进位制
[问题1]我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又有什么联系呢?
进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就是
十六进制;等等.
“满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几.
可使用数字符号的个数称为基数.
基数都是大于1的整数.
如二进制可使用的数字有0和1,基数是2;
　　十进制可使用的数字有0 , 1 , 2 , … , 8 , 9等十个数字,基数是10;
十六进制可使用的数字或符号有0 ~ 9等10个数字以及A ~ F等6个字母(规定字母A ~ F对应10~15),十六进制的基数是16.
注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数.
如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.
十进制数一般不标注基数.
[问题2]十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100.
想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什么形式?
1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20.
同理:
3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.
C7A16(16)=12×164+7×163+10×162
+1×161+6×160.
一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式
anan-1…a1a0(k) (0意思是:(1)第一个数字an不能等于0;
(2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k.
k进制的数也可以表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即
anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1
+…+a1×k1+a0×k0 .
注意这是一个n+1位数.
[问题3]二进制只用0和1两个数字,这正好与电路的通和断两种状态相对应,因此计算机内部都使用二进制.计算机在进行数的运算时,先把接受到的数转化成二进制数进行运算,再把运算结果转化为十进制数输出.
那么二进制数与十进制数之间是如何转化的呢?
例1:把二进制数110011(2)化为十进制数.
分析:先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果.
解:110011(2)
=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20
=1×32+1×16+1×2+1=51.
[问题4]你会把三进制数10221(3)化为十进制数吗?
解:10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31
　　　+1×30 =81+18+6+1=106.
k进制数转化为十进制数的方法
先把k进制的数表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即
anan-1…a1a0(k)
=an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 .
再按照十进制数的运算规则计算出结果.
例2:把89化为五进制的数.
解:以5作为除数,相应的运算式为:
17 4
3 2
0 3
∴ 89=324(5).
89 = 5  17 + 4 = 5  (5  3 + 2) + 4
= 3  52 + 2  5 + 4 = 324(5)
44 1
例3:把89化为二进制的数.
我们可以用下面的除法算式表示除2取余法:
22 0
11 0
5 1
2 1
1 0
0 1
把算式中各步所得的余数从下到上排列,得到
89=1011001(2).
这种方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法,称为除k取余法.
可以用2连续去除89或所得商(一直到商为0为止),然后取余数---除2取余法.
例3:把89化为二进制的数.
分析:把89化为二进制的数,需想办法将89先写成如下形式
89=an×2n+an-1×2n-1+…+a1×21+a0×20 .
89=64+16+8+1=1×26+0×25+1×24 +1×23+0×22+0×21+1×20 =1011001(2).
但如果数太大,我们是无法这样凑出来的,怎么办?
89=44×2+1,
44=22×2+0,
22=11×2+0,
11=5×2+1,
5=2×2+1,
2=1×2+0,
1=0×2+1,
设计一个算法，把k进制数a（共有n位数）转化成十进制数b。
算法步骤：
s1，输入a，b，n的值。
s2，赋值b=0，i=1。
s3，b=b+ai·ki-1，i=i+1。
s4，判断i>n是否成立。若是，则执行s5；否则，返回s3。
s5，输出b的值。
开始
输入a,k,n
b=0
i=1
把a的右数第i位数字赋给t
b=b+t·ki-1
i=i+1
i>n?
输出b
结束
设计一个算法，把k进制数a（共有n位数）转化成十进制数b。
程序:
INPUT “a,k,n=”;a,k,n
b=0
i=1
t = a mod 10
DO
b= b+t＊k^(i-1)
a= a\10
t=a mod 10
i=i+1
LOOP UNTIL i>n
PRINT b
END
只需要验证1101（2）化成十进制就OK了。
例4 设计一个程序,实现“除k取余法”
步骤：
s1，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k.
s2，求出a除以k所得的商q，余数r.
s3，把得到的余数依次从右到左排列.
s4，若q=0则输出全部余数r排列得到的k进制数；
否则a=q，返回s2.
程序:
INPUT “a,k=”;a,k
b=0
i=0
DO
q=a\k
r=a MOD k
b=b+r﹡10^i
i=i+1
a=q
LOOP UNTIL q=0
PRINT b
END
开始
输入a,k
求出a除以k所得的余数r
输出全部余数r排列得到的k进制数
结束
思考 你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?
解:第一步:先把三进制数化为十进制数:
10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30
=81+18+6+1=106.
第二步:再把十进制数化为二进制数:
106=1101010(2).
∴10221(3)=106=1101010(2).