第二章
数列
2．1 数列的概念与简单表示法
2．1.1
数列的概念及表示方法
【学习目标】
1．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的
表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数，即数列是一种
特殊的函数．
1．数列的概念
顺序
项
(1)按照一定______排列着的一列数叫做数列，数列中的每
一个数叫做这个数列的______．
首
(2)数列的第一项 a1 也称为______项，an 是数列的第 n 项．
该数列的前 5 项．
2．数列的分类
有穷
无穷
(1)按项数分类：项数有限的数列称为________数列，项数
无限的数列称为________数列．
(2)按项与项之间的大小分类：
①递增数列：对于任意的n≥1，n∈N，都有an＋1>an；
②递减数列：对于任意的n≥1，n∈N，都有an＋1③常数列：对于任意的n≥1，n∈N，都有an＋1＝an.
练习 2：分别写出以下几个常见数列的一个通项公式：
3．数列与函数的关系

数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系可以用一个公式

来 表 示，即an＝f(n)，那 么 这 个 式 子 就 叫 做 这 个 数 列 的

_________．数列的通项公式就是相应函数的解析式．
(1)1,2,3,4,5，…，an＝________；
(2)1,3,5,7,9，…，an＝________；
(3)1,4,9,16,25，…，an＝________；
(4)1,2,4,8,16，…，an＝________；
(5)1，－1,1，－1，…，an＝________.
2n－1
n
n2
2n－1
(－1)n＋1
通项公式
【问题探究】
1．数列与函数的关系如何？
答案：从函数的角度看数列：数列可以看作是一个定义域
为正整数集 N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的数与自变量从
小到大依次取值时对应的一列函数值，这里的函数是一种特殊
函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从 1 开始依次
增大．
2．{an}与an是否相同？
答案：{an}表示整个数列，而an只表示数列{an}中的第n项，二者是不同的概念．
3．数列的通项公式是唯一的吗？
题型 1
由数列的前几项求通项公式
【例 1】 根据数列的前几项，写出下面数列的一个通项公
式：
(1)3,5,9,17,33，…；
思维突破：首先寻找项与序号、项与项之间的联系，然后
用 n 表示 an.
解：(1)3可看成21＋1,5可看成22＋1,9可看成23＋1,17可看成24＋1，…，所以an＝2n＋1(n∈N*)．
根据数列的前几项求通项公式时可参考如下思
路：①先统一项的结构，如都化成分数、根式等；②分析结构
中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号
间的函数解析式；③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝
对值，再用(－1)n 处理符号；④对于周期数列，可考虑拆成几个
简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
【变式与拓展】
1．写出下列数列的一个通项公式：
题型 2
数列中项的求解与判断
思维突破：已知数列的通项公式，代入具体的 n 值便可求
出数列相应项．
【变式与拓展】

2．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项 an 是关于项数 n

的一次函数．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)判断 88 是否为数列{an}的项．
∴an＝4n－2.
(2)设an＝88，则4n－2＝88，n＝22.5.
∵n N*，∴88不是数列{an}中的项．
题型 3
数列的单调性及最值问题
【例 3】 已知数列{an}的通项公式为 an＝－n2＋6n.

(1)数列中有多少项是正数？

(2)当 n 为何值时，an 有最大值？最大值是多少？

解：(1)∵an＝－n(n－6)，n∈N*，

∴当 n＝1,2,3,4,5 时，an>0.

∴数列中有 5 项是正数．

(2)∵an＝－n2＋6n＝－(n－3)2＋9，

∴当 n＝3 时，an 最大，此时，an＝9.

当数列的通项 an 是 n 的函数时，利用函数求最

值的方法，可求 an 的最值．
【变式与拓展】
(1)写出它的一个通项公式；
(2)判断它的增减性．
【例 4】数列{an}的通项公式为 an＝－2n2＋29n＋3，求{an}

的最大项．

易错分析：容易忽略数列的定义域是正整数这个条件，要

知道 n 只能取正整数，且只能从 1 开始依次增大．
[方法·规律·小结]
1．由数列的前几项写出一个通项公式应尽量避免盲目性，
要善于从数值 an 与序号 n 之间的对应关系中发现其规律．首先
要观察哪些因素与序号无关而保持不变，哪些因素随序号的变
化而变化；其次要分析变化的因素与序号 n 的联系；最后是写
出通项后进行验证或调整．
2．通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的
构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律．由数列前
几项写出其通项公式，没有通用的方法可循．
3．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，若数
列所对应的函数单调，则数列一定单调，反之，若数列单调，
则其所对应的函数不一定单调．因为数列是定义域为正整数集
的特殊函数，所以数列的单调性一般要通过比较 an＋1 与 an 的大
小来判断．若 an＋1>an，则数列为递增数列；若 an＋1为递减数列．