天体运动规律一览表
双星模型特征与规律
★模型特征：
故有

之二：∵角速度相同，即
之三：∵两天体做圆周运动的向心力大小相等，
之四：
之一：两天体做圆周运动的向心力均为两天体间的万有引力，大小相等，即
★模型规律：
两颗相近的天体绕它们连线上的某点（质心Ｏ）以共同的角速度做匀速圆周运动 .
之五：双星系统动量守恒
一个常用的推导—天体的密度
v0
b
a
c
d
e
牛顿的草图-天体的运动轨迹
轨道与能量
机械能守恒
支配天体运动的守恒定律
引力势能
动量守恒
轨道与能量
两个天体相互作用过程中，如果其它星系离它们很遥远，对它们的作用可以忽略的话，这两个天体的总动量守恒，两个天体从相距很远到相互作用直到远离，它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组，那么在它们相互作用的前后相对速度遵守“反射定律”，如果是一维方向上的“弹性碰撞”，则相对速度等值反向．若一个飞船向外喷气或抛射物体，则系统的动量守恒而机械能不守恒．
角动量守恒
角动量
若作用在质点上的力对某定点的力矩为零，则质点对该定点的角动量保持不变，这就是质点的角动量守恒定律．物体在受有心力作用而绕着中心天体运动，或几个天体互相绕其系统质心运动时，由于有心力必过力心，对力心的力矩为零，故系统的角动量守恒．即 ．
示例
模型与方法
r1
rn
引力势能
物体只在引力作用下绕中心天体运行，其机械能守恒．引力是保守力，引力场是势场，在平方反比力场中，质点的引力势能取决于其在有心力场中的位置．
在中心引力场中，m从A1移至无穷远处，引力做负功为：
以无穷远处为零引力势能位置，物体在距中心天体r远处的引力势能为
返回
角动量
p
矢量r称位置矢量，或称矢径
绕定点圆运动质点的（线）动量为
方向总是与矢径r垂直
定义: 质点动量大小mv与矢径大小r的乘积为质点对定点（圆心）O的角动量：L=pr
当p与r方向不垂直而成角度θ：
p
r
A
角动量大小
等于动量大小与O点到动量矢量p的垂直距离的乘积 ;方向遵守右手定则,矢量定义式为
返回
r2
r1
m
O
均匀球壳对壳内物质的万有引力
M
两面元质量各为
r
两面元对壳内质点m的引力各为
由几何关系:
整个球壳对球壳内物质的万有引力为零!
对于一个质量均匀半径为R的实心球，在距球心r（＜R）处质点只受半径为r的球内质量的万有引力，而r以外球壳（即R为外径r为内径的球壳）则对质点无引力的作用．
r
M
R
m
距球心r处所置质点受到引力大小

距球心r处所置质点的引力势能
均匀实心球的万有引力
返回
试推导地球上的第三宇宙速度v3．
专题11-例1
地球质量M 太阳质量MS 地球半径R 日地距离r 物体质量m
第一宇宙速度v1：
(地球环绕速度)
这是以日为参照物之速度，而地球对太阳的公转速度=29.8 km/s；则以地球为参照物，这个速度为
第二宇宙速度v2：
(地球逃逸速度)
由能量守恒
第三宇宙速度v3：
(太阳逃逸速度)
原处于太阳系中地球轨道位置的物体离开太阳系所需“逃逸速度”
由能量守恒：
水平直径以上各点的临界速度
⑴在水平直径以上各点弹力方向是指向圆心的情况，例如系在绳端的小球，过山车……
当FT =0时，v 临界=
在水平直径以上各点不脱离轨道因而可做完整的圆运动的条件是 ：
⑵在水平直径以上各点弹力方向是背离圆心的情况，例如车过拱形桥……
当FN =0时，v 临界=
在水平直径以上各点不脱离轨道的条件是 ：
FN
Ff
v
FN
v
Ff
运动学方法求珠子轨迹抛物线该点曲率半径
将珠子的运动等效为从高
处水平抛出、
、初速度为
射程为
的平抛运动
对轨迹上的P点:
查阅
则珠子速度
动力学的几个特别问题及处理方法
规律
规律
规律
规律
加速度与力是瞬时对应的，外力一旦改变，加速度也立即改变，力与加速度的因果对应具有同时性．确定某瞬时质点的加速度，关键在分析该瞬时质点的受力，对制约着对象运动状态的各个力的情况作出准确判断.
示例
质点系
F1
Fi
F2
F3
质点系各质点受系统以外力F1、F2、……
对质点1
对各质点
质点系的牛顿第二定律
示例
绳、杆约束物系或接触物系各部分加速度往往有相关联系，确定它们的大小关系的一般方法是：设想物系各部分从静止开始匀加速运动同一时间，则由
可知，加速度与位移大小成正比，确定了相关物体在同一时间内的位移比，便确定了两者加速度大小关系．
物系加速度相关关系
x
2x
力的加速度效果分配法则
问题情景
如果引起整体加速度的外力大小为F，则引起各部分同一加速度的力大小与各部分质量成正比， F这个力的加速度效果将依质量正比例地分配．
非惯性系
相对于惯性系以加速度a运动的参考系称非惯性参考系.
牛顿运动定律在非惯性参考系中不能适用
小球不受外力而静止
小球不受外力而向我加速
惯性力
为了使牛顿定律在非惯性系中具有与惯性系相同的形式，我们可以引入一个虚拟的力叫惯性力使牛顿第二定律形式为
可适用于非惯性系．
惯性力与物体实际受到的力（按性质命名的力）不同，它是虚构的，没有施力物，不属于哪种性质的力．
"过河"问题
船对岸的速度（绝对速度） v
水对岸的速度（牵连速度）v水
船对水的速度（相对速度）v舟
⑴关于航行时间
渡河时间取决于船对水的速度v舟:
当v舟方向垂直于河岸时，船相对于水的分运动位移S舟=d最小，故可使渡河时间最短:
S
v水
v舟
v
v
水速大小不影响渡河时间!
矢量图示
⑵关于实际航程
v水
v舟
v
为使航程最小，应使v舟与v水的合速度v与河岸的垂线间的夹角θ尽量地小！
若v舟＜v水，船的实际位移与河岸的垂线夹角最小出现在
若v舟＞v水，船的实际位移为河宽d航程即最短，故 v舟的方向与船的航线成
船头指向上游
v舟
v水
v
矢量图示
这时船的实际航程为
船头指向上游且与实际航线垂直，与上游河岸成
当船的航程最短时，航行时间不是最短．
质点的瞬时加速度定义为
A
vB
为求一般的做曲线运动质点在任一点的瞬时加速度，通常将其分解为法向加速度an与切向加速度at．
O
A点曲率圆
A点曲率圆半径
B
曲线的弯曲程度用曲率描述
曲线上某点的曲率定义为
圆周上各点曲率相同:
曲线上各点对应的半径为该点曲率倒数1/K的圆称为曲率圆,该圆圆心称曲线该点的曲率中心!
受恒力作用
平抛运动规律
力与初速度垂直
轨迹为半支抛物线
匀变速曲线运动
◎物体在时刻t的位置
◎物体在时刻t的速度
水平方向匀速运动与竖直方向自由落体运动的合成
返回
平抛初速大小不同,落在斜面上时速度方向相同!
变换坐标描述平抛运动
v0
g
空中飞行时间
距斜面最大高度
沿斜面方向的匀加速运动与垂直斜面方向的上抛运动之合成!
利用图象求功之方法适用于当力对位移的关系为线性时;或在表示力对位移关系的F-s示功图中F(s)图线与s轴围成的图形“面积”有公式可依时;因为在F-s示功图中，这种“面积”的物理意义就是功的大小．
利用图象—示功图
x
W
如果在某一位移区间，力随位移变化的关系为F=f(s) ，求该变力的功通常用微元法，即将位移区间分成n（n→∞）个小区间s/n，在每个小区间内将力视为恒定，求其元功Fi· s/n ，由于功是标量，具有“可加性”，那么总功等于每个小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段位移中所做的功为：
用微元法
在数学上，确定元功相当于给出数列通项式，求总功即求数列n项和当n→∞时的极限．
这种求功方法依据功对能量变化的量度关系，只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便是相应的功量．
从能量变化反观功
功能关系面面观
功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量度．功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功的过程就是物体能量转化的过程，转化了的能量都可以由做功的多少来量度，这是我们对功与能之间关系的基本认识，是我们从能量角度解决运动问题的依据．
功能对应规律
借助功与能的具体对应关系，对运动的功的量度问题作出正确的操作.
⑵确定有哪些力对研究对象做了正功或负功，以代数和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表述；
⑶分析所研究过程的初、未两状态的动能，完成等号右边对动能变化的表述 ；
动能定理的应用
⑴选定研究的对象与过程;
示例
一定的能量变化由相应的功来量度
※重力功量度重力势能的变化：
※外力（可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它力）做的总功量度动能的变化：
※弹力功量度弹性势能的变化：
动能定理
※引力功量度引力势能的变化：
※非重力弹力功量度机械能的变化：
势能定理
功能原理
※电场力功量度电势能的变化：
（W非可以是摩擦力功、电场力功、安培力功或其它非重力、弹簧弹力的功）
返回
P0+P水
P0
设小孔处一小片厚Δx、面积S的液片,在内外压力之合力作用下获得速度v而离开小孔，由动能定理:
小孔流速模型
P0
返回
P
P+P水
元功法
取元功作微元，以功能原理为基本依据求得一类物理问题解答的方法，我们称之为“元功法”.这种解法所循基本原理是分析力学中的“虚功原理”，由伯努利首先提出的．用元功法可以处理某些平衡问题，且颇为简单．
取与原平衡状态逼近的另一平衡状态，从而虚设一个元过程，此过程中所有元功之和为零，以此为基本关系列出方程，通过极限处理，求得终解．
动量定理之应用
(1)遵从矢量性与独立性原理
(2)合理与必要的近似
(3)尽量取大系统与整过程
动量守恒常用模型
※系统总动量为零
※平均动量守恒
在系统各部分相互作用过程的各瞬间，总有
※常以位移表示速度
※须更多关注“同一性”与“同时性”
“同一性”:取同一惯性参考系描述m1、m2的动量
“同时性”:同一时段系统的总动量守恒
“子弹打木块”问题的特征与规律
典型情景：
-
[“一对力的功”用其中一个力的大小与两物体相对位移的乘积来计算]
模型特征：由两个物体组成的系统，所受合外力为零而相互作用力为一对恒力．
规律种种：
⑴动力学规律 两物体的加速度大小与质量成反比．
⑵运动学规律 两个做匀变速运动物体的追及问题或相对运动问题．
⑶动量规律 系统的总动量守恒．
⑷能量规律 力对“子弹”做的功等于“子弹”动能的增量：
力对“木块”做功等于“木块”动能增量：
一对力的功等于系统动能增量：
图象1
图象2
图象描述
“子弹”穿出”木块”
“子弹”迎击”木块”未穿出
vm
vmt
vMt
d
t0
vm
vM
d
图象描述
“子弹”未穿出”木块”
“子弹”与”木块”间作用一对恒力
vm
≤d
t0
vm
Δsm
曲线运动与力
合外力方向与速度方向不在一直线
ΣF
v
ΣFn
ΣFt
切向力改变速度大小
法向力改变速度方向
做好两项分析
物体运动情况分析
物体受力情况分析
正交分解法
ω
转动参考系中的惯性力
惯性离心力
相对做匀角速度转动的非惯性参考系静止的物体
小球受绳拉力而匀速转动
小球受绳拉力而静止?
在相对于惯性参考系具有向心加速度的参考系中所引入的使牛顿定律仍能适用的力就是惯性离心力!
牛顿运动定律仍可适用
科里奥利力
相对做匀角速度转动的非惯性参考系运动的物体
A
r
科里奥利力是转动参考系中引入的假想的惯性力，其大小等于引起科里奥利加速度的真实力，方向相反．物体在转动平面上沿任何方向运动时，都将受到一个与运动方向垂直的科里奥利力 :
平衡位置
所在位置
x0
在平衡位置时：
mg
kx0
x
mg
k(x0+x)
在距平衡位置x处时：
简谐运动的确认
则该振动系统做简谐运动,且周期为
振动系统1
竖直面内振动的弹簧振子
mg
T
F回
当θ角很小时
O
B
则有
l
振动系统2
单摆
如图所示，劲度系数为k的弹簧一端固定，另一端与质量为m的物体a相连，当弹簧处于自然长度时，将a无初速地放置在匀速运动（速度很大）的足够长的水平传送带上，弹簧轴线保持水平，设A与传送带间动摩擦因数为μ，试说明A将做什么运动？
在平衡位置时：
平衡位置
A
x
在距平衡位置x处时：
振动系统3
该振动系统做简谐运动,且周期为
质点P以角速度ω沿半径为R的圆轨道做匀速圆周运动，试证明：质点P 在某直径上的投影的运动为简谐运动．
R
Fn
P所受向心力Fn
P的投影运动所受回复力Fx
Fx
令为k
参考圆
∴简谐运动的周期公式为
∵参考圆运动的周期
简谐运动的速度公式为
简谐运动的位移公式为
A
O
x
y
ωA
v
v
ωA
⑴确定摆球振动的平衡位置；
⑵确定摆在此位置时摆线上的力FT；
⑶等效的重力加速度
等效摆周期的确定
由理想单摆周期公式
，通常可由三条途径确定T：
．
★确定等效悬点及摆长
⑴联结两悬点的直线为转轴；
⑵摆球所受重力作用线反向延长与转轴交点为首选等效悬点；
⑶取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长
★确定等效的重力加速度
．
★确定等效的圆频率
⑴确定摆球振动中的机械能守恒关系
⑵比对异形摆的能量关系式与标准单摆的能量关系式
⑶在同一参考圆下提取等效的角速度
示例
示例
示例
若单摆在加速度竖直向上的电梯中做小幅振动，在振动的“平衡位置”
mg
FT
则
若单摆在加速度水平向左的车厢中做小幅振动，
在振动的“平衡位置”
mg
FT
ma
则
振动系统4
mg
qE
FT
带正电摆球在水平向右的电场中做小幅振动
在振动的“平衡位置”
则
振动系统5
t
0
正
误
不准钟当其钟面读数时间为t时，客观时间为t0．
t＞t0，钟走快；
t＜t0，钟走慢．
摆式钟的特点　 1.振动次数相同，则钟面读数变化相同
　　　　　　　 2.标准钟钟面读数与客观时间一致
不准钟钟面读数与客观时间不一致
　　　　　　　 3.T大钟慢，T小钟快
设标准钟摆的周期为T0，不准钟摆的周期为T．如图，当两钟从同一初始读数开始走时，分别出现读数t时
标准钟是在与钟面读数一致的时间t内走成这样的：
根据特点1，有
．
不准钟是在客观时间t0(t0≠t)内走成这样的：
t
0
返回
l
l
mg
振动系统6
如图，小铁球用长度为l的细线AC、BC悬挂，两线与A、B连线的夹角均为α，AC恰好水平．球由于受到扰动，垂直于纸面向外略微偏离平衡位置，然后小球来回振动，求小球振动的周期．
A
C
B
关于阻尼振动
摩擦阻力
形成波
振动能转变为热及向四周辐射!
阻力系数
波的知识提升
波前
在波传播的介质中作出的某时刻振动所传播到达的各点的轨迹称为波前.
波面
振动在介质中传播时，振动步调相同的点的轨迹，称为波面．波前是各点振动相位都等于波源初相位的波面．
波线
方向处处与该处波的传播方向一致的线，叫波线．
球面波
平面波
波面
o
波线
波面
波线
波前
波前
惠更斯原理
介质中波动到达的各点，都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就决定新的波前．
解释衍射现象
反射定律
M
N
A
B
A′
B′
折射定律
M
N
A
B
A′
B′
两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波叠加时，形成驻波．
驻波
现象
静止不动的波节和振幅最大的波腹相间，但波形不向任何方向移动，
成因
从驻波的成因来看，驻波是一种干涉现象：波节与波腹分别是振动抵消与振动最强区域，它们的位置是不变的；
从驻波上各质点的振动情况来看，实际上是有限大小的物体上有相互联系的无数质点整体的一种振动模式．
特性
器乐发声原理
弦线或空气柱以驻波的模式振动，成为声源，并将这种振动形式在周围空气中传播，形成声波．
示例
规律
两个同方向的简谐运动合成时，由于频率略有差别，产生的合振动振幅时而加强时而减弱的现象叫拍．在单位时间内合振幅的极大值出现的次数叫做拍频．
t＝T/4
t＝0,T
t＝T/2
t＝3T/4
驻波的形成
t＝0
驻波的形成
t＝T/2
t＝T/4
t＝3T/4
t＝T
返回
行波
设定： 波源相对于介质的速度u；观察者相对于介质的速度v；波在介质中速度V；观察者接收到的频率f ′；波源频率f．
．
㈡波源固定，观察者以v向着波源或背离波源运动
．
㈢波源以速度u相对于介质向着或背离观察者运动，观察者静止
．
㈣波源与观察者同时相对介质运动
此时相当于波以速度V±v通过观察者，故
㈠波源与观察者相对介质静止
刚体问题知识概要
模型
不发生形变的理想物体
实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时,即可将其视作刚体．
基本特征
刚体内各质点之间的距离保持不变
平动
刚体运动时，其上各质点的运动状态（速度、加速度、位移）总是相同，这种运动称为平动．
转动
刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动称为转动，而所绕直线便称为轴．若转轴是固定不动的，刚体的运动就是定轴转动．
刚体内各质点角速度总相同
质心
能代表整个刚体的平动,运动规律等效于全部质量及外力集中于此的某一点.
质心的确定
从质心的等效意义出发:
以质心为坐标原点
质心运动定律
例讲
例讲
均匀圆锥体的质心
x
i
tan-1k
H
O
匀质半圆板的质心
x
y
0
R
i
由质心运动定律
O
x
y
mg
F回
质心沿抛物线做往复运动,回复力为重力之分力:
质心做谐振,周期为
转动惯量
量度刚体转动中惯性大小的物理量,等于刚体中每个质点的质量mi与该质点到转轴的距离ri的平方的乘积的总和.
定义式
转动惯量的确定
从定义出发用微元法
借助平行轴定理
运用垂直轴定理
量纲分析法
例讲
x
y
0
R
平行轴定理
设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J，绕通过质心而平行于轴O的转动惯量为Jc，则有
Ri
ri
d
x
M
M
2a
2a
球壳
x
已知:Jx=J0
y
量纲分析法
转动惯量的表达式常表现为形式
m是刚体的质量，a是刚体相应的几何长度，只要确定待定系数k，转动惯量问题便迎刃而解．
均匀正方形板对对称轴的转动惯量
设
则有
角位移
θ
角速度
角加速度
角动量
转动动能
力矩 力矩功 冲量矩
角动量原理　Mt＝Jωt－Jω0
动量定理 Ft＝m vt－m v0 (恒 力)
转动定律 M=J
牛顿运动定律　F＝ma
匀变速直线运动
匀速直线运动: s＝vt
加速度a
角速度
速度v
角位移　θ
位移　s
刚体的定轴转动
质点的直线运动
角加速度
匀角速转动:
匀变速转动:
动能定理
转动动能定理
动量守恒定律
角动量守恒定律
气液固性质
统计规律
对大量偶然事件起作用的规律
基本特点
对大量偶然事件呈现稳定性
永远伴随有局部与统计平均的涨落
热学研究的基本方法-统计方法
统计方法就是要找出由大量粒子组成的系统在一定条件下服从的统计规律，找出系统的宏观性质及其变化规律．
统计方法不是力学研究方法的延续或极端!
统计方法不是在力学规律对客观事物的精确研究无能为力的情况下采取的一种近似方法．
统计方法适用的特征条件是所研究对象包含的基本粒子为数极众．
压强之统计意义
单位时间对器壁单位面积碰撞的分子数
每次碰撞分子动量的改变量(2mv)
统计规律之气体的压强
a
vz
vx
vy
设想在如图所示边长为a的立方体内盛有质量为m、摩尔质量为M的单原子分子理想气体，设气体的温度为T，气体分子平均速率为v，它在x、y、z三维方向速度分量以vx、vy、vz表示，对大量分子而言，这三个方向速率大小是均等的，则由
观察分子x方向的运动,每个分子每对器壁的一次碰撞中有
气体压强是大量气体分子对器壁的持续碰撞引起的，即
气体压强统计意义
⑴
单位体积摩尔数
单位时间向S面运动的分子体积
单位时间向S运动的分子的摩尔数
单位时间撞击S面的分子数（个/Δt）
⑵由动量定理：
在宇宙飞船的实验舱内充满CO2气体，且一段时间内气体的压强不变，舱内有一块面积为S的平板紧靠舱壁．如果CO2气体对平板的压强是由气体分子垂直撞击平板形成的，假设气体分子中分别向上、下、左、右、前、后六个方向运动的分子数各有1/6，且每个分子的速率均为v，设气体分子与平板碰撞后仍以原速反弹．已知实验中单位体积内CO2的摩尔数为n，CO2的摩尔质量为μ，阿伏加德罗常数为N，求⑴单位时间内打在平板上的CO2的分子数；⑵CO2气体对平板的压力．
气体压强统计意义示例
气体分子速率麦克斯韦分布
统计规律之分子速率
在半径为r的球形容器中装有N个理想气体分子．考察其中一个分子划着长为l的弦而与容器壁做弹性碰撞的情形．假设分子质量为m，平均速率为v．如果不考虑分子之间的碰撞，分子的这种运动将一直继续下去．因为从这次碰撞到下次碰撞所需时间是 ，所以该分子在单位时间内将反复碰撞 次．设与弦l相对应的圆弧所张的角度为θ，则碰撞时动量mv的方向也改变θ，每次碰撞前后动量变化矢量关系如图，由图得 ；从而单位时间内一个分子动量变化大小为 ．所以N个分子所产生的力的大小就是 ，气体的压强p= ．考虑到球体积，则可得pV= ；由pV=nRT得分子 速率为 ．
分子速率统计意义示例
由动量定理：
气体的压强：
考虑球的体积
方均根
统计规律之理想气体的内能
★理想气体
▲模型特征
分子间无相互作用力
分子无大小，为质点
▲性质
a. 无分子势能
内能即分子动能总和,由温度决定
b. 严格遵守气体实验定律
▲实际气体与理想气体
常温常压下，r>10r0，实际气体可处理为理想气体
规律
图
象
微观解释
T升高，每次碰撞冲量大但V增大单位面积碰撞少
T升高，每个分子碰撞次数及每次碰撞冲量增加
V减小，单位面积碰撞分子及每个分子碰撞数增加
真正的固体-晶体
空间点阵结构
物理性质各向异性
有确定的熔点
固体的热膨胀
固体分子运动特征
A
两均匀细杆
0℃时悬于A而平衡，t ℃悬于B而平衡，求AB间距离？
固体热膨胀示例
液体的表面现象
液体分子运动特征
液固表面现象
示例
规律
示例
汽化
蒸发
沸腾
近似遵守气体实验定律
一定液体的饱和汽压只随着温度的改变而改变
试手
试手
液化
过程
露点
三相图
气温降低到使空气中的水蒸气刚好达到饱和时的温度叫露点
湿度
空气中所含水汽的压强
空气绝对湿度与同温度下水的饱和气压的百分比
在一定温度下,增加压强、减小体积可使未