1.1.1正弦定理
在数学发展史上，受到天文测量、航海测量和
地理测量等方面实践活动的推动，解三角形的理论
得到不断发展，并被用于解决许多测量问题。
在初中，我们已经能够借助于锐角三角函数解
决有关直角三角形的一些测量问题。在实际工作中
我们还会遇到许多其他的测量问题，这些问题仅用
锐角三角函数就不够了，如：
4.怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？
这些问题的解决需要我们进一步学习三角形中
边与角关系的有关知识。
在本章中我们要学习正弦定理和余弦定理，并
学习应用这两个定理解三角形以及解决实际测量中
的一些问题。
3.怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海
拔高度 ？
1.怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？
2.怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？
思考：在直角三角形中，“边”与“角”的关系如何？
Rt 中
思考：对于一般三角形，上述结论是否成立？
我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小
边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角
关系准确量化的表示呢？
所以CD=asinB=bsinA, 即
同理可得
过点C作CD⊥AB于D,
此时有
若三角形是锐角三角形, 如图1,
探究一
若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗?
交BC延长线于D,
过点A作AD⊥BC，
探究二
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的
正弦的比相等.
即
思考
是否可以用其他方法证明正弦定理?
法一：
作外接圆O,
过B作直径BC/,连AC/,
∵
而
∴
同理
∴
ha
法二：
剖析定理、加深理解
正弦定理可以解决三角形中哪类问题：
2，已知两角和一边，求其他角和边.
1，已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角，进而可求其他的边和角.
一般地，把三角形的三角A,B,C和他们所对的边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
例题讲解
已知两角和任意边，求其他两边和一角
练1 在△ABC中，已知c=10cm,A=45。,C=30。求 a , b .
解：
已知两角和任意边，求其他两边和一角
试一试
例题讲解
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角
已知两边和其中一边
的对角,求其他边和角
解：由正弦定理
C=90°,
C=30°,
例2
已知a=16， b= ， A=30° .求角B，C和边c
(2)当Ｂ＝120°时,
变式1: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c（参考值： ）
故B=26°,
C=1240,
变式2: a=20, b=40, A=45°解三角形.
解：由正弦定理
得
，求B；
判断 解的个数：
，求B；
，求B；
，求B；
一解
一解
无解
两解
课堂小结
（1）三角形常用公式：
（2）正弦定理应用范围：
①
已知两角和任意边，求其他两边和一角
②
已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角。(注意解的情况)
正弦定理：
C
B
C
D
A
B
C
D
D
2
60°或120°
30°
C