物理竞赛辅导
电磁学（一）
电学部分复习
一、电场强度的计算（矢量叠加）
1. 点电荷的电场
2. 场强叠加原理
（1）点电荷系
（2）连续带电体
（3）己知各带电体的场强 , 直接场强矢量叠加
3. 高斯定理
4. 电势梯度
电场力的功
二、电势的计算（标量叠加）
几种特殊带电体的电场
特殊带电体的电势
三、有导体存在时静电场的分析与计算
分析问题的依据：
1.静电平衡条件 2.电荷守恒 3.高斯定理
四、静电场中的电介质
各项同性
五、电容器及电场能量
例：在xoy面上倒扣着半径为R的半球面上电荷均匀分布，面电荷密度为。A点的坐标为(0, R/2)，B点的坐标为(3R/2, 0)，则电势差UAB为 ———— 。
Q为整个带电球面的电荷
由对称性
或从场强积分的角度考虑
例：三等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均匀分布等量同号电荷，测得图中P，Q两点（均为相应正三角形的重心）的电势分别为P 和  Q 。若撤去BC棒，则P，Q两点的电势为 P =——， 'Q =——。
解：设AB, BC, CA三棒对 P点的电势及AC对Q点的电势皆为 1
AB, BC棒对Q点的电势皆为 2
撤去BC棒
例：半径分别为R1与R2的两同心均匀带电半球面相对放置（如图），两半球面上的电荷密度1与2满足关系 1 R1 = - 2 R2 1）试证明小球面所对的圆截面S为一等势面 。 2）求等势面S上的电势值。
E左
E右
1）均匀带电球面内场强为零
因此场强必定都垂直于截面
2）S上的电势  =  0
例：厚度为b的无限大平板内分布有均匀体电荷密度为 （>0）的自由电荷，在板外两侧分别充有介电常数为 1与2的均匀电介质，如图，求：1）板内外的电场强度 。 2）A, B两点的电势差。
解：设 E=0 的平面 MN 距左侧面为 d1 , 距右侧面为 d2 .
据对称性, E垂直MN指向两侧
1) 求 D, E
x
x
o
例：无限大带电导体板两侧面上的电荷面密度为 0 ，现在导体板两侧分别充以介电常数 1 与 2 （ 1 2）的均匀电介质。求导体两侧电场强度的大小。
1
2
充介质后导体两侧电荷重新分布，设自由电荷面密度分别为0 1 和0 2
例：在两平行无限大平面内是电荷体密度 > 0的均匀带电空间，如图示有一质量为m，电量为q( < 0 )的点电荷在带电板的边缘自由释放，在只考虑电场力不考虑其它阻力的情况下，该点电荷运动到中心对称面oo的时间是多少？
d
 > 0
o
o
q< 0
q以oo为中心，在两平面内做简谐振动
例：一直流电源与一大平行板电容器相连，其中相对介电常数为 r 的固态介质的厚度恰为两极板间距的二分之一，两极板都处于水平位置，假设此时图中带电小球 P 恰好能处于静止状态，现将电容器中的固态介质块抽出，稳定后试求带电小球 P 在竖直方向上运动的加速度 a 的方向和大小。
解：P处于平衡状态，则其定带负电
由于电容器始终与电源相连，U一定
U  E  F  a
方向向下
例：板间距为 2d 的大平行板电容器水平放置，电容器的右半部分充满相对介电常数为 r 的固态电介质，左半部分空间的正中位置有一带电小球 P，电容器充电后 P 恰好处于平衡位置，拆去充电电源，将电介质快速抽出，略去静电平衡经历的时间，不计带电小球 P 对电容器极板电荷分布的影响，则 P 将经过多长时间与电容器的一个极板相碰。
拆去电源后，再将介质抽出，过程中总Q不变，但分布变
设：小球 m, q, 极板 S, Q, 场强E0 、E
场强变化，P受力变化，关键求E
初始
例：一平行板电容器中有两层具有一定导电性的电介质A和B，它们的相对介电常数、电导率和厚度分别为 A, A, dA, B, B, dB ; 且 dA+dB = d, d 为平板电容器的两块极板之间的距离。现将此电容器接至电压为V 的电源上（与介质A接触的极板接电源正极），设极板面积为S, 忽略边缘效应，试求稳定时（1）电容器所损耗的功率 P；（2）电介质A和B中的电场能量WA和WB；（3）电介质A和B的交界面上的自由电荷面密度自和束缚电荷面密度束。
 = 1/
（2）电介质A和B中的电场能量WA 和 WB
稳定后电介质A和B中的电流密度相等
（3）电介质A和B的交界面上的自由电荷面密度自和束缚电荷面密度束
例：球形电容器的两个极为两个同心金属球壳，极间充满均匀各向同性的线性介质，其相对介电常量为r .当电极带电后，其极上的电荷量将因介质漏电而逐渐减少。设介质的电阻率为，t = 0 时，内外电极上电量分别为±Q0 , 求电极上电量随时间减少的规律 Q(t) 以及两极间与球心相距为 r 的任一点处的传导电流密度 j (r,t ).
因电流沿径向流动，总电阻可看成无数多薄球壳的串联
一、 点电荷系的相互作用能（电势能）
两个点电荷：
同理：
写成对称形式：
电 荷 系 的 静 电 能
相互作用能W互：把各点电荷由现在位置分散至相距无穷远的过程中电场力作的功。
三个点电荷：

推广至一般点电荷系：
Ui ：除 qi 外，其余点电荷在qi 所在处的电势。
静电能W：把电荷无限分割并分散到相距无穷
远时，电场力作的功。
只有一个带电体
多个带电体
总静电能
二、 连续带电体的静电能（自能）
例：在每边长为a的正六边形各顶点处有固定的点电荷， 它们的电量相间地为Q 或 – Q. 1）试求因点电荷间静电作用而使系统具有的电势能W 2）若用外力将其中相邻的两个点电荷一起（即始终 保持它们的间距不变）缓慢地移动到无穷远处， 其余固定的点电荷位置不变，试求外力作功量A.
1）Q，- Q 所在处的电势
2) 外力作功量A.
余下四个点电荷系统的电势能
无穷远处一对电荷间的电势能
.
解：
R3球面（均匀带电Q的球面）电势
R2球面电势与R3球面电势相同
R1球面电势
系统电势能

2. 运动电荷的磁场
[q有正,负]
3. 稳恒电流的安培环路定理
1. 毕一萨定律
稳恒磁场复习
有磁介质
1）“无限长”载流直导线
2） “无限长”载流薄圆筒
B内 = 0
3） “无限长”载流密绕直螺线管,细螺绕环
B内 = 0 n I , B外= 0 .
4） 圆环电流的圆心上
5）无限大载流平面，面电流的线密度 i
1. 洛仑兹力----运动电荷在磁场中受力
2. 安培力----电流元在磁场中受力
3. 载流线圈在均匀磁场中受磁力矩
磁 力
例：半径为R无限长半圆柱导体上均匀地流过电流 I, 求半圆柱轴线（原圆柱体中心轴线）处的磁感应强度B.
1) 选取电流元 r  r + dr, d
x
y
2) 另选电流元如图
⊙
I
. P
解：运动电荷的磁场
任选一点 P，求 P 点磁场
Q
dq
例：设在讨论的空间范围内有均匀磁场B，在纸平面上有一长为h的光滑绝缘空心细管MN，管的M端内有一质量为m , 带电量为q > 0的小球P。开始时P相对管静止，而后管带着P朝垂直于管的长度方向始终以匀速度u运动，那么，小球P从N端离开管后，在磁场中做圆周运动的半径为R = ——。（不考虑重力及各种阻力）
解：小球受洛仑兹力作用如图
解：电子被加速后
例：原点O（0, 0）处有一带电粒子源，以同一速率v沿xy平面内的各个不同方向（1800）发射质量为m, 电量为q（>0）的带电粒子，试设计一方向垂直于xy平面，大小为B的均匀磁场区域，使由O发射的带电粒子经磁场并从其边界逸出后均能沿 x 轴正方向运动。 （写出磁场边界线方程，并画出边界线）
x
y
O
设：磁场方向如图，且无边界
任一粒子束，v ,  其运动轨迹
v
O
过O作平行于y 轴的直线它与圆周交于P点
P
粒子在P点时，速度恰沿x方向，若在此之后粒子不受磁力，则其将沿x轴正方向运动。
y
O
v
o
P
即P点应在磁场的边界上
不同 角发出的粒子， 其P点坐标均满足此方程
所有P点的轨迹方程，也是磁场的边界方程
x
例：一球形电容器中间充以均匀电介质，该介质缓慢漏电，在漏电过程中，传导电流产生的磁场为Bc，位移电流产生的磁场为Bd，则