第二课时 进位制
自 学 导 引
1.理解进位制的概念.
3.掌握进位制及在数学中的应用.
课 前 热 身
1.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.“满k进一”就是________,k进制的基数是________.
2.将k进制的数化为十进制数的方法是:先把k进制数写成________________________________的形式,再__________________________________.
3.将十进制数化为k进制数的方法是:___________即________________________________,直到商为零为止,然后_____________________________就是相应的k进制数.
进制
k
用各位上的数字与k的幂的乘积之和
按照十进制数的运算规则计算出结果
除k取余法
用k连续去除该十进制数或所得的商
把每次所得的余数倒着排成一个数
名 师 讲 解
1.进位制的基本原理
一个十进位制正整数N总可以写成N=an×10n+an-1×10n-1+…+a1×101+a0×100的形式,其中an,an-1,…,a1,a0都只能取0至9中的数,且an≠0,例如:365=3×102+6×101+5×100.
一般来说,如果采用k进制,就在右下角处注k,例如:270(k)表示270是k进制中的数,在k进制中,一定有:(1)它有k个不同的数字符号,即0,1,2,…,k-1;(2)它是“逢k进一”即每位数计满k后,向高位进1.例如:230451=2×k5+3×k4+0×k3+4×k2+5×k1+1×k0.
一个k进制的正整数就是各位数码与k的幂的乘积的和,其中幂指数等于相应数码所在位数(从右往左数)减1.
如果k=8,那么在八进制中,一定有:
(1)基数是8,一共有0,1,2,3,4,5,6,7,这八个不同的数字;
(2)它是“逢八进一”,如:7+1=10.
八进制的数转化为十进制的数由下面的算式给出:
327(8)=3×82+2×81+7×80=215(10).
如果k=16,那么一定有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F这十六个不同的数码,它是“逢十六进一”,如:F+1=10.
十六进制转化为十进制可由下列算式给出:
327(16)=3×162+2×161+7×160=807(10).
总之将k进制转化为十进制的方法是:先将这个k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果.如:
anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0.
其中要注意的是,k的幂的最高次数是该k进制数的位数减去1,然后逐个减少1,最后是零次幂,我们称这种方法为方幂法.
2.将十进制数转化为k进制数的方法——除k取余法
用k连续去除该十进制各位数所得的商,直到商为零为止,然后把每次所得的余数倒看成一个数就是相应k进制数.
将一个十进制数a化为k进制数b的步骤如下:
第一步:将给定的十进制整数,除以基数k,余数便是等值的k进制的最低位;
第二步:将上一步的商再除以基数k,余数便是等值的k进制数的次低位;
第三步:重复第二步,直到最后所得商为0,各次除得的余数,便是k进制各位的数,最后一次的余数是最高位.
3.二进制的运算方法
加法:0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10;
乘法:0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1.
典 例 剖 析
题型一 k进制化为十进制
例1:将下列各数化为十进制数.
(1)1234(5);
(2)11001(2);
(3)2010(8);
(4)315(7).
解:(1)1234(5)=1×53+2×52+3×51+4×50=125+50+15+4=194.
(2)11001(2)=1×24+1×23+0×22+0×2+1×20=16+8+1=25.
(3)2010(8)=2×83+0×82+1×8+0
=1024+8=1032.
(4)315(7)=3×72+1×7+5×70
=147+7+5=159.
规律技巧:k进制数化为十进制数的方法:先把k进制数写成不同位上的数字与k的幂的乘积之和的形式,再按十进制数的运算规则计算出结果.
变式训练1:填空:
(1)1011(2)=________(10);
(2)341(16)=________(10).
11
833
题型二 十进制化为k进制
例2:(1)将194化为八进制数;
(2)将48化为二进制数.
解:(1)
∴194化为八进制数为302(8).
(2)

∴48化为二进制数为110000(2).
规律技巧:将十进制化为k进制的方法是:除k取余法,即用k连续去除十进制数或所得的商,直到商为零为止,然后把各步得到的余数倒着写出就是相应的k进制数.
变式训练2:填空:
(1)103化成五进制数为________;
(2)52化成四进制数为________.
403(5)
310(4)
题型三 进位制之间的互化
例3:(1)将58(8)转化为二进制的数;
(2)将七进制数235(7)转化为八进制的数.
分析:先将非十进制数转化为十进制数,再向其它k进制数转化,注意十进制数的中间作用.
解:(1)58(8)=5×81+8×80=48(10).
∴48=110000(2),即58(8)=110000(2).
(2)235(7)=2×72+3×7+5×70=124(10).
∴124=174(8),即235(7)=174(8).
规律技巧:k进制之间的转化,首先转化成十进制,再转化为k进制.
变式训练3:(1)将101111011(2)转化为十进制的数;
(2)将235(7)转化为十进制的数;
(3)将137化为六进制的数;
(4)将53(8)转化为三进制的数.
解:(1)101111011(2)
=1×28+0×27+1×26+1×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1×20
=379(10).
(2)235(7)=2×72+3×71+5×70
=124(10).
(3)

∴137=345(6).
(4)53(8)=5×81+3×80=43.
∴53(8)=1121(3).
题型四 k进制数的综合问题
例4:电子计算机使用二进制,它与十进制的换算关系如下表:
观察二进制1位数,2位数,3位数时,对应的十进制的数,当二进制为6位数能表示十进制中最大的数是________.
解析:最大的6位二进制数是111111,它表示的十进制数最大.由换算关系知,111111=1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20=32+16+8+4+2+1=63.
答案:63
变式训练4:已知k进制的数132与十进制数30相等,那么k等于( )
A.-7 B.4
C.-7或4 D.7
解析:由题意知,132(k)=30,∴1×k2+3×k1+2×k0=30,
即k2+3k-28=0,
∴k=4或k=-7(舍去).
答案:B
技 能 演 练
基础强化
1.把67化为二进制数为( )
A.1100001(2) B.1000011(2)
C.110000(2) D.1000111(2)
解析:
∴67=1000011(2).
答案:B
2.把389化为四进制数的末位为( )
A.1 B.2
C.3 D.0
解析:
∴389=12011(4)
∴389化为四进制数的末位为1.
答案:A
3.以下各数中有可能是五进制数的是( )
A.55 B.106
C.732 D.2134
解析:在5进制数中,所用数字为0,1,2,3,4,因此A､B､C不可能是5进制数,故选D.
答案:D
4.把88转换为5进制数是( )
A.324(5) B.323(5)
C.233(5) D.332(5)
解析:

∴88=323(5)
答案:B
5.下列各数中最小的数是( )
A.111111(2) B.210(6)
C.1000(4) D.81(8)
答案:A
解析:∵111111(2)
=1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20
=25+24+23+22+2+1=63.
210(6)=2×62+1×61+0×60=72+6+0=78.
1000(4)=1×43=64.
81(8)=8×8+1×80=65.
∴最小的数为111111(2).
6.k进制所用数字为0､1､2､3､4､5,则k=________;基数为________.
解析:6进制数由0,1,2,3,4,5组成,∴k=6.基数也为6.
6
6
7.11001101(2)=________(10);318(10)=________(5).
解析:(1)11001101(2)=1×27+1×26+0×25+0×24+1
×23+1×22+0×2+1×20
=128+64+8+4+1
=205.
(2)
∴312(10)=2233(5).
205
2233
8.将八进制数314706(8)转化为十进制数,把十进制数25转化为二进制数.
解:314706(8)
=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80
=104902.
∴314706(8)化为十进制数为104902(10).
即25(10)=11001(2).
能力提升
9.若6×6=44(k),则在这种进制里的数76(k)应记成十进制的什么数?
解:设k为基数,
44(k)=4×k+4×k0=4k+4,
即4k+4=36,
解得k=8.
∴76(8)=7×81+6×80=62(10).
10.古时候,当边境有敌人来犯时,守边的官兵通过在烽火台上点火向国内报告,如图,烽火台点火表示数字1,不点火表示数字0,约定二进制数对应的十进制数的单位是1000.
请你计算一下,这组烽火台表示有多少敌人入侵?
解:由图可知这组烽火台表示的二进制数为11011(2),它表示的十进制数为1×24+1×23+0×22+1×2+1×20=27.
由于对应的十进制单位是1000,所以入侵的敌人的数目为27×1000=27000.
品味高考
11.(2009·济南模拟)把“二进制”数1011001(2)化为“五进制”数是( )
A.224(5) B.234(5)
C.324(5) D.423(5)
解析:先转化为“十进制数”,再转化为“五进制数”.
答案:C
12.(2010·郑州高一质检)三位七进制数表示的最大的十进制的数是( )
A.322 B.402
C.342 D.365
解析:七进制的最大三位数是666,把它化为十进制数为6×72+6×7+6×70=342.
答案:C