物理竞赛辅导

力 学
参考资料：
1 教材
2 大学物理学 5册 张三慧主编 清华大学出版社
3 历年考题
参赛组：非物理类A组
质心 ( Center of Mass)
N个粒子系统，定义质量中心
一、质心
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
例：任意三角形的每个顶点有一质量 m，求质心。
二、质心系
以质点系的质心为原点，质心在其中静止的平动参照系。
质心系可能不是惯性系，但质心系特殊，动量守恒定律适用，而且，总动量 为零。
质心系中质点 mi 的速度
（零动量参照系）
质心系中
三、质心运动定律
→
* 在质心系惯性力和外力完全抵消，故动量守恒。
质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。
质点系的角动量守恒定律
内力矩
合外力矩为零，质点系总角动量守恒
为零
合外力矩
零
零
z'
质心系中：
作用力和反作用力大小相等、方向相反、所以两者所作功的代数和必为零。（ ）
A 对 B 不对
答案： B
子弹和木块的位移不等
作用力和反作用力大小相等、方向相反、所以两者对同一点力矩之和必为零。（ ）
A 对 B 不对
答案： A
一端固定在天花板上的长细线下，悬吊一装满水的瓶子（瓶子的质量不可忽略），瓶底有一小孔，在摆动过程中，瓶内的水不断向外漏，如忽略空气阻力，则从开始漏水到水漏完为止的整个过程中，此摆的摆动频率（ ）。
A 越来越大 B 越来越小 C 先变大后变小
D 先变小后变大 E 保持不变
答案 ： D
l是系统质心到悬点的距离
如图所示，一倾角为的斜面放置在光滑桌面上，斜面上放一木块，两者之间的摩擦系数为μ（A
B
C
D
f
x方向：
y方向：
木块对斜面静止条件：
C
一单摆挂在木板的小钉上，木板质量远大于单摆质量。木板平面在竖直平面内，并可以沿两竖直轨道无摩擦地自由下落。如图所示先使单摆摆动起来，当单摆离开平衡位置但未达到最高点时木板开始自由下降，则摆球相对于板（ ）。
A 静止 B 仍作简谐振动 C 作匀速率圆周运动
D 作非匀速率圆周运动 E 以上结论都不对
g
v
T
mg
-mg
C
质量为m的小球系在不可伸长的细线的一端，细线的另一端系于一根竖直的固定圆柱上端O（O点在柱轴上）。给小球一定初速，使细线逐渐缠绕在柱上，如图，在缠绕过程中（ ）。
A 小球的动能守恒
B 小球的机械能守恒
C 小球对O点的角动量的竖直分量守恒
D小球对O点的角动量的水平分量守恒
答案： B
O
m
一力学系统由两个质点组成，它们之间只有引力作用。若两质点所受外力的矢量和为零，则此系统（ ）。
A 动量、机械能以及对一轴的角动量都守恒
B 动量、机械能守恒，但角动量是否守恒还不能判断
C 动量守恒，但机械能和角动量是否守恒还不能判断
D 动量和角动量守恒，但机械能是否守恒还不能判断
答案：C
作直线运动的质点，在t≥0时，它沿x轴方向的速度为vx=ax,其中a是一个为正的非零常数。已知t=0时，质点位于x0>0的位置，求质点运动过程中加速度ax与位置x的关系 ，质点位置x与时间t之间的函数关系 。
o
x0
t=0
地面上垂直竖立一高20m的旗杆，已知正午时分太阳在旗杆的正上方。在下午2时整，杆顶在地面上影子速度的大小为 ms-1 ；在 时杆影将伸展至20m。
h
s
太阳
杆高
地面
ω
ωt
解：以地球为参考系，地球自转相当于太阳绕地球转动，地球自转一周的24小时等于太阳绕地球转动一周的时间。
杆的影长：
当S=h时，t=3 （下午3小时）
纯滚动（无滑动的滚动）
A
B
接触点对地的速度为零
质心的速度为
质心的加速度为
相对于质心系的角速度为 w
相对于质心系的角加速度为 b
例： （18th, 5）半径为R 的圆环静止在水平地面上。 t ＝0 时刻开始以恒定角加速度 b 沿直线纯滚动。任意时刻 t > 0，环上最低点 A 的加速度的大小为 , 最高点 B 的加速度的大小为。
解： 质心系中
最低点A，地面系中
向左
向右
合加速度的大小
最高点B
刚体的平面平行运动：所有质点的运动平行于某一个平面，如前进中的车轮。平面运动是一种较复杂的运动，可把它视为平动和转动叠加而成的复合运动。
质心运动定理：
绕质心转动的转动定律：
动能：
势能：
一个人想用长为l的竿子打在岩石上的办法把竿子折断，为此它用手拿住竿子的一端，让竿子绕该端作无位移转动，此人希望当竿子打在岩石的瞬间，手受到的冲击力最小，问竿子离手多远的地方打在岩石上最好？（不计竿子重力）(A) l (B) 1/2 (C) 2l/3 ( D) l/3
l/2
l/2
x
A
C
F
C 质心，A 打击点
竿的运动可视为作平面平行运动
手握处速度为零
x=2l/3
例: (20th 9) 车厢内的滑轮装置如图所示，平台 C 与车厢一起运动，滑轮固定不转动，只是为轻绳提供光滑的接触。物块A 与平桌面摩擦系数 m＝0.25，A 的质量 mA ＝20kg，物块 B 的质量 m B ＝30 kg 。今使车厢沿水平方向朝左匀加速运动，加速度 a0＝2m/s2 ，假定稳定后绳将倾斜不晃,试求绳子张力T。
C
A
B
解：
mA g
N
f
T
f *
mB g
f *
T
a
以车厢为参照系，引入惯性力
A
B
＝125.4（N）
a
例：一长 L=4.8m 的轻车厢静止于光滑的水平轨道上，固定于车厢地板上的击发器 A 自车厢中部以 u0 = 2m/s 的速度将质量为 m1 = 1kg 的物体沿车厢内光滑地板弹出，与另一质量为 m2 =1 kg 的物体碰撞并粘在一起，此时 m2 恰好与另一端固定于车厢的水平位置的轻弹簧接触，弹簧的弹性系数 k = 400N/m ，长度l =0 .30m ，车厢和击发器的总质量 （包括m2）M = 2kg 求车厢自静止至弹簧压缩最甚时的位移（不计空气阻力， m1 和m2 视作质点）
解：
车＋m1+m2 系统动量守恒
m1+m2 系统动量守恒
由于车厢内光滑地板，所以在m1还没有和m2发生碰撞前，m2相对于地面静止，因为没有摩擦力使它发生运动。所以第一次动量守恒没有m2。
令m1从被弹出到与m2 碰撞结束所用的时间为 Dt
m1相对车厢的位移为
m1相对车厢的速度为
u0+V
在Dt 内，车厢向左的位移为：
车＋m1+m2＋弹簧系统机械能守恒
弹簧压缩最甚时，m1、m2 速度为零。车厢相对地面也静止
在m1和m2与弹簧碰撞的过程中，全部系统的动量守恒
设m1和m2与弹簧碰撞所用的时间为 Dt ’
在Dt ’ 内， m1和m2相对车厢的速度为 u’(t)
车厢的总位移为DX
DX= 0.75(m)
行星绕恒星的椭圆运动
一、能量和角动量
②
①
由①
由②
二、椭圆在 P1 点的曲率半径为
三、椭圆轨道的偏心率为
例：行星原本绕着恒星S 做圆周运动。设S 在很短的时间内发生爆炸，通过喷射流使其质量减少为原来的质量的 g 倍，行星随即进入椭圆轨道绕S 运行，试求该椭圆轨道的偏心率 e 。提示（记椭圆的半长，半短轴分别为A、B ，则
解：变轨后 P 或为近地点，或为远地点
对圆轨道 P 点：
对椭圆轨道 P1 点：
A
B
先考虑 P 为近地点，后考虑P 为远地点的情况
②
①
对P2 点
因为 g < 1 ，因此上式不成立 。
故 行星变轨后不可能处于P2点，只能处于P1 点。
解二：
②
①
椭圆轨道的角动量
圆轨道的角动量
A
B
角动量守恒
例（21届，10分）一个质量为m 的卫星绕着质量为 M ，半径为 R 的大星体作半径为 2R 的圆运动。远处飞来一个质量为 2m，速度为 的小流星，它恰好沿着卫星的运动方向
追上卫星并和卫星发生激烈碰撞，结合成一个新的星体，作用时间非常短。假定碰撞前后位置的变化可以忽略不计，新星的速度仍沿原来的方向，
（1）用计算表明新的星体的运动轨道类型，算出轨道的偏心率e
（2）如果用小流星沿着卫星的速度的反方向发生碰撞，算出此时新星体的轨道的偏心率。给出新星体能否与大星体碰撞的判断。
解：
(1) 碰撞前卫星的速度
小流星与卫星碰撞，动量守恒
新星体的能量
椭圆轨道
对比
在近地点
偏心率
r=2R
(2) 小流星与卫星反方向碰撞，动量守恒
新星体的能量
椭圆轨道
对比
在远地点
新星与 M 在近地点时的距离
两者可以发生碰撞
r=2R
例：（11th,9）质量为 M 的刚性均匀正方形框架，在某边的中点开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以纸平面为代表的光滑水平面后，令质量为m 的刚性小球在此水平面上从缺口处以速度 v 进入框内，图中v 的方向的角  =45° ，设小球与框架发生的碰撞均为无摩擦力的弹性碰撞，试证：（１）小球必将通过缺口离开框架。（２）框架每边长为a，则小球从进入框架到离开框架，相对于水平面的位移为：

解：（ 1 ）

（2）
小 球在框架内运动的时间为 T
在T 时间间隔内，质心的位移为
系统合外力为零，系统动量守恒，质心c的动量就是小球的初动量。
例：（11th,15）质量为2m 的匀质圆盘形滑轮可绕过中心O 并与盘面垂直的水平固定光滑轴转动，转轴半径线度可忽略，物体1、2的质量分别为m 和2m ，它们由轻质、不可伸长的细绳绕过滑轮挂在两侧。细绳与滑轮间的摩擦系数处处相同，记为 m，开始时，滑轮和两物体均处于静止状态，而后若m ＝0则滑轮不会转动；若m ≠ 0，但较小时，滑轮将会转动，同时与绳之间有相对滑动；当 m 达到某临界值m0 时，滑轮与绳之间的相对滑动刚好消失，试求m0 值。
T2
T1
m1 g
m2 g
解：
T2
T1
m1 g
m2 g
解：
绳子的质量忽略不计
对临界m值
例：（4th,）光滑的平面上整齐地排列着一组长为 l,质量为m 的均匀 细杆， 杆的间距足够大。 现有一质量 为 M 的小球以垂直于杆的 速度 V0 与杆的一端做弹性碰撞，随着细杆的旋转，杆的另一端又与小球做弹性碰撞，而后小球相继再与第二杆、第三杆…..相碰。当 m/M 为何值时， M才能仍以速度 V0 穿出细杆阵列？
m , l
M
解：
由动量守恒
由角动量守恒
由动能守恒
①
②
③
④
V = Vc
①
②
③
④
V = Vc
由① ② ④得：
代入③
例（19th,4）质量分别为m1 和m2 的 两物块与劲度系数为 k 的 轻弹簧构成系统如图，物块与物体（平面）光滑接触，右侧水平外力使弹簧压缩量为 l 。物体静止。将右侧外力撤去，系统质心 C 可获得的最大加速度为 ，可获得的最大速度值为 。
m1
m2
k
解：
F
m1
N
f
f
F
m2
①质心 的最大加速度
②质心 的最大速度
m1
m2
k
F
m2过平衡位置时的速度
= 0
解：
对质心
对质心
例：（ 18th, 9分 ）均匀细杆AOB 的A 端，B 端和中央位置O处各有1个光滑的小孔先让杆在光滑的水平大桌面上绕 O 孔以角速度 w。作顺时针方向旋转如图（图平面为大桌面）。今将一光滑的细杆迅速插入 A 孔，棍在插入前后无任何水平方向的移动，稳定后，在迅速拔A棍的同时，将另一光滑细棍如前所述插入B 孔，再次稳定后，又在迅速拔出 B 棍的同时，将另一光滑细棍如前所述插入 O 孔。试求：最终稳定后，细杆AOB 绕O 孔旋转方向和旋转角速度的大小。
解：
① 插入A孔前后
②插入 B 孔前后
wB
反向转了
③再次插入O孔前后
逆时针转
例：21届18题
将劲度系数为 k，自由长度为L，质量为m 的均匀柱形圆柱弹性体竖直朝下，上端固定，下端用手托住。
（1）设开始时弹性体处于静止的平衡状态，其长度恰好为L,试求此时手上的向上托力。
（2）而后将手缓慢向下移动，最终与弹性体分离，试求其间手的托力所作的功W。
解:
(1) 取下面一段研究
T
G
它处于静止的平衡状态
T ＝G－F0
取 一微元dy
计算其弹性系数
将圆柱看做由许多的小段 dy 串联而成
y
y
dy
T
T+dT
对微元dy， 设伸长为 dx
其总伸长为
令 x 为零
（2）问 中 x 为
令F ＝ 0
例：22届18题
如图所示，光滑水平面上有一半径为R的固定圆环，长2l 的匀质细杆开始时绕着中心C点旋转，C点靠在圆环上，且无初速度，假定此后细杆可无相对滑动的绕着圆环外侧运动，直到细杆的一端与环接触后彼此分离，已知细杆与圆环之间的摩擦因数μ处处相同，试求μ的取值范围。
ω
ω
l
l
R
A
B
ω
ω
R
θ
P
A
B
ω
ω
R
θ
P
θ
解：设细杆初始角速度为ω0，转过θ角后角速度为ω，
在光滑水平面中转动，机械能守恒
解得
R
w
R
C点沿圆的渐开线运动
细杆受力 N 和f 分别为
摩擦因子取值范围为
A
B
C
C
q
P
r
N
f
切向
例（19th,9）如图所示。表面呈光滑的 刚体无转动地竖直下落。图中虚线对应过刚体唯一地 最低点部位P1 的水平切平面。图中竖直虚线P1 P2 对应着过 P1 点的铅垂线， C 为刚体的 质心。设C与铅垂线P1 P2确定的平面即为铅垂面，将C到P1 P2 的距离记为 d ，刚体质量为 m。刚体相对于过 C 点且与图平面垂直的水平转轴的 转动惯量为 JC . 设 JC＞m d 2。已知刚体与水平地面将发生的碰撞为弹性碰撞，且无水平摩擦力，试在刚体中找出这样的点部位，它们在刚体与地面碰撞前、后的两个瞬间，速度方向相反，大小不变。
C
d
P1
P2
v0
解：
解：
C
d
P1
P2
y
P0
例:(15th,11) 两个质量相同的小球A 、B, 用长为 2a 的无弹性且不可伸长的绳子联结。开始时A、B 位于同一竖直线上， B在A 的下方， 相距为a，如图所示。今给A 一水平初速度v0 ， 同时静止释放B ，不计空气阻力。且设绳子一旦伸直便不再回缩，问：经过多长时间，A、B 恰好在同一水平线上？
解：
选择质心系，角动量守恒
绳子拉紧前， A 、B相对于质心的速度大小为
绳子拉紧后， A 、B相对于质心做圆周运动，速度设为 vt
从释放到绳子拉直所用时间
C
B
vt0
a
v0
A
B
C
A
B
解：
30°
vt
vt
例：长为 l ，质量为m 的匀质细杆，置于光滑水平面上，可绕过杆的中点 O 的光滑固定竖直轴转动，初始时杆静止。有一质量与光滑杆相同的小球沿与杆垂直的速度 v 飞来，与杆碰撞并粘在杆端点上，如图。（1）定量分析系统碰撞后的运动状态。（2）若去掉固定轴，杆中点不固定，再求系统碰撞后的运动状态。
v
m
m
C
解： （1）角动量守恒
以 3v/2l 为角速度做匀角速转动
O
v
m
C
去掉固定轴，杆中点不固定
平动＋转动
杆＋小球系统，动量守恒
杆＋小球系统，外力矩为零，角动量守恒，
C’
新质心C’位置
对新质心C’
O
v
m
C
C’
对新质心C’
（平行轴定理）
系统的质心以 v/2 速度平动，

系统绕过质心的轴以 w’ ＝6v/5l 为角速度做匀角速转动。
如图所示，一质量为M的平板车，沿一水平直线轨道运动（忽略摩擦），开始时，车静止不动，有N个人立于车上，每个人的质量均为m。
1 当N个人一起跑向车的一端，所有人沿铁轨同方向同时跳下，在他们正要跳车时，所有人相对于车的速度均为vr，问N个人跳车以后，车的速度是多少？
2 若N个人以相对于车为vr的速度，沿铁轨同方向一个接一个跳离车，求N个人全部跳下车后车的速度？
解1，水平方向动量守恒
解2，第一个人跳车前总动量为0，第一人跳车后有：
第二个人跳车后：
当N个人全部跳车后，车的速度