1.1.1正弦定理
一、情景导入：
问题1：如图，河流两岸有A、B两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A、B两地的距离(假设你现在的位置是A点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。
问题2：此类问题可以归纳为在三角形中，已知某些边与角，求其他的边与角的问题，此类问题在数学里称为___________问题.
解三角形
C
1、测出角A、C的大小
2、量出AC的长度
正弦定理
问题3：在Rt三角形中，角C=90o，如何定义 sinA, sinB?
那么对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立？
正弦定理
可分为直角三角形，锐角三角形，
钝角三角形三种情况分析.
当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,
C
A
B
D
a
b
c
同理，做BC边上的高可得
CD=asinB=bsinA,则
E
所以，
AE=bsinC=csinB
即：
对=斜sinθ(θ为锐角)
当△ABC是钝角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,
同理，做BC边上的高可得
CD=asinB=bsinA,则
所以，
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
a
c
b
E
AE=bsin∠ACE=bsinC=csinB
即：
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
即
正弦定理
=2R(R为 ABC外接圆半径)
定理的应用
例 1：在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。，解三角形.（即求出其它边和角）
解：
（1）已知两角和任一边，
求其他两边和一角
a
根据三角形内角和定理，
（1）在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12。
解三角形.
练习：
已知两角和任一边，求其他两边和一角.
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
（三角形中大边对大角）
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
（三角形中大边对大角）
利用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？
已知两角和任一边，求其它两边和一角；

已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角。
判断满足下列的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o

(2)c=54, b=39, C=120o

(3)b=26, c=15, C=30o

(4)a=2,b=6,A=30o
两解
一解
两解
无解
练习：
已知三角形两边和其中一边对角时，解的情况讨论：
解三角形时解的情况:
2正弦定理用途：
解斜三角形
已知两角和任一边，求其它两边和一角；

已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角。
实现三角形当中边角之间的转化
作业、
1、在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°，c=
求C，a ， b.
2、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，
求A、b、c.
1.1.1正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
即
正弦定理
变式:
答案：　C
判断满足下列的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o

(2)c=54, b=39, C=120o

(3)b=26, c=15, C=30o

(4)a=2,b=6,A=30o
两解
一解
两解
无解
练习：
答案：　A
解：
代入已知条件，得：
即
3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若b＝acos C，试判断△ABC的形状．
解析：　∵b＝acos C，
由正弦定理得：sin B＝sin A·sin C.
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin(A＋C)＝sin A·cos C.
即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C，
∴cos Asin C＝0，
在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】　利用正弦定理将角的关系式sin2A＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断△ABC的形状．
RTX讨论六：
已知两边及夹角，怎样求三角形面积？
证明：
∵
而
∴
同理
∴
ha
数学建构
三角形面积公式：
互动探究3　若本例中的条件“sin A＝2sin B cos C”改为“sin2A＝2sin B sin C”，试判断△ABC的形状．
解：由sin2A＝sin2B＋sin2C，
得a2＝b2＋c2.∴A＝90°.
∵sin2A＝2sin B sin C，
∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc.
∴b＝c，
∴△ABC为等腰直角三角形．
【名师点评】　判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
作业
1、在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，
且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．