2.2 等差数列
第一课时
复习回顾:
1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数,
简记作:{an}
2.通项公式:数列{an}中第n项an与n之间的关系式
3.数列的分类
(1)按项数分：
有穷数列，
(2)按项之间的大小关系：
递增数列，
递减数列，
无穷数列
摆动数列，
常数列。
4.数列的实质
5.递推公式:
如果已知{an}的第1项(或前n项),且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.
一、引入
1.观察下列数列，指出它们的共同特征：
(1)2，5，8，11，…
(2)48，53，58，63，…
(3) 3，3，3，3，…
(4)活期存入10000元，年利率是0.72%，按照单利，5年内各年末本利和分别是10072，10144，10216，10288， 10360．
共同特征：从第二项起，每一项与它的前一项的差
等于同一个常数
1.等差数列：一般地，如果一数列从第二项起，每一项
与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等差数列;
这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
二、新课讲解
2.等差数列定义的符号语言：
an-an-1=d， ( n≥2 )，其中d为常数
（ an+1-an = d n∈N+ ）
（一）等差数列的定义：
1．判断题
(1)数列a，2a，3a，4a，…是等差数列;
(2)数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列;
(3)若an－an+1=3 (n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列;
(4)若a2－a1=a3－a2, 则数列｛an｝是等差数列。
2. 在下列两个数中间再插入一个数，使这三个数组成一个等差数列，并思考其中有什么规律？
（1）2，4； （2）-1，5； （3）-12，0.
如果在a与c中间插入一个数b，使a，b，c组成一个
等差数列，则中间的数b叫做a与c的等差中项，且
3. 求出下列数列的公差.
（1）1，6，11，16，……
（2）-8，-6，-4，-2，……
（3）10，5，0，-5，……
（4）21，19，17，15，……
（5）3，3，3，3，……
已知数列{an}是等差数列，d是公差，则：
当d=0时， {an}为常数列；
当d>0时， {an}为递增数列；
当d<0时， {an}为递减数列；
思考：上述数列的公差与该数列的类型有关系吗？
d=5
d=2
d=-5
d=-2
d=0
三、练习
a2=a1+d
a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d
a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d
……
an=an-1+d=a1+(n-1)d
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+(n-1)d
方法1：∵由等差数列的定义可得
不完全归纳法
∴
已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________;
迭代方法
三、练习
a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
…
…
an-an-1=d (n>1)
上述各式两边同时相加，得
an-a1=(n-1)d
方法2：∵由等差数列的定义可得
叠加法
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+(n-1)d
(3)已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________;
三、练习
（二）等差数列的通项公式：
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则
an=a1+(n-1)d
二、新课讲解
注: 等差数列的通项公式中 ，an , a1 , n,d这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个量 。
四、例题
例1. 在等差数列{an}中，
（1）已知a1=2，d=3，n=10，求an
解：a10=a1+9d=2+9×3=29
（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n
解：∵21=3+(n-1)×2
∴n=10
（3）已知a1=12，a6=27，求d
解： ∵a6=a1+5d，即27=12+5d
∴ d=3
（4）已知d=-1/3，a7=8，求a1
解：∵a7=a1+6d 8=a1+6×(-1/3)
∴a1=10
例2. (1)等差数列8，5，2,······的第20项是几？
(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13，·····的项？
如果是，是第几项？
（2）由题意得，a1=-5，d=-4，an=-401
∵an=a1+(n-1)d
∴-401=-5+(n-1)×(-4)
∴n=100
∴-401是这个数列的第100项
解： （1）依题意得，a1=8，d=5-8=-3
∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49
四、例题
例3.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价10元，即最初的4km（不含4km）计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.
所以，我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1 =11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。
那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费
  a11=11.2＋ (11－1) ×1.2=23.2
答：需要支付车费23.2元。
四、例题
解：（1）依题意得
a1+4d=10
a1+11d=31
解得 a1= - 2 , d = 3
∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70
例4.在等差数列{an}中， a5=10，
（1）若a12=31，求a25 ；
（2）若d=2，求a10；
an=am+(n-m)d
例.a10=a6+ d， a32=a99+ d.
4
－67
设 {an}是公差为d的等差数列，那么
(1) an=am+(n-m)d
等差数列的常用性质
－7
例5.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a-d，a，a+d
则 (a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12
∴a=4
又∵ (a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12
解得 d=±2
∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6
当d=-2时，这三个数分别为6，4，2
练习：已知三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数?
练习.在等差数列{an}中，
(1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求：a1+a20
(2)已知 a3+a11=10，求：a6+a7+a8
(3)已知 a2+a14=10，能求出a16吗？
10
15
例6 .在等差数列{an}中，a6＝19 ,a15=46，求a4+a17的值．
(4)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
不能
1.若在1与11之间插入若干个数，使它们组成一个等差数列，试分别就下列情况求出所插入的数：
（1）插入1个数；（2）插入2个数；
（3）插入3个数呢？
2.梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110，中间还有10级，各级的宽度成等差数列.计算中间各级的宽.
五、练习
五、小结
1.定义：an-an-1=d （n≥2）或
an+1-an=d (n∈N*)
2. 通项公式
an =a1+(n-1)d
{an}为等差数列 
3. 等差数列的性质
an+1- an=d
an+1=an+d
an= a1+(n-1) d
an= kn + b
（k、b为常数）




4.等差数列的简单性质：