1.1.1正 弦 定 理

1、边的关系：
2、角的关系：
3、边角关系：
(1)两边之和大于第三边；两边之差小于第三边
(2)在直角三角形中：a2+b2=c2
(1)大边对大角，大角对大边，等边对等角
回顾三角形中的边角关系:
前提测评
一、创设情境
1、问题的给出：
2、实际问题转化为数学问题：
如图，要测量小河两岸A，B两个码头的距离。可在小河一侧如在B所在一侧，选择C，为了算出AB的长，可先测出BC的长a，再用经纬仪分别测出B，C的值，那么，根据a, B，C的值，能否算出AB的长。
.C
a
A
C
B
c
b
a
想一想?
问题
（2）上述结论是否可推广到任意三角形?若成立，如何证明？
（1）你有何结论?
二、定理的猜想
三、定理的证明
平面几何法
同理可得：
（1）文字叙述
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等.
（2）结构特点
（3）方程的观点
正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
和谐美、对称美.
正弦定理:
在锐角三角形中
由向量加法的三角形法则
在钝角三角形中
A
B
C
具体证明过程
自己完成!
如图：若测得a＝48.1m，B＝43 ° ，
C＝69 °，求AB。
解：
A＝180 °－（43 °＋69 °）＝68 °
≈48.4(m)
学以致用
正弦定理应用一：
已知两角和其中一角所对的边，求其余两边和角
正弦定理应用二：

已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进

而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）
点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角,
此时的解是唯一的.
课堂练习:
点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边对大角定理等三角形有关性质.
二种 —— 平面几何法 向量法
定理
应用
方法
课时小结
二个 —— 已知两角和一边（只有一解）
已知两边和其中一边的对角
（有一解，两解，无解）
A
A
引：
思考：三角形的面积和它的元素间有何联系？
正弦定理及其变形：
理论迁移
:例3： 在△ABC中，已知acosB=bcosA，试确定△ABC的形状.
等腰三角形
判断三角形形状
化简得：
即
解：
自我提高！
A、等腰三角形 　　　　B、直角三角形

C、等腰直角三角形 　　　 D、不能确定
C
C
B
巩固练习
B
6. 在△ABC中，已知
，求角A的值.
课堂总结