误差理论
物理实验
实验目的
实验仪器
实验原理
简明、扼要
实验步骤
实验名称
实验报告的内容
数据记录表格
数据处理
结果陈述与分析讨论
误差理论与数据处理
误差理论包括：误差的定义、分类、来源、误差的控制以及不确定度的评估等
数据处理包括：计算步骤、作图、作表、有效数字运算、实验结果表示等
一、测量和误差
二、误差的种类和来源
四、有效数字
五、结果表示
三、不确定的评定
例：重力加速度的测量（自由落体）：
误差理论功能：
（1）评定实验结果（准？？？不准？？？）
（2）选择合适的实验参数区间，提高测量精度
（3）设计实验时，选择合适的仪器及实验方案
一、测量和误差

1、测量
所谓测量就是以确定量值为目的的一组操作(比较)。
误差理论与数据处理
2、误差
测量值与真值（约定真值）之差
直接测量
间接测量
等精度测量
不等精度测量
误差的表示（表述形式）
绝对误差：
相对误差：
误差理论与数据处理
真值
真值是与给定的特定量定义一致的值。由于测量技术、条件以及真值本身的性质，真值是不可得的，测量结果根据需要有限度地接近真值。实验中常用算术平均值代替真值参与运算 。
例：测得两个物体的长度为：

其相对不确定度分别为：


两者不确定度相等，但相对不确定度后者大1个数量级。
注：不确定度一般取1～2位有效数字。
1、系统误差：
二、 误差的分类和来源（性质）
在相同条件下（实验方法、仪器、环境、人员相同）对同一物理量测量时误差的正、负始终保持不变（要么始终偏大，要么始终偏小；不可能一会偏大，一会偏小）。
（1）仪器的固有缺陷
（2）理论方法有误差
（3）个人误差
产生的原因：
系统误差举例:
例1、千分尺的零值误差
修正值=测量值-零值误差
系统误差举例:
例2、
mA表外接，伏特表分流；
mA表内接， mA表分压；
电阻小时适用
电阻大时适用
————必要时可以修正
系统误差特点：要么偏大，要么偏小，（可知道）
系统误差处理：根据具体问题采取一些措施,例如进行零值修正、 改进实验方案等在一定程度上去克服它。
2、偶然（随机）误差：
随测量次数的增加,偶然（随机）误差遵从统计规律,其分布函数：
某次测量的测量结果与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。
误差理论与数据处理
特点：
某一次测量值可能偏大，下一次测量值可能偏小（随机/偶然），反映了实验的重复性。
——偶然（随机）误差分布函数：
误差理论与数据处理
特点：
单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，而绝对值大的误差出现的概率小。
对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等。
抵偿性: 误差算术平均值随测量次数增加而趋于零。
有界性：绝对值非常大的误差出现的概率趋于零。
归一性：曲线下概率密度和1。
k次测量中，平均值的标准偏差：
k次测量中，单次测量值的标准偏差：
精密度——随机误差
准确度——系统误差
精确度——系统误差和随机误差
三、不确定度的评定
1、不确定度评定的意义
测量结果不可能是绝对准确的，它必然有不确定的成分。这种不确定的程度是可以用一种科学的、合理的、公认的方法来表征，这就是“不确定度”的评定，在测量方法正确的情况下，不确定度愈小，表示测量结果愈可靠。
意义：不确定度必须正确评价。评价得过大，在实验中会怀疑结果的正确性而不能果断地作出判断，在生产中会因测量结果不能满足要求而需再投资，造成浪费；评价得过小，在实验中可能得出错误的结论；在生产中则产品质量不能保证，造成危害。
（1）A类评定不确定度△A：统计方法得到的
2、关于不确定度的一些基本概念和分类
不确定度是表征测量结果具有分散性的一个参数，它是被测量的真值在某一量值范围内的一个评定。
所谓“标准不确定度”是指以“标准偏差”表示的测量不确定度估计值，简称不确定度，记为△。
不确定度一般可分为以下三类：
（2）B类评定不确定度△B：非统计方法得到的
（3）合成标准不确定度△：
系统误差
随机误差
（△A和△B相互独立，且具有相同的置信概率）
（1）A类评定不确定度(平均值标准偏差)：
对单次测量，不计算A类不确定度。
3、不确定度的评定
公式条件: 许多次测量,服从高斯分布
对于具体实验，常常是有限次测量，服从学生分布
学生分布 tp 因子
Tp因子与置信概率和测量次数有关，详见课本page 15
例如：n=6, p=95%, tp=2.57
扩展（展审）置信度：
（2）B 类评定不确定度：
为简单起见, 我们只考虑仪器不确定度：
是用非统计方法获得的,由测量不确定度和仪器不确定度两部分组成。
仪器误差Δ仪表(限)
正确使用仪器时，仪器的示值与被测量真值之间可能产生的最大误差的绝对值被称为仪器误差(限)，用 Δ仪表示。
Δ仪的含义：在正常使用下仪器示值的最大可能误差，置信概率通常为95%～99%。
Δ仪通常由厂家给出，见产品说明书。
常用物理实验仪器的误差限Δ仪
如均匀分布：
扩展（展审）置信度：
例. 一同学用游标卡尺测量某工件的外径，测量结果如下：

其测量结果如何表示？
【解】：
直接测量的标准不确定度的计算示例
测量结果N的标准不确定度为：
3、间接测量的标准不确定度的传递（微分）
(1)和差形式函数
(2)积商形式函数、混合形式函数f，测量结果N的相对不确定度为：
例
不确定度的传递公式举例
(1)
(2)
相对不确定度：
常用函数的不确定度传递公式
间接测量的标准不确定度的计算示例
三、有效数字（表征测量精度的高低）
1、有效数字的概念
有关有效数字的几点说明：
（1）有效数字的位数与小数点的位置无关。
例如：0.00430m = 0.430cm =4.30mm 皆为三位有效数字。（有效数字前的零不是有效数字）
（2）数字中间的0和末尾的0均算有效数字，所以末尾的零不能随意增减。
例如：200.5mm 和 30.50cm 都是四位有效数字。
在测量和计算的数据的各数字中，既有没有误差的可靠数字，又有含有误差的可疑数字，我们把可靠数字和数据最末的一位可疑数字统称为有效数字。
2、仪器的估计读数:
（1）仪器的不确定度对齐
读数 L=25.6 （mm）
例:
测量值读准了的位数加上一位估读位组成有效数字。
3、有效数字的运算（四舍六入五凑偶）
（1） 加减运算：
（2）乘除运算
（3）乘方开方运算
和最靠前的对齐
和位数最少的对齐
位数一样
33
例2: 583.5
－ 41.23
542.27
记作542.3
例1 251.3
+ 24.45
275.75
记作275.8
有效位数运算规则总结：
加减法：
取精度差的（即小数点位数最少的）。
34
例3: 562.31
× 12.1
56231
112462
56231
6803.951
记作6.80×103
乘除法：
取有效位数最少的相同（特殊情况比最少者多一位）。
有效位数运算规则总结：
记
例1：
光速C=30万公里每秒
不正确的写法：C=300000km/s；C=30km/s
正确的写法：C=3.0×105km/s=3.0×108m/s
例2：
电子电量 e = 1.602189 ×10-19 C
科学记数法
（4）测量结果的有效数字位数的确定：
小数点对齐
要求：（1）误差最多两个有效数字
（2）小数位数对齐
N=0.123456…=0.12
N=0.6789……=0.7
四、结果表示：
（单位）
1、结果属于计算出一个量值的
P不写，默认为95%
取舍原则：四舍六入五凑偶
0.345=0.34
0.355=0.36
(1)作图用纸一般应采用标准坐标纸，图纸的大小应能反映物理量的有效数字；作图区域应占图纸的一半以上。
(2)取自变量为横坐标（向右增大）；取因变量为纵坐标（向上增大）。画出纵、横坐标轴，并与图纸上印的线条密切重合，但坐标轴不一定取图纸所印表格的边线，坐标轴的标度值不一定从零开始。
(3)根据自变量（及因变量）的最低值与最高值，选取合适的作图比例，应取图纸上的1格所表示的原数据的量值变化为1、2、5等数（或它们的十进倍率）。
2、作图规范：
(4)每隔相同距离，沿轴画一垂直于轴的短线（称为标度线），并在其附近注以标度值，标度值的位数不必取实验数据中的全部有效数字位数，例如2.50只标2.5即可。（一般在各坐标轴上可标5－10个标度值。）
(5)对每一坐标轴，要标明物理量的名称及单位符号。（标注的方法与表格相同。）
(6.)数据点用端正的“＋”或“△”等符号来表示。数据点应在符号的中心，符号的大小应相当于不确定度的大小；但为简单起见，也可统一取2－3mm。在一张图纸上作多条曲线时，不同的数据组应使用不同的符号来表示数据点，并在图中适当位置说明不同符号的不同意义。求斜率时取点的符号应采用有别于这些数据点的符号，例如用正三角形“ △”，并在其旁标以坐标（坐标值应正确写出有效数字）；
(7)拟合直线或曲线的线条务必匀、细、光滑。不通过图线的数据点应匀称地分布在图线的两侧，且尽量靠近图线。
(8)在实验报告的图纸中，应写上图名、日期、图纸上的中英文字及数字等均需写端正。
以上是针对用手工作图的。当然也可以借助计算机作图，则有些规则（如数据点在符号的中心，线条匀、细、光滑，书写端正等）是自动满足的。虽然计算机可以任意取比例，使曲线（或直线）充满图纸，但实验作图时不宜采用这种方法，两标度线间的量值变化仍应取1、2、5及其十进倍率为佳，因为只有这样，才易于使用者读图。
3、逐差法
在两个变量之间存在多项式函数关系，且自变量为等差级数变化的情况下，用逐差法处理数据，既能充分利用实验数据，又具有减小误差的效果。
随机误差具有抵偿性，多次测量的结果，常用平均值来估计最佳值，以消除随机误差的影响。但是，当自变量与因变量成线性关系时，对于自变量等间距变化的多次测量，如果用求差平均的方法计算因变量的平均增量，就会使中间测量数据两两抵消，失去利用多次测量求平均的意义。
例，在拉伸法测杨氏模量的实验中，当荷重均匀增加时，标尺位置读数依次为


中间的测量数据对 的计算值不起作用。如何避免这种情况下中间数据的损失？
逐差法是物理实验中常用的一种数据处理方法，逐差法是将测量得到的数据按自变量的大小顺序排列后平分为前后两组，先求出两组中对应项的差值(即求逐差)，然后取其平均值。
4、最小二乘法线性拟合
谢谢！
直接测量的数据处理程序
求测量数据的平均值
修正已定系统误差 (例如初读数x0），得
求算术平均值的标准偏差
根据所用仪器得 DB=D仪 =e
将极限误差换算为标准差
由A、 B合成总不确定度u :
给出直接测量的最后结果：
间接测量的数据处理程序
1. 求出各直接测量量 xi 的平均值 和(总)不确定度
2. 求y的平均值
3. 据 求出 或
3.用 求出
或先用 求出 再求
4.完整表示出y的结果
(1). 两数相加（减），其和（差）的有效位数的最后（即最右）一位与 两数中最后一位位数高者相同。如：
11.4+3.56 =15.0 ； 75-10.350 =65

十分位 十分位 个位 个位
(2). 两数相乘（除），其积（商）的有效位数与两数中有效位数少者相 同。如：
98 × 2003 =2.0×105 ； 2.000÷0.991=2.02

二位 二位 三位 三位

注：正确数不适用上述规则
常数应取足够的有效位数参与运算
简化的运算规则