1.1.1正弦定理
在直角三角形ABC中
正弦定理
那么对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立？
正弦定理
?
可分为直角三角形，锐角三角形，
钝角三角形三种情况分析.
当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,
C
A
B
D
a
b
c
同理，做BC边上的高可得
CD=asinB=bsinA,则
E
所以，
AE=bsinC=csinB
即：
对=斜sinθ(θ为锐角)
当△ABC是钝角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,
同理，做BC边上的高可得
CD=asinB=bsinA,则
所以，
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
a
c
b
E
AE=bsin∠ACE=bsinC=csinB
即：
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
即
正弦定理
问题五：定理是否还有其它证明方法？
?
．
．
．
外接圆法:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
即
正弦定理
变式:
从理论上,正弦定理可解决两类问题:

两角和任意一边,求其他两边和一角

两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其他的边和角
正弦定理的应用
讲解范例：
例1. 在△ABC中，已知A＝30o，
B＝75o，a＝42cm，解三角形.
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝28 cm，
b＝56cm，A＝30o，解三角形。
思考：
为什么有两个解呢？何时有两个解？
例3. 在△ABC中，已知a＝√3 cm，
b＝√2cm，B＝45°，解三角形。
归纳：
1. 如果已知的A是直角或钝角，a＞b，
只有一解；
2. 如果已知的A是锐角，a＞b，或a=b，
只有一解；
3. 如果已知的A是锐角，a＜b，
(1) a＞bsinA，有二解；
(2) a＝bsinA，只有一解；
(3) a＜bsinA，无解.
⑴若A为锐角时:
已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:
⑵若A为直角或钝角时:
判断满足下列的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o

(2)c=54, b=39, C=120o

(3)b=26, c=15, C=30o

(4)a=2,b=6,A=30o
两解
一解
两解
无解
练习：
30°
练习
ABC中，解三角形：
75°或15°
（3）已知c=√6, A＝45°, a＝2，
则B=
向量法证明正弦定理：
过A作单位向量
垂直于
由
两边同乘以单位向量
得
同理，若过C作
垂直于
得：