v0＝12　m／s沿光滑地面滑行的光滑小球，上升到顶部水平的跳板上后由跳板飞出，当跳板高度h=5m 时，小球到达顶端时所具有的速度为多少? (g＝10 m／s２）
10.斜面倾角为α，长为L， 段AB光滑，BC段粗糙，质量为m的木块从斜面顶端无初速下滑，到达C端时速度刚好为零。求物体和BC段间的动摩擦因数μ。
A
B
C
11、如图所示，半径为R的半圆槽木块固定在水平地面上，质量为m的小球以某速度从A点无摩擦地滚上半圆槽，小球通过最高点B后落到水平地面上的C点，已知AC=AB=2R。　　　
求：①小球在B点时的速度？
　　②小球对B点的压力
③小球在A点时的速度大小为多少？
12、如图所示，质量为m的物体放在水平光滑的平台上，系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮，由在地面上以速度v向左匀速走动的人拉着，设人从平台的边缘开始向左行至绳与水平方向成300角处，求：此过程中人对物体所做的功？
14、如图所示，传送带以V的初速度匀速运动。将质量为m 的物体无初速度放在传送带上的A端，物体将被传送带带到B端，已知物体到达B端之间已和传送带相对静止，则下列说法正确的是（ ）
A．传送带对物体做功为
B．传送带克服摩擦做功
C．电动机由于传送物体多消耗的能量为
D．在传送物体过程产生的热量为
15、水平方向的传送带以2m/s的速度匀速运动，把一质量为2kg的小物体轻轻放在传送带上左端，经过4s物体到达传送带的右端。已知物体与传送带间的动摩擦因数为0.2，取g=10m/s2,
求：（1）传送带的长度.
（2）这一过程中摩擦力对物体所做的功
（3）这个过程中由于物体与传送带的摩擦而转化为内能的数值
1、一物体静止在不光滑的水平面上，已知m=1kg，μ=0.1,现用水平外力F=2N拉其运动5m后立即撤去水平外力F,求其还能滑多远?
15m
多过程问题 直线运动
2、用拉力F使一个质量为m的木箱由静止开始在水平面上运动S后撤掉F, 木箱与水平面间的摩擦系数为μ,求撤掉F后木箱滑行的距离L？
多过程问题 直线运动
题3：小球的质量为m，在距地面高度为h处，以初 速度v竖直向上抛出，设空气阻力恒为f且小于mg，且小球与地面碰撞过程中不损失能量，小球最后静止在地面上，则小球在整个运动过程中所经历的路程是多少？

例题4:如图所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m的滑块，距挡板P为S0，以初速度V0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求：滑块在斜面上经过的总路程为多少？
多 过 程 曲线运动
5、如图所示，光滑1/4圆弧的半径0.8m，有一质量为1.0kg的物体自A点从静止开始下滑到B点，然后沿水平面前进4.0m，到达C点停止。求：（1）物体到达B点时的速率.
（2）物体运动过程中摩擦力做的功.
（3）物体与水平面间的动摩擦因数.
6、如图所示，光滑水平面AB与竖直面的半圆形导轨在B点相连接，导轨半径为R，一质量为m的静止木块在A处压缩弹簧，释放后，木块获得一向右的初速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力是其重力的7倍，之后向上运动恰能通过轨道顶点C，不计空气阻力，试求：
(1)弹簧对木块所做的功；
(2)木块从B到C过程中克服摩擦力做的功；
(3)木块离开C点落回水平面所需的时间和落回水平面时的动能。
7、如图所示，一质量为m=1kg的物块，在水平高台上向右运动到达P点时的速度为vP=5m/s，物块运动到A点后水平抛出，恰好无碰撞的沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道．B、D为圆弧的两端点，其连线水平，轨道最低点为C，已知PA长度S=4m，A点距水平面的高度h=0.8m，圆弧半径R=1.0m，圆弧对应的圆心角θ=106°，（g取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．求：（1）物块离开A点时水平初速度的大小；（2）物体与高台平面间的动摩擦因数；（3）物块经过C点时对轨道压力的大小．
做功的过程是能量转化的过程，功是能的转化的量度。
功是一种过程量，能是一种状态量，两者的单位都是（J），但不能说功就是能。
动能的增量由外力做的总功来量度： —— 这就是动能定理。
功 能 关 系
动能定理是力的空间积累作用规律，在不涉及加速度和时间时，能用牛顿定律加运动学公式解的问题，都能用动能定理解题，而且更简便。另外，动能定理还适用于非匀变速运动。
合外力做的功等于物体动能的变化。这里的合外力指物体受到的所有力，包括重力。
运用动能定理解题的关键：分清楚哪些力对物体做功，做正功还是做负功。
技巧：应用动能定理解多过程问题时可把多过程看成整体列方程，更简便。
3、对“动能定理”的学习指导
重力做功与重力势能变化的关系：
势 能
1、重力势能：
2、弹性势能：
重力做正功，重力势能减少
重力做负功，重力势能增加
弹力做正功弹性势能减小
正、负表示大小
说明：
弹簧原长时的弹性势能为零
弹力做负功弹性势能增大
与零势能面的高度差
标量
机械能守恒定律
动能和势能统称为机械能 。
1、机械能：
E机=EK+EP
4、条件：只有重力（或弹簧弹力）做功。
EK1+Ep1=EK2+Ep2
在只有重力（或弹簧弹力）做功的情况下，物体的动能和重力势能（或弹性势能）发生相互转化，但机械能总量保持不变。
2、机械能守恒定律
3、公式：
机械能守恒的情景
Ek增=EP减
例题1：如图所示，小球从高处下落到竖直放 置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是( )
A.重力势能和动能之和总保持不变
B.重力势能和弹性势能之和总保持不变
C.动能和弹性势能之和总保持不变
D.重力势能、弹性势能和动能之和
总保持不变
D
例题2:如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的是：
A．在B位置小球动能最大
B．在C位置小球动能最大
C．从A→C位置小球重力势能的
减少大于小球动能的增加
D．从A→D位置小球重力势能的
减少等于弹簧弹性势能的增加
【BCD】
例3.如图,质量为m的物体以速度v离开桌面,以桌面为零势能面,则当它经过A点时,其势能是_______,其机械能是_______
-mg(H-h)
mv2/2
例4:质量为m的物体从静止出发,以加速度g/3竖直下降高度h,下列说法正确的是:
A.物体的机械能增加mgh/3,
B.物体的机械能减少mgh/3
C.物体的机械能减少2mgh/3
D.物体的动能增加2mgh/3
E.物体的动能增加mgh/3
F.重力做功mgh
G.重力做功mgh/3
【CEF】
5、如图所示，斜面置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 物体的重力势能减少，动能增加，机械能增大
B. 斜面的机械能变化了
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面组成的系统机械能守恒
6、如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面．若以地面为参考平面且不计空气阻力，则（ )
A．物体落到海平面时的重力势能为mgh
B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
重 力 做 功
物体重力势能的减少
弹簧弹力做功
物体弹性势能的减少
合外力做总功
物体动能增量
除重力以外的其 他 力 做 功
物体机械能的增量
功是能量转化的量度
一种形式的能
另一种形式的能
WG=−DEp、 W弹=−DEp弹、 W合=DEk、 W其它=DE机
通过做功来实现
功和能的关系
1 、如图所示．在竖直平面内有轨道ABCDE，其中BC是半径为R的四分之一圆弧轨道，AB(AB>R)是竖直轨道，CE是水平轨道，CD>R．AB与BC相切于B点，BC与CE相切于C点，轨道的AD段光滑，DE段粗糙且足够长。 一根长为R的轻杆两端分别固定着两个质量均为m的相同小球P、Q(视为质点)，将轻杆锁定在图示位置，并使Q与B等高。现解除锁定释放轻杆，轻杆将沿轨道下滑，重力加速度为g。
(1)Q球经过D点后，继续滑行距离s停下(s>R)．求：小球与DE段之间的动摩擦因数。
(2)Q球到达C点时的速度大小。
实验 ：验证机械能守恒定律
一、实验目的：验证机械能守恒定律。
二、实验原理
1.由纸带记录重物的运动，并得到下落高度为h时，重物的瞬时速度v。比较自由下落过程中，减少的重力势能mgh和增加的动能1/2mv2，看它们在实验误差允许的范围内是否相等，若相等，则验证了机械能守恒。
2.计算打第n个点速度的方法：测出第n个点与相邻前后点间距离xn和xn+1，由公式vn=(xn+xn+1)/(2T)或vn=(hn+1-hn-1)/(2T)算出，如图5-5-1所示。
三、实验器材
铁架台(含铁夹)、计时器(电火花计时器或电磁打点计时器)、学生电源、纸带及复写纸片、导线、毫米刻度尺、重物(带纸带夹)。
四、实验步骤
1.按图5-5-2把打点计时器安装在铁架台上，用导线把打点计时器与学生电源连接好。
2.把纸带一端在重物上用夹子固定，另一端穿过打点计时器限位孔，竖直提起纸带使重物停靠在打点计时器附近。
3.先接通电源，后松手让重物带着纸带自由下落。
4.重复几次，得到3~5条打上点的纸带。
5.在打出的纸带中挑选出条点迹清晰，且第1、2两打点间距离接近2 mm的纸带，在第一个打点上标出O，并从稍靠后的某一点开始，依次标出1、2、3、4、…，并量出各点到位置O的距离h1、h2、h3、h4、…，并记入表格中。
6.用公式vn=(hn+1-hn-1)/(2T)计算出各点对应的瞬时速度v1、v2、v3、v4、…，并记录在表格中。
7.计算打各点时重力势能的减少量mghn和动能的增加量1/2mvn2，并进行比较，看是否相等。将计算数值填入表格中。
图5-5-2
五、注意事项
1.应尽可能控制实验条件，即应满足机械能守恒的条件，这就要求尽量减小各种阻力，采取的措施有：
(1)铁架台应竖直安装，可使纸带所受阻力减小；
(2)应选用质量和密度较大的重物，增大重力可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，可使空气阻力减小。
2.应先打开电源，让打点计时器开始打点稳定后，再放开纸带让重物下落。
3.选取纸带的原则是：
(1)点迹清晰； (2)所打点呈一条直线；
(3)第1和第2两打点间距离接近2 mm。
六、误差分析
1.本实验中因重物和纸带在下落过程中要克服各种阻力(空气阻力、打点计时器阻力)做功，故动能的增加量1/2mv2稍小于重力势能的减少量mgh，这是不可避免的，这属于系统误差，改进的办法是调整器材的安装，尽可能地减小阻力。
2.本实验的另一个误差来源于长度的测量，属于偶然误差，可以通过改变长度的测量方法，或者多次测量取平均值来减小误差。
【例1】关于验证机械能守恒定律实验，下面列出一些实验步骤：
A.用天平称出重物和夹子的质量
B.将重物系在夹子上
C.将纸带穿过打点计时器，上端用手提着，下端夹在系有重物的夹子上，再把纸带向上拉，让夹子静止靠近打点计时器处
D.把打点计时器接在学生电源的交流输出端，把输出电压调至6 V(电源暂不接通)
E.把打点计时器用铁夹固定到放在桌边的铁架台上，使两个限位孔在同一竖直线上
F.在纸带上选取几个点，进行测量并记录数据
G.用秒表测出重物下落时间
H.接通电源，待打点计时器工作稳定后释放纸带
I.切断电源
J.更换纸带，重新进行两次实验
K.在三条纸带中，选出较好的一条
L.进行计算，得出结论，完成实验报告
M.拆下导线，整理器材
热点一 实验原理和操作
E D B C H I J K F L M
A G
对于本实验以上步骤中，不必要的有_______；正确步骤的合理顺序是
________________________(填写代表字母)。
某位同学做“验证机械能守恒定律”的实验，下列操作步骤中错误的是( )
A.把打点计时器固定在铁架台上，用导线连接到低压交流电源
B.将连有重锤的纸带穿过限位孔，将纸带和重锤提升到一定高度
C.先释放纸带，再接通电源
D.更换纸带，重复实验，根据记录处理数据
C
【例2】某同学做“验证机械能守恒定律”实验时不慎将一条选择好的纸带的前面一部分破坏了。测出剩下的一段纸带上的各个点间的距离如图5-5-3所示。已知打点计时