4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
第四章 圆与方程
1.推导出圆的标准方程；
2.掌握圆的标准方程；（重点）
3.能根据方程求出圆心及半径；
4.掌握标准方程的字母意义；
5.能根据圆心、半径写出圆的标准方程；会用待定系数法求圆的标准方程.（难点）
一石激起千层浪
奥运五环
福建土楼
乐在其中
小憩片刻
生活掠影
1.圆的定义:
平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.
你看看我是
怎么形成的!
2.圆上点组成的集合:
P = { M（x,y) | |MC| = r }
M（x,y)是圆上动点， C是圆心， r是半径.
·
r
C
M
1.思考
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
分析：
因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径.
显然，当圆心与半径大小确定后，圆就唯一确定了.
如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标(a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心C(a,b) 的距离．
|MC|=r
则
圆上所有点的集合
P = {M||MC|=r}
把上式两边平方得：
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：
注意：
1.圆的标准方程
2.若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
解: 所求的圆的标准方程是
把点
例1 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判
断点 , 是否在这个圆上.
的坐标代入方程
左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，
所以点
在这个圆上.
把点
的坐标代入方程
左右两边不相等，点的坐标不适合方程
所以点
不在这个圆上.
如果设点M到圆心的距离为d,则可以看到：
点与圆的位置关系
1.若点(１，１)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则实数a的取值范围是( )
(A)-1＜a＜1 (B)0＜a＜1
(C)a＞1或a＜-1 (D)a=±1
【解析】选A.∵点(１，１)在圆内，
∴(1-a)2+(1+a)2＜4,即-1＜a＜1.
答案：
2.指出下列方程表示的圆心坐标和半径：
(1)x2+(y-2)2=9 (2)(x+1)2+(y+2)2=8
3.写出下列各圆的方程：
(1)圆心在点C(3,4)，半径是
(2)经过点P(5,1),圆心是点C(8,-3)
答案：
例2 的三个顶点的坐标分别是A(5,1),
B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是
所求圆的方程为
已知△AOB的顶点坐标分别为A（4,0），B（0,3），O（0,0），
求△AOB外接圆的方程.
解：设所求圆的方程为：
因为A(4,0),B (0,3),O(0,0)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是
所求圆的方程为
例3.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C 在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程.
解：因为A(1, 1)和B(2,－2)，所以线段AB的中点D的坐标
直线AB的斜率:
因此线段AB的垂直平分线l′的方程是
即x-3y-3=0
x
y
O
A(1,1)
B(2,-2)
D
l
¢
解方程组
得
所以圆心C的坐标是
圆心为C的圆的半径长
所以，圆心为C的圆的标准方程是
比较例2和例3，你能归纳求任意△ABC外接圆的方程的两种方法吗？
两种方法：待定系数法；
数形结合法.
(2012·青岛模拟)已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y-2=0上，求圆M的方程.
【解析】设圆M的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),

根据题意得：

解得：a=b=1,r=2,
故所求圆M的方程为：(x-1)2+(y-1)2=4.
(x-3) 2+(y+4)2=25
2.已知直线x-y+b=0与圆x 2+y2=8相切，则b= .
4或-4
3.求以点A(1, 5)和B（3，-1）为直径两端点的圆的方程.
1.以（3，-4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程
是 .
(x-2) 2+(y-2)2=10
4.如图已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？
解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为
x轴，建立直角坐标系（如右图）
即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.
1.圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：
2.由于圆的标准方程中含有a, b, r三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。
3.注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。
不想当元帅的士兵不是好士兵。