高中物理竞赛辅导之
刚体动力学
质点对点的角动量为:
角动量方向：右手螺旋定则
思考：质点对轴的角动量如何？
预备知识
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体. （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）
刚体的运动形式：平动、转动.
平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线.
一 刚体的平动与转动
定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 . 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
刚体的平面运动 .
二 转动定律
转动惯量物理意义：转动惯性的量度.
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
质量连续分布
单位:千克·米2（kg·m2）
讨论： 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，与棒垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 .
圆盘、圆柱绕中心轴的转动惯量
球体绕其直径的转动惯量
将均质球体分割成一系列彼此平行且都与对称轴垂直得圆盘，则有
平行轴定理
设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J，绕通过质心而平行于轴O的转动惯量为Jc，则有
Ri
ri
d
x
M
M
2a
2a
对于薄板刚体，绕垂直于板面的轴Oz的转动惯量，等于位于板面内与Oz轴交于一点的两相互正交轴Ox和Oy的转动惯量之和。
例如：薄盘绕直径的转动惯量
垂直轴定理
若力学体系有几个部分组成，整体绕定轴转动的转动惯量,等与各部分对该轴的转动惯量之和。即
组合定理
竿子长些还是短些较安全？
飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？
由角加速度的定义
例2 有一半径为R质量为 m 匀质圆盘, 以角速度ω0绕通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试问经过多长时间圆盘才停止转动?
解: 在圆盘上取面积微元, 面积元所受对转轴的摩擦力矩大小
刹车片
解: 物体由斜面顶端滚下, 可视为质心的平动和相对质心的滚动两种运动合成.
例4 有一缓慢改变倾角的固定斜面，如图所示。一质量为m ，半径为R 的匀质圆柱体从高h 处由静止沿光滑斜面滑下，紧接着沿粗糙水平面运动。已知水平面与圆柱体间的摩擦系数,求：
1）圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。
2）圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离。
解：1）沿光滑斜面，圆柱体仅作滑动；沿水平面达到纯滚动前作滑滚运动。
动力学方程为：
由以上三式解得：
达到纯滚动前有：
达到纯滚动时有：
解得作纯滚动经历的时间：
2）达到纯滚动时经历的距离：
解 （1）隔离物体分别对物体A、B 及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律 、转动定律列方程 .
（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
结合（1）中其它方程
三 角动量定理与角动量守恒
刚体定轴转动的角动量定理
刚体定轴转动的角动量
非刚体定轴转动的角动量定理
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
内力矩不改变系统的角动量.
三 刚体定轴转动的角动量守恒定律
有许多现象都可以用角动量守恒来说明. 它是自然界的普遍适用的规律.
花样滑冰
跳水运动员跳水
解: 系统角动量守恒
解: 碰撞前 M 落在 A点的速度
碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度
M、N和跷板系统角动量守恒
解: 碰撞前后系统角动量守恒
角动量定理
1 力矩作功
四 刚体定轴转动的动能与动能定理
3 转动动能
4 刚体绕定轴转动的动能定理
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 .
质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之和。此结论称为柯尼希定理。
科尼希定理
圆锥摆
解: 把子弹和竿看作一个系统 . 子弹射入竿的过程系统角动量守恒
解: 把子弹和竿看作一个系统 . 子弹射入竿的过程系统角动量守恒
射入竿后，以子弹、细杆和
地球为系统 ，机械能守恒 .
例5 一根长为l、质量为m的均匀细棒, 棒的一端可绕通过O点并垂直于纸面的轴转动, 棒的另一端有质量为 m 的小球. 开始时, 棒静止地处于水平位置A. 当棒转过  角到达位置 B, 棒的角速度为多少?
解: 取小球、细棒和地球为系统, 在棒转动过程中机械能守恒, 设 A 位置为重力势能零点.
刚体的平面运动
知识拓展
一、问题的提出
回顾：刚体的简单运动—平动和定轴转动
请观察以下刚体的运动：
火车车轮
刚体平面运动的定义：
在运动过程中,刚体上任一点到某一固定平面的距离始终
保持不变.即刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面
内运动．
二、刚体平面运动的简化
● 过刚体作平面Ⅱ平行平面Ⅰ
平面Ⅱ与刚体相交截出一个平面图形S；
●平面图形S始终保持在平面Ⅱ内运动；
●在S面内任选一点M，过M做平面Ⅱ垂线
刚体平面运动
A1MA2做平动M点可代表直线A1MA2上各点的运动
设刚体上任一点到固定平面Ⅰ的距离保持不变
平面运动定理：
平面运动可任意选取基点，分解为随基点的平动和相对基点的转动，其中平动的速度和加速度与基点的选择有关，而绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关，或者说平面图形相对各平移参考系的转动情况都一样。
所以提平面图形的角速度，无需指明是相对哪个基点的转动。
例6 行星轮系机构如图。大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮II沿轮I只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为wO。求轮II的角速度wII及其上B，C两点的速度。
解:行星齿轮II作平面运动，求得A点的速度为
wO
O
D
A
C
B
I
II
以A为基点，分析两轮接触点D的速度。
由于齿轮I固定不动，接触点D不滑动，显然vD＝0，因而有vDA＝vA＝wO(r1+r2)，方向与vA相反，vDA为点D相对基点A的速度，应有vDA ＝wII·DA。所以
wO
O
D
A
C
B
I
II
以A为基点，分析点B的速度。
vBA与vA垂直且相等，点B的速度
以A为基点，分析点C的速度。
vCA与vA方向一致且相等，点C的速度
定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。
三 求平面图形内各点速度的瞬心法
设有一个平面图形S角速度为w，图形上点A的速度为vA，如图。在vA的垂线上取一点C (由vA到AC的转向与图形的转向一致)，有
如果取AC＝ vA /w ，则
该点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。
图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比。速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方。
三 求平面图形内各点速度的瞬心法
w
C
确定速度瞬心位置的方法有下列几种：
(1) 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心。如车轮在地面上作无滑动的滚动时。
三 求平面图形内各点速度的瞬心法
(2) 已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上。
三 求平面图形内各点速度的瞬心法
(3) 已知图形上两点A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬心必定在连线AB与速度矢vA和vB端点连线的　交点C上。
三 求平面图形内各点速度的瞬心法
(4)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等,如图所示，图形的速度瞬心在无限远处。(瞬时平动：此时物体上各点速度相同，但加速度不一定相等)
三 求平面图形内各点速度的瞬心法
另外注意：瞬心的位置是随时间在不断改变的，它只是在某瞬时的速度为零，加速度并不为零。
例7 求图示B点及直杆中点M的速度。
解： AB作平面运动
A
vA
B
30°
C
M
瞬心在C点
例8 已知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为v，半径为r。求轮子上A1、A2、A3和A4点的速度。
A3
w
A2
A4
A1
解：很显然速度瞬心在轮子与地面的接触点即A1
各点的速度方向分别为各点与A点连线的垂线方向，转向与w相同，由此可见车轮顶点的速度最快，最下面点的速度为零。
O
45º
90º
90º
O1
O
B
A
D
例9 已知四连杆机构中O1B＝l，AB＝3l/2，AD＝DB，OA以w绕O轴转动。求：(1) AB杆的角速度；(2) B和D点的速度。
w
解：AB作平面运动，OA和O1B都作定轴转动，C点是AB杆作平面运动的速度瞬心。
C
即
例11 半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动， 圆心A点的速度及加速度如图， AB杆长度l，可以绕圆心A点转动。求：（1）B端的速度和加速度；（2）AB杆的角速度和角加速度。
解：由速度分布可知AB 杆瞬心在C点，
(2) 取A点为基点，进行加速度分析
在 Bx、 By 轴投影得
大小
方向
解：对机构进行运动分析，
AB 杆的瞬心为O点
求：B点的速度和加速度。
(2) 加速度分析， 取A点为基点
在 BA 轴投影得
大小
方向
刚体力学问题解析
飞轮质量60 kg,直径d=0.50 m闸瓦与轮间μ=0.4;飞轮质量分布在外层圆周,要求在t=5 s内制动,求F力大小.
刚体问题1
对飞轮
其中
对制动杆
质量为m的均匀细杆由竖直受一微扰倒下,求夹角为θ时,质心速度及杆的角速度
刚体问题2
质心不受水平方向作用,做自由下落运动!
由机械能守恒:
由相关速度:
杆对质心的转动惯量:
小试身手题1
着地时,两杆瞬时转轴为A(B)
B
A
由机械能守恒:
如图，两根等重的细杆AB及AC，在C点用铰链连接，放在光滑水平面上，设两杆由图示位置无初速地开始运动，求铰链C着地时的速度．
小试身手题2
轴心降低h过程中机械能守恒
B
其中圆柱体对轴P的转动惯量
由转动定律:
由质心运动定律:
如图，圆柱体A的质量为m，在其中部绕以细绳，绳的一端B固定不动，圆柱体初速为零地下落，当其轴心降低h时，求圆柱体轴心的速度及绳上的张力．
小试身手题3
纯滚动时圆柱角速度由机械能守恒:
与墙弹性碰撞,质心速度反向,角速度不变,此后受摩擦力作用经时间t 达纯滚动:
由动量定理
由角动量定理
纯滚动后机械能守恒:
如图，实心圆柱体从高度为h的斜坡上从静止纯滚动地到达水平地面上，继续纯滚动，与光滑竖直墙做完全弹性碰撞后返回，经足够长的水平距离后重新做纯滚动，并纯滚动地爬上斜坡，设地面与圆柱体之间的摩擦系数为μ，试求圆柱体爬坡所能达到的高度h′.
小试身手题4
2
⑴完成弹性碰撞后设两球各经t1、t2达到纯滚动，质心速度为v1、v2，
对球1：
，
对球2：
在水平地面上有两个完全相同的均匀实心球，其一做纯滚动，质心速度为v，另一静止不动，两球做完全弹性碰撞，因碰撞时间很短，碰撞过程中摩擦力的影响可以不计．试求⑴碰后两球达到纯滚动时的质心速度；⑵全部过程中损失的机械能的百分数．
续解
⑵系统原机械能为
达到纯滚动后的机械能
读题
设以某棱为轴转动历时Δt，角速度ωi→ωf，
a
对质心由动量定理：
对刚体由动量矩定理：
时间短，忽略重力冲量及冲量矩