第七章　机械能守恒定律
复习课
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变力做功求解方法有以下几种：
一、代换法
如果力的大小(设为F)不变而方向时刻变化，变力对物体做的功，可等效于在该过程中恒力F由某位置移到另一位置时所做的功，用恒力的功代换变力的功．
方法规律探究
【例1】　一恒力F通过光滑的小滑轮和细绳将一质量为m的物体从水平面上点A拉到点B，已知点A、B处细绳与水平方向夹角分别为α、β，滑轮距物体上表面的高度为H，求此过程中拉力所做的功．
图1
解析：物体在水平面上移动过程中，拉绳的牵引力F是恒力，但绳拉物体的力是变力(大小为F，方向是变化的，所以是变力)．从图1可知，物体从点A运动到点B的过程中，此变力使物体在水平方向移动时所做的功W，等效于恒力F由位置A移到位置B时所做的功WF，即W变＝WF＝FLab＝F(L1－L2)＝
二、微元法
如果物体沿圆弧作曲线运动，力沿着物体运动(切线)方向时，力的方向与位移方向同步变化，可把整个过程(圆周)分成无限多微元段，先求力在每个微元段上的“元功”，然后求和(此时S为路程)．
【例2】　马用大小为F＝800 N的水平力，拉着碾子沿着半径为R＝10 m的水平圆形晒场轨道的切线方向，匀速运动一周，求拉力对碾子做的功．
解析：马的拉力始终沿圆周的切线方向，故我们把圆周均匀分割成N个微元段，每段位移为Δs，则每一微元段Δs上都可以认为马的拉力方向不变且与位移Δs方向一致，因而在每一微元段上拉力做功W＝FΔs.所以，马拉碾子一周拉力做功W＝NΔW＝FNΔs＝F·2πR＝5.02×104 J.
答案：5.02×104 J
三、图象法
如果力F对位移的关系为线性时，或在F－x图中表示力变化的图线与x轴围成图形的“面积”有公式可依时，可画出F－x图象，图线与横轴所围成的“面积”在数值上等于功的大小．
【例3】　锤子打击木桩，如果锤每次以相同的动能打击木桩，而且每次均有80%的能量传给木桩，且木桩所受阻力Ff与插入深度x成正比，试求木桩每次打入的深度比．若第一次打击使木桩插入了全长的1/3，那么木桩全部插入必须锤击多少次？
图2
解析：由题知木桩受到的阻力Ff为一与位移x成正比的变力，我们可以做如图2所示的Ff－x图，用图象法求解．图中“面积”S1、S2……表示第1、2……次锤击中，木桩克服阻力做的功，数值上等于锤传给木桩的能量。
答案：9次
四、用动能定理求解
如果力的大小和方向同时变化，物体受到除该变力以外的其它力的功以及物体动能的变化均能求出时，可用动能定理求出这个变力所做的功．
【例4】　如图3所示，光滑水平面AB与竖直平面内的半圆形导轨在点B衔接，导轨半径为R.一个质量为m的静止物体在A处压缩弹簧，在弹力的作用下获得某一向右速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点，求：
(1)弹簧对物体的弹力做的功；
(2)物体从B点至C点阻力做的功．
图3
图4
答案：(1)3mgR　(2)－0.5mgR
五、功率法
如果物体所受某力为变力，但该力的功率P保持不变，可由W＝Pt求出该变力所做的功．
【例5】　为了缩短航空母舰上飞机起飞前行驶的距离，通常用发射架将飞机弹出，使飞机获得一定的初速度，然后进入跑道加速起飞．在静止的航空母舰上，某飞机采用该方法获得的初速度为v0之后，在水平跑道上以恒定功率P沿直线加速行驶，经过距离L(小于跑道长度)离开航空母舰且恰好达到最大速度vm，设飞机的质量为m，飞机在跑道上加速行驶过程中所受阻力的大小恒定．求：飞机的速度由v0增至vm过程所经历的时间以及牵引力所做的功．
六、平均力法
如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值(恒力)代替变力，利用功的定义式W＝ scosθ求功．
【例6】　一辆汽车质量为105 kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍．其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F＝103x＋Ff，Ff是车所受的阻力．当车前进100 m时，牵引力做的功是多少？
答案：1×107 J
七、用机械能守恒定律求解
如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律．如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解．
【例7】　如图5所示，质量m＝2 kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0＝5 m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h＝5 m，求弹簧的弹力对物体所做的功．
图5
答案：－125 J
八、用功能原理求解
功能原理是：系统所受的外力和内力(不包括重力和弹力)所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，如果这些力中只有一个变力做功，且其它力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力所做的功．
【例8】　质量为2 kg的均匀链条长为2 m，自然堆放在光滑的水平面上，用力F竖直向上匀速提起此链条，已知提起链条的速度v＝6 m/s，求该链条全部被提起时拉力F所做的功．
解析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大，链条保持匀速上升，故作用在链条上的拉力是变力，不能直接用功的公式求解．根据功能原理，上提过程拉力F做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求．当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了h＝1 m，故机械能动变化量为：
ΔE＝mgh＝2×10×1 J＝20 J，
根据功能原理，力F所做的功为：W＝20 J.
答案：20 J