第二章 数 列
2.2 等差数列
在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ）
2062
相差76年
通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。
8844.43米
9
-24
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
减少6.5
我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：
引例三
0， 5 ，
10 ，
15 ，
20 ，
25 ，… 。
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活习惯，用定期放水
清库的方法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m,自然
放水每天水位降低2.5m，最低降至5m,那么从开始放水算起，到
可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列：
引例四
18， 15.5 ，13，
10.5 ，
8 ，
5.5 .
( 4 ) 18，15.5，13，（ 10.5 ）, (8), (5.5).
( 1 ) 1682，1758，1834，1910，1986，（2062）
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
它们的共同规律是？
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, (-24）.
（3）0，5，（10），(15)，（20），（25），…。
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它
的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
等差数列定义
第2项起
同一个常数
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
等差数列定义
等差数列的数学表达式：
4、数列 -3，-2，-1，1，2，3 ；
练一练
公差是3
不是
3、数列 1,1,1,1,1；
公差是0
2、数列6，4，2，0，-2，-4；
公差是-2
当d>0时,等差数列是一个单调递 数列;
当d<0时,等差数列是一个单调递 数列.
当d=0时,等差数列是一个 数列;
常
增
减
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0
3
-6
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
思 考
( 3 ) a , ( ) , b
a，A，b成等差数列
等差中项:
巩固练习
A
等差数列的通项公式
如果一个数列 是等差数列，它的首项为 ，
公差是d，能否求出通项公式 ？
n=1时亦适合
n-1个式子累加得：
…
等差数列的通项公式
由等差数列的定义得: an-an-1=d (n≥2 )
n=1时亦适合
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解：
解：
因此，
解得
例题讲解
（2） -401是不是等差数列 –5 ， -9 ，-13 ，‥‥ 的项 ？
如果是，是第几项？
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的项？
3. -20是不是等差数列0，- ，-7…中的项；
练一练
例题讲解
等差数列的性质
练一练
4. 在等差数列中
推广后的通项公式
例3 在等差数列{an}中
(1)   若a59=70，a80=112，求a101；

(2)   若ap=q，aq=p (p≠q)，求ap+q；
d=2,
a101=154
d= -1,
ap+q=0
例题讲解
等差数列的性质
定义法: 证明an－an－1＝d (常数)
或an+1－an＝d (常数)
判断数列是否为等差数列的常用方法：
(2) 通项公式法: 等差数列的通项公式是
关于n的一次函数.
小结
巩固练习
1. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= .
-35
2. 若数列{an}的通项公式为an=10+lg 2n,求证数列{an}为等差数列.
等差数列的图象
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等差数列的图象
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（2）在同个直角坐标系中，
画出函数y=2x-4 的图像.
等差数列
的图像与一次函数y=2x-4的
图像之间有什么关系?
等差数列的图象:
直线上均匀排开的一群孤立的点
等差数列的性质
题型二　等差数列的设法与求解
【例2】 (1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解：(1)解法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，
则这三个数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4，
故三个数为－2,2,6或6,2，－2.
(2)解法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，得2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，即d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
解:设梯子的第n级的宽为an cm,其中最高一级宽为a1 cm,则数列{an}是等差数列.
由题意,得a1=33,a12=110,n=12,
则a12=a1+11d.
所以110=33+11d,解得d=7.
所以a2=33+7=40,a3=40+7=47,…,a11=96+7=103,
即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.
反思:解决实际应用问题的关键是建立数学模型,本题中的数学模型是已知等差数列的首项和末项及项数,求各项.
【例题3】 梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽
110 cm,中间还有10级,各级宽度依次成等差数列,计算中间各级的宽度.
拓展：
是
是
是
是
（6）若数列 与 是等差数列， 是等差数列吗？
2
2
3. 已知三个数成等差数列，其和为15，首末两项之积为9，求这三个数。
变式： 已知递增数列的四个数成等差数列，其和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。
300< 83+5×（n-1）<500
巩固练习
2. 在等差数列{an}中a1=83，a4=98，则这个数列有
多少项在300到500之间？
提示：
n=45，46，…，84
40
一个等差数列的首项为  ,公差d>0,从第10项起每一项都大于1,求公差d的范围.
分析:从第10项起每一项都大于1是指 转化为解不等式组.
解:设等差数列为{an},
2