第一部分 运动学
运动的基本形式及典型模型
（1）匀速直线运动
（2）匀变速直线运动
（3）抛体运动（平抛和斜抛）
（4）圆周运动（含天体运动）
（5）简谐运动
实际运动的处理方法：分
分解——曲线运动
分阶段——直线运动
概述：

一．匀速直线运动
例1．如图所示在同一水平面上有A、B、C三点，AB=L，∠CBA=α，今有甲质点由A向B以速度v1做匀速运动，同时，另一质点乙由B向C以速度v2做匀速运动。试求运动过程中两质点间的最小距离为多少？
点评：
（1）两点间距离公式
（2）二次函数求极值
解析：
建立如图所示直角坐标系，取两质点位于A、B两位置为计时初始时刻，则在任一时刻t，
甲的坐标：
乙的坐标
以r表示t时刻两质点间的距离，则有：
由二次函数的极值公式知，当
时，r2有最小值为
故此过程中两质点间距离的最小值为
例2．A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？
点评：
3.等效法
1.微元法
2.对称法
解析：根据对称性，三只猎犬最后相交于三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，可等效为三角形不转动，而是三个顶点向中心匀速靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可。
v’
二．匀变速直线运动
1.二个概念：速度和加速度
2.三个规律
（1）速度-时间规律
（2）位移-时间规律
（3）速度-位移规律
3.三个推论
4.五个二级结论
初速度为零的匀变速直线运动的规律
①第1s末、第2s末、…第ns末的速度之比：
②前1s、前2s、…前ns的位移之比：
③第1s、第2s、…第ns的位移之比：
④前1m、前2m、…前nm所用时间之比：
⑤第1m、第2m、…第nm所用时间之比：
5.匀变速直线运动解题方法及典型例题
（1）一般公式法
利用匀变速直线运动的三个规律进行求解，需要注意的有以下三点：
①匀变速直线运动的规律有三个公式，但只有两个独立方程，是典型的“知三求二”的问题，即要找出三个已知条件，才能求出两个未知量；
②受力分析，牛顿运动定律是基础。
③注意矢量的方向性，一般以初速度方向为正方向，其余矢量与正方向相同者为正，与正方向相反者取负；
（2）平均速度法
例3.做匀加速直线运动的物体途经A、B、C三点，已知AB=BC，AB段的平均速度为3m/s，BC段的平均速度为6m/s，则B点的瞬时速度为 （ ）
A．4m/s B．4.5m/s C．5m/s D．5.5m/s
点评：求平均速度的两个公式的联系、区别与应用
方法一：用平均速度的两个公式求解。
设物体通过A、B、C三点时速度大小分别为VA、VB、VC，由匀变速直线运动特点（平均速度等于速度的平均值）有：
方法二：由平均速度与推论求解
方法三：图像法
t/s
v/ms-1
o
vA
t1
vB
t2
vC
3
6
3
2
（3）中间时刻速度法
中间时刻的瞬时速度等于全程的平均速度。有些题目中应用它可以避免常规解法中应用位移公式列出的含有时间的平方的复杂式子，从而简化解题过程，提高解题速度。
（4）逆推法
把运动过程的“末态”作为“初态”，一般用于末态已知的情况。如匀减速直线运动至静止的问题，可以逆推为初速度为零的匀加速直线运动。
（5）比例法
对于初速度为零的匀变速直线运动或匀减速直线运动到静止的运动，可利用匀变速直线运动的五个二级结论，用比例法求解。
（6）图像法
专题一：图像方法
一、图像及其分类
1.示意图
2.原理图
3.工具图
二、匀变速直线运动的图像
①v-t图
②s-t图
③F-t图
④a-t图
考纲说明中只限于v-t图
三、平面直角坐标系下图像问题的解题思路和方法
一轴：弄清横轴和纵轴所表示的物理量及其单位；
二点：分析图像中特殊的点的物理意义；
三线：分析直线段或曲线上各点的切线的斜率的物理意义；
四面：分析图像围成的面积的物理意义。
例4.甲乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v-t图象如图所示。两图象在t=t1时相交于P点，P在横轴上的投影为Q，△OPQ的面积为S。在t=0时刻，乙车在甲车前面，相距为d。已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t′，则下面四组t′和d的组合可能是
点评：
轴：？
点：P点的物理意义？
线：水平线；OP线
面：三角形OPQ的面积的物理意义？
作辅助线
分析两车从开始运动到第一次相遇时各自的位移大小
画情景示意图如下：
D
例5.2004年1月25日，继“勇气”号之后，“机遇”号火星探测器再次成功登陆火星．在人类成功登陆火星之前，人类为了探测距离地球大约3.0 ×105km的月球，也发射了一种类似四轮小车的月球探测器．它能够在自动导航系统的控制下行走，且每隔10 s向地球发射一次信号．探测器上还装着两个相同的减速器（其中一个是备用的），这种减速器可提供的最大加速度为5 m/s2．某次探测器的自动导航系统出现故障，从而使探测器只能匀速前进而不能自动避开障碍物．此时地球上的科学家必须对探测器进行人工遥控操作．
下表为控制中心的显示屏的数据
收到信号时间 与前方障碍物的距离（单位：m）
9:10:20 52
9:10:30 32
发射信号时间 给减速器设定的加速度（单位：m/s2）
9:10:33 2
收到信号时间 与前方障碍物的距离（单位：m）
9:10:40 12
已知控制中心的信号发射与接收设备工作速度极快．科学家每次分析数据并输入命令最少需要3 s．问：
（1）经过数据分析，你认为减速器是否执行了减速命令？
（2）假如你是控制中心的工作人员，应采取怎样的措施？加速度需满足什么条件？请计算说明．
一、物理问题四要素
WCFTL
1.研究对象W
确定
转换
联系
2.客观条件C
受力分析
运动分析
做功分析
能量分析
3.物理过程FT
初状态
末状态
4.物理规律L
一要方程，不要只有公式
二要原始方程，不要直接使用变形式
三要联立方程求解，不要使用连等式
什么叫审题？
专题二：要想得高分，审题是关键
二、考生在审题阶段易犯的错误
1．轻视审题，没读完题就动笔
2．不敢审题，遇到困难绕道走
3．不愿审题，怕耽误了宝贵时间
旧瓶装新酒
新瓶装旧酒
长题
三、正确的审题方法
三审题意
1．动笔前审题
（1）通读全题
（2）做标记
（3）形成解题思路和方法
2．解题过程中审题
（1）排除干扰因素
（2）理解关键语句
（3）挖掘隐含条件
3．解题结束后审题
（1）一题多解
（2）结果出现负值
（3）联系实际的考题
时间9:10:34 距离?m。(22m)
时间9:10:39 距离12m。
时间9:10:44 距离2m。
初速2m/s，距离2m，加速度a=-1m/s2 。
时间空间对应关系！
9:10:43发出减速指令，加速度为1m/s2。
例6．（北约2013题17，共8分）如图所示，与水平地面夹角为锐角的斜面底端A向上有三个等间距点B1、B2和B3，即AB1=B1B2=B2B3。小滑块P以初速v0从A出发，沿斜面向上运动。先设置斜面与滑块间处处无摩擦，则滑块到达B3位置刚好停下，而后下滑。若设置斜面AB1部分与滑块间有处处相同的摩擦，其余部位与滑块间仍无摩擦，则滑块上行到B2位置刚好停下，而后下滑。滑块下滑到B1位置时速度大小为__________，回到A端时速度大小为____________。
点评：
情景一：P从A到B3，斜面光滑
情景二：AB1有摩擦，到B2静止
请同学们用动能定理解答此题
解析：
设倾角为θ，斜面AB1=B1B2=B2B3=L
P从A到B3有：
①
设有摩擦时，P到B1时的速度大小为v1，动摩擦因素为μ，则有：
P从A到B1：
②
P从B1到B2：
③
联立以上三式求解得：
所以从B1回到A的过程中，P做匀速直线运动。
例7．（北约2013题19．12分）某车辆在平直路面上作行驶测试，
测试过程中速度v（带有正负号）和时间t的关系如图所示。已知该过程发动机和车内制动装置对车辆所作总功为零，车辆与路面间的摩擦因数μ为常量，试求μ值。数值计算时，重力加速度取g=10m/s2。
点评：理解能力
１.图像的理解
２.关键语句的理解
一轴；二点；三线；四面。
如何理解“该过程发动机和车内制动装置对车辆所作总功为零”？
3.摩擦力做功的特点
由功能关系：
解析：
① （3分）
依题意：
得：
② （2分）
由v-t图，可知该过程中车辆经过的总路程为：
L=3+16+2+1+4+1=27m
③ （3分）
④ （2分）
将v0=2m/s和③式代入，得：
（2分）
例8.（2012华约题31。14分)如图，一小球从某一高度水平抛出后，恰好落在第1级台阶的紧靠右边缘处，反弹后再次下落至第3级台阶的紧靠右边缘处。己知小球第一、二次与台阶相碰之间的时间间隔为0.3s，每级台阶的宽度和高度均为18cm。小球每次与台阶碰撞后速度的水平分量保持不变，而竖直分量大小变为碰前的1/4。重力加速度g取10m/s2。
(1)求第一次落点与小球抛出点间的水平距离和竖直距离；
(2)分析说明小球是否能够与第5级台阶碰撞。
点评：
1.平抛运动的复习
2.斜抛运动的处理方法
三.抛体运动
解析：
（1）设台阶的宽度和高度为a，小球抛出时的水平速度为v0，第一次与台阶碰撞前、后的速度的竖直分量（竖直向上为正）的大小分别为vy1和v’y1，两次与台阶碰撞的时间间隔为t0，则
联立以上三式代数求解得：
设小球从抛出到第一次落到台阶上所用时间为t1，落点与抛出点之间的水平距离和竖直距离分别为x1和y1，则
代入数据解得：
（2）设小球第二次与台阶碰撞前速度的竖直分量大小为vy2，则
解得：
可见：
因而，小球第三次与台阶碰撞时，碰撞点一定不在第5级台阶上。
例9.（北约2013题21．20分）质量为M、半径为R的匀质水平圆盘静止在水平地面上，盘与地面间无摩擦。圆盘中心处有一只质量为m的小青蛙（可处理成质点），小青蛙将从静止跳出圆盘。为解答表述一致，将青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度记为vx，竖直向上的分速度记为vy，合成的初始速度大小记为v，将圆盘后退的速度记为u。
（1）设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。
（1.1）对给定的vx，可取不同的vy，试导出跳起过程中青蛙所作功W的取值范围，答案中可包含的参量为M、R、m、g（重力加速度）和vx。
（1.2）将（1.1）问所得W取值范围的下限记为W0，不同的vx对应不同的W0值，试导出其中最小者Wmin，答案中可包含的参量为M、R、m和g。
（2）如果在原圆盘边紧挨着另外一个相同的静止空圆盘，青蛙从原圆盘中心跳起后瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹角为45°，青蛙跳起后恰好能落在空圆盘的中心。跳起过程中青蛙所作功记为W’，试求W’与（1.2）问所得Wmin间的比值γ=W’/Wmin，答案中可包含的参量为M和m。
斜抛运动：
（1）运动的分解
水平方向：
竖直方向：
（2）空中运动时间t
（3）射程X和射高Y
（4）极值讨论
当θ=450时，
（5）轨迹方程
当θ=900时，
点评：
Ｖ
１.斜抛运动
水平方向：匀速直线运动；
竖直方向：先竖直上抛，后自由落体。
本题中，青蛙起跳到落地所用时间：
这段时间内，青蛙水平方向的位移：
此时间内，圆盘沿反方向的位移：
青蛙落地点在圆盘外的条件：
２.动量守恒定律及其应用
（１）系统合外力为零；
（２）系统某一方向合外力为零；
（３）内力远远大于外力。
３.求极值的方法
（１）求导方法
（２）三角函数注极值
（３）均值不等式的应用
或
（1.1）水平方向动量守恒，青蛙落地点在圆盘外，有：
解析：
mvx=Mu 　　　　　 ①
② （2分）
③ （1分）
④ （1分）
⑤ （1分）
得：
故得W取值范围为：
⑥ （1分）
（1.2）由⑥式得：
⑦ （3分）
由均值不等式有：
所以有：
⑧ （3分）
（２）依题意
得：
⑨ （3分）
得：
⑩
综合可得
（2分）
所求比值为：
（1分）
（3）P在运动过程中受管道的弹力N也许是径向朝里的（即指向圆心的），也许是径向朝外的（即背离圆心的），通过定量讨论，判定在2R≥x≥0范围内是否存在N径向朝里的x取值区域，若存在，请给出该区域；继而判定在2R≥x≥0范围内是否存在N径向朝外的x取值区域，若存在，请给出该区域。
例10．（北约2013题20．14分）如图所示，在水平0-xy坐标平面的第I象限上，有一个内外半径几乎同为R、圆心位于x=R、y=0处的半圆形固定细管道，坐标平面上有电场强度沿着y轴方向的匀强电场，带电质点P在管道内，从x=0、y=0位置出发，在管道内无摩擦地运动，其初始动能为Ek0。P运动到x=R、y=R位置时，其动能减少了二分之一。
（1）试问P所带电荷是正的，还是负的？为什么？
（2）P所到位置可用该位置的x坐标来标定，试在2R≥x≥0范围内导出P的动能Ek随x变化的函数
四.圆周运动
点评：
（1）带电质点P电性的确定
（2）质点P的轨迹方程
（3）何谓“径向”？何谓“切向”？
（1）P所带电荷是负的。因无摩擦，P从x=0、y=0处运动到x=R，y=R位置时，动能减少，必定是电势能增加，只有P带负电沿电场线方向运动，其电势能才是增加的。 （2分）
解析：
（2）匀强电场场强记为E，P所带电量记为-q，q>0。P所到位置x坐标对应的y坐标为：
① （1分）
据能量守恒，有：
② （1分）
③ （1分）
联立①、②、③式即可解得：
④ （1分）
（3）将P的质量记为m，考虑到对称性，只需在R≥x≥0区域内讨论N的方向。
P在x坐标对应位置时，有：
⑤ （2分）
开始时x=0，
v也取极大，对应N为最大，有
⑥ （1分）
而后x增大，
减小，
增大，N减小。
达到最小，
当x=R时，
达到最大。
此时N达最小值，记为Nmin。
由此时
得：
（？）
⑦ （3分）
即得：R≥x≥0区域内N>0，N径向朝里。
由对称性可知，在2R≥x≥R区域内仍有N>0，N径向朝里。
结论：在2R≥x≥0范围内，N始终是径向朝里的，不存在N是径向朝外得x取值区域。 （2分）
例11.（2010年五校联考题12分）卫星携带一探测器在半径为3R (R为地球半径)的圆轨道上绕地球飞行。在a点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）。若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点b距地心的距离为nR (n略小于3)，求卫星与探测器的质量比。（质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能为-GMm/r，式中G为引力常量）
点评：
1.第一宇宙速度与第二宇宙速度的推导
2.关键语句“探测器恰能完全脱离地球的引力”的正确理解
3.开普勒定律的应用
4.情境分析：
（1）二者绕地球飞行
（2）在a点，…
（3）探测器恰好…
（4）卫星在新的椭圆轨道上运动
解析：设地球质量为M,卫星质量为m，探测器质量为m’，当卫星与探测器一起绕地球做圆周运动时速率为v1，由万有引力定律和牛顿第二定律得
设分离后探测器速度为v2，探测器刚好脱离地球引力应满足
设探测器分离后卫星速率v3，到达近地点时，卫星速率为v4，由机械能守恒定律可得
由开普勒第二定律有
联立解得
分离前后动量守恒
联立以上各式求解得：
例12．（七校联考）一质点沿直线做简谐运动，相继通过距离为16cm的两点A和B，历时1s，并且在A、B两点处具有相同的速率；再经过1s，质点第二次通过B点。该质点运动的周期与振幅分别为

A．3s， B．3s， C．4s， D．4s，
点评：
方法一：将简谐运动等效为匀速率圆周运动
O
五.简谐运动
方法二：
设质点简谐运动的位移与时间关系为：
由简谐运动的对称性可得
设t=0时，质点在A点，则t=0.5s时，x=0，则有：
联立求解得：
第二部分 动力学
一、物体的平衡
稳定平衡
不稳定平衡
随遇平衡
（1）平衡的种类
A.从物体的稳定性来分：
B.从力和运动来分
共点力的平衡
有固定转动轴的物体的平衡
概述：
C.从物体的状态来分
静态平衡：
动态平衡
（2）全反力与摩擦角
全反力：
接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力，一般用R表示，亦称接触反力。
摩擦角：
全反力与支持力的最大夹角称摩擦角，一般用φm表示。
φm
此时，要么物体已经滑动，必有：φm = arctanμ(μ为动摩擦因素)，称动摩擦角；
要么物体达到最大运动趋势，必有：φms = arctanμs(μs为静摩擦因素)，称静摩擦角。
通常处理为φm = φms
（3）力矩及其平衡
思考1：杠杆？杠杆 的五要素？杠杆 平衡条件?
思考2：质点？刚体？
力臂
支点——转轴——矩心
力矩=力x力臂
力矩平衡条件：
规定：
使物体绕转轴逆时针转动的力矩取正值；使物体绕转轴顺时针转动的力矩取负值。
（4）力偶
力偶：
作用于同一刚体上的一对大小相等、方向相反、但不共线的一对平行力。
力偶臂：
力偶的二力线间的垂直距离。
力偶系：
作用在刚体上的两个或两个以上的力偶组成的系统。
平面力偶系与空间力偶系
力偶矩：
性质1：力偶没有合力，所以力偶不能用一个力来代替，也不能与一个力来平衡。
。
性质2:力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，且与矩心位置无关。
性质3:在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。
一般物体的平衡：合力为零；合力矩为零
所有外力对某一点的力矩的代数和为零时，则对任一点的力矩的代数和都为零
AB两点的连线不能与X轴垂直
A、B、C三点不能共线
（5）一般物体的平衡条件
例1．如图所示，在绳下端挂一质量为 m 的物体，用力 F 拉绳使悬绳偏离竖直方向α角，当拉力 F 与水平方向的夹角θ多大时 F 有最小值？最小值是多少？
点评：
1．此题难度不大，内容也不偏，但承载着重要的解题思想和方法；
2．复习启示：复习过程中的“一题多解”和“一题多法”。
1．共点力的平衡
解法一：正交分解法
结果：略
点评：正交分解法是求解共点力平衡问题的普遍适用的基本方法。
解法二：巧妙建轴解析法
点评： 此法坐标轴建立巧妙，绳的拉力 T 不出现在 x 轴方向的平衡方程中，便于讨论，只需根据这一个方程即可求出结果。难点在于根据几何条件寻找相关的角度，此法运用的数学知识较简单，不失为求解此类极值的巧妙方法 .
解法三：矢量三角形定则法
点评：图解法形象直观，易于理解，且可显示出变力的动态变化过程。极值出现的条件明显，不失为此类极值问题求解的最佳方法。
解法四：拉密定理求解法
点评：三力作用下的平衡问题，应用拉密定理求解非常简单。
解法五：矢量分解法
点评：在能够确定三个力之间的夹角和一个已知力时，用该方法求解较为简捷。用于求极值，数学运算和讨论也较简单，难点仍在于根据几何条件确定相关的角度。
解法六：力矩平衡法
点评：用力矩平衡法求此类问题的极值，思路明确、极值出现的条件明显、运算简便，既强化了有关概念，又培养了能力。该法也是一种较好的方法，难点在于转轴和力臂的准确确定。
例2.如图所示，均匀的直角三角板ABC重为20N，在C点有固定的转动轴，A点用竖直的线AD拉住，当BC处于水平平衡位置时AD线上的拉力大小为F。后将一块凹槽口朝下、重为4N的木块卡在斜边AC上，木块恰能沿斜边AC匀速下滑，当木块经过AC的中点时细线的拉力大小变为Ｆ＋△F，则下述正确的是（     ）
A．F=10N B. F>10N C. △F=2N D. △F=4N
BC
F
mg
O
Ｆ＋△F
mg
m’g
2.有固定转轴的物体的平衡
例3. （北约2011）如图所示，一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均匀的圆环上，杆与圆环相切，系统静止在水平地面上，杆与地面接触点为A，与环面接触点为B。已知两个物体的质量线密度均为ρ，直杆与地面的夹角为θ，圆环半径为R，所有接触点的摩擦力足够大。求:
（1）地给圆环的摩擦力；
（2）求A、B两点静摩擦因数的取值范围。
点评：
1.研究对象的确定；
2.平衡条件的应用。
解析：
（1）设直杆质量为m1，圆环质量为m2，以圆环为研究对象，其受力分析如图所示
m2g
N1
f1
N2
f2
即
设圆环半径为R，A点到环与地面切点间距离为L，由合力矩为零，对圆环圆心O有：
对A点有：
再以杆和环整体为研究对象，对A点有：
又
（2）以杆和环整体为研究对象，设A点支持力为NA，摩擦力为fA，则有
m2g
m1g
N2
fA
NA
f2
联立求解得：
对B点：
4．如图所示，矩形板N上有两个光滑的圆柱，还有三个小孔A、B、C，通过小孔可以用销钉把此板固定在光滑的水平面M上。一柔性带按图示方式绕过两圆柱后，两端被施以拉力T'=T=600 N，且T'∥T，相距40 cm;已知AB=30 cm，AC =145 cm，BC =150 cm。为了保持物块静止，
(1)若将两个销钉分别插入A、B中，这两个孔将受怎样的力？
(2)将两个销钉插入哪两个孔才最省力？所插的销钉受力多大？
点评：力偶只能用力偶来平衡。
二．运动和力
1.动力学两类问题
（1）常规方法
（1）确定研究对象，进行受力分析
①研究对象要能将已知条件与未知量联系起来；
②严格按照一重、二弹、三摩顺序进行；
③不能多一个力，不能少一个力，未知力的方向可先假设。
（2）建立适当的直角坐标系，进行正交分解
①无论怎样建立直角坐标系，都不会也不应该影响解题的最终结果；
②坐标系建立的科学合理，劳动量就小；
③以加速度方向为某一坐标轴正方向。
（3）列方程，求解，必要时讨论
①动力学方程；
②运动学方程。
例 5.（华约2013题十，15分）明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50kg的物体。一重物放置在倾角 。的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数 ，试求该同学向上拉动的重物质量M的最大值？
解：
以重物为研究对象，其受力分析如图所示。建立图中所示直角坐标系，则有：
Mg
FN
f
x
y
联立以上两式得：
令
则：
要使质量最大，