1.1.2　余弦定理
新课导入——实例引领 思维激活
实例:在△ABC中,AC=2,BC=3,C=60°,解三角形.
想一想 上述实例能否用正弦定理求解?若不能,你能用所学过的平面向量的知识求出边AB吗?
知识探究——自主梳理 思考辨析
1.余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
即a2= ,b2= ,
c2= .
b2+c2-2bccos A
c2+a2-2cacos B
a2+b2-2abcos C
思考1:如图,以A为原点,边AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(0,0),B(c,0),C(bcos A,bsin A),试根据两点间的距离公式证明余弦定理.
提示:BC2=(bcosA-c)2+(bsinA-0)2
=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A,
即a2=b2+c2-2bccosA.
同理可证:b2=c2+a2-2cacosB,
c2=a2+b2-2abcosC.
思考2:(1)若△ABC为钝角三角形,且A>90°,则三边a,b,c满足什么关系?
(2)若△ABC的三边a,b,c满足a2>b2+c2,则△ABC是什么三角形?
3.余弦定理及其推论的应用
应用余弦定理及其推论,并结合正弦定理,可以解决的三角形问题有:
(1)已知两边和它们的 解三角形;
(2)已知三角形的三边解三角形.
夹角
题型探究——典例剖析 举一反三
题型一 余弦定理的简单应用
【例1】 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C=　　　　.
名师导引:先化简条件,再用余弦定理的推论求解.
题后反思 在利用余弦定理解三角形时,应注意巧用“整体代入”,减少化简量,优化表述过程.
答案:4
题后反思 (1)三角形中,已知两边及一角解三角形有两种情况.
①三角形中已知两边和一边的对角,有两种解法.一是利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程,运用解方程的方法求出第三边的长,这样可免去判断取舍的麻烦.二是直接运用正弦定理,先求角再求边.
②已知两边和两边夹角,直接应用余弦定理求出第三边,然后应用正弦定理或余弦定理推论求出另两角.
(2)已知三边或三边的比例关系,可由余弦定理的推论直接求解.
题型三 利用余弦定理判断三角形形状
【例3】 在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,试确定△ABC的形状.
名师导引:已知条件中,既有边的关系又有角的关系,可以用边化角或用角化边来判断.
题后反思 判断三角形形状的两种途径.其一是利用正、余弦定理将条件中的角转化为边,通过因式分解、配方等方式得出边的关系,进而判断三角形的形状;其二是利用正、余弦定理将条件中的边转化为角,通过三角变换,得出各内角间的关系,进而判断三角形的形状.
课堂小结
1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题.
(1)已知两边和一角,解三角形.
(2)已知三边求三角形的任意一角.
2.判断三角形的形状,当所给的条件是边角混合关系时,基本解题思路:用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系,再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系;若统一为边之间的关系,再利用代数方法进行恒等变形、化简,找到边之间的关系.