奥数教练员培训教程
（初中竞赛，代数部分）
初中竞赛代数内容主要分为四部分
代数式的求值问题
方程与方程组的求解问题及其应用
一元一次不等式（组）及二元一次不等式（组）的求解及应用
二次函数问题
关于整式的求值问题
关于分式的求值问题
二次根式的求值问题
代数式求值的相关考点：
一、代数式的求值问题
（一）知识梳理
1、整式的知识点：
（1）高次二项式的变形公式：
（2）乘法公式：
完全平方公式：
平方差公式：
立方和（差）公式：
（3）多项式平方公式：
即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
（4）完全立方公式：
（5）
（6）欧拉公式

（7）
（9）多项式的带余除法：
若多项式f(x)除以g(x)，所得商式为q(x),余式为r(x),则
f(x)=g(x)q(x)+r(x)
（10）因式分解的方法：
提公因式法
运用公式法
分组分解法
十字相乘法
双十字相乘法
待定系数法
换元法
添项、拆项、配方法
（11）幂指数运算性质：
2、分式的知识点
（1）基本公式
（2）分式化简、求值的常用方法有：
设参法：主要用于连比式或连等式
拆项法（裂项法）
因式分解法
通分法：分组通分、逐项通分、
换元法
整体代入法
取倒法
公式法
代换法
（2）二次根式具有如下性质：
3、二次根式的知识点
（3）二次根式的运算法则如下：
（6）二次根式的求值
基本思路：先将二次根式化为最简根式
再作加减乘除运算
特殊的方法、技巧：换元法、拆项法、因式分解法、运用乘法公式、分母有理化。
1、公式法求值
代数式的变形化简，离不开各种公式、各种运算法则及它们的变形用法。
（二）例题分析
学法指导
1、系统掌握数学知识点

2、系统掌握数学思想、方法

3、学会思考数学问题 ：
四种思路：条件、条件与条件、问题、条件与问题
三种本领：观察、对比、联想

4、不断总结、反思。
条件
1、数学问题的分析思路：
推导
分析
问题
2、如何变形：
（1）迎合公式等，对条件、问题变形
（2）迎合问题，对条件变形
（3）迎合条件，对问题变形
（4）迎合一个条件，对另一个条件变形
3、怎么做到：多观察、多联想、多记忆、多总结
2、换元法求值
　　如果代数式较繁，且相同的地方较多，则可以考虑换元法．

3、 整体法求值：将已知条件整体代入求值
例 已知 ，那么
分析： 共有1996项，将每四项分成一组，共499组，每组中都有因式 ，因此结果为0.
（第八届“祖冲之”杯竞赛试题）
例 、若a、b都是正实数，且 ，求
（1992年全国联赛试题）
例、 已知
分析：观察待求值的多项式，它是关于x+y、xy、a+b的多项式，如果能通过已知条件的变形，求出x+y、xy、a+b，问题就解决了。或者构造出关于x+y、 xy、 a+b的方程组，问题也解决了。
4、构造方程法求值
例、已知p、q是有理数， 满足 ，
则p+q的值是（ ）。
（A）-1 （B）1 （C）-3 （D）3
5、利用数的性质：若所给条件限制于整数、有理数，或涉及到质数，奇偶数，整除性、数的非负性等，把握住这方面的性质，有利于寻到突破口。
6、参数法求值：
7、取倒法求值
注：条件取倒，问题取倒，条件问题均取倒
8、代换法：变量个数多于等式个数
9、利用多项式除法：主要用于高次一元多项式情形
10、因式分解法求值
11、运用韦达定理逆定理求值法
12、配对法求值
13、配方法求值
14、数形结合法求值
二、方程与方程组的求解问题及其应用
考点：
1.解含绝对值的方程
2.利用含字母系数的一次方程求字母的值；
3.含字母一元二次方程的整数根；
4.一元二次方程的根的相关问题；
5.解高次方程；
6.含字母无理方程的根的相关问题；
7.方程（组）的实际应用；
早在300多年前法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为解方程．虽然笛卡尔“伟大设想”没有实现，但是充分说明了方程的重要性．
1、解绝对值问题的切入点是：脱去绝对值符号。
（1）脱去绝对值符号常用到：
符号法则、分类讨论、数形结合等知识方法。
（2）去绝对值的符号法则：
2、恰当地运用绝对值的几何意义
【知识梳理】
（一）绝对值以及绝对值方程
3、灵活运用绝对值的基本性质
4. 解决绝对值问题的常用方法：
（1）零点分段法； （2）数形结合法；
1、赛点1：绝对值的化简
【例题分析】
（1）令各绝对值为0，得若干个绝对值为零的点（零点）；
（2）用这些点把数轴分成几个区间；
（3）再在各区间内化简代数式即可 。
5、零点分段法
2、赛点2：绝对值的非负性
3、赛点3：绝对值方程
（1）采用 “零点分段法”：分类讨论；
（2）采用“数形结合法”：利用数轴上绝对值的几何意义
求解．
对策：
4、赛点4：绝对值求最值
例、求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2005|的最小值
1.关于x的方程ax=b的解得情况：
时，方程有唯一解 ；
且 时，方程有无穷多个解;
且 时，方程无解。

2.方程的解是方程理论中的一个重要概念，解题中要学全从两个方面去应用：
(1)求解；通过解方程，求出方程的解进而解决问题；
(2)代解：将方程的解代入原方程进行解题．
（二）一元一次方程
【知识梳理】
例.已知关于x的方程 ，无论k

为何值，总有根 ，求m,n的值。
思路：方程总有根表示 满足方程，将-2代入方程并化简，可得有关k的一次方程，又因“无论k为何值”都成立，所以 有关k的方程为0k=0
解：将x=-2代入方程并化简为：
因为对任何k都成立

所以：
【例题分析】
注：（1）对于含字母系数的方程，我们不但可讨论方程根的个数，而且还可以探求解的性态，如整数解、正数解，负数解。解这类问题，常常要用到整数知识、枚举、分类讨论等方法。
（2）解一元一次方程常用的技巧有：
有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行；
当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母；
用整体思想，即把含未知数的代数式看作一个整体进行变形．
（三）一次方程组
【知识梳理】
1. “消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代人法、加减法是消元的两种基本方法．
2.解一些复杂的方程组(如未知数系数较大、方程个数较多等)，需要观察方程组系数的特点，着眼于整体上解决问题，常用到整体叠加、整体叠乘、设元引参、对称处理、换元转化等方法技巧．
3.对于含有字母系数的二元一次方程组，我们可以进一步讨论解的特性、解的个数．基本思路是通过消元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨沦．
【例题分析】
例、解方程组
注：加减消元法
若4x-3y-6z=0，x+2y-7z=0 （xyz≠0），
则式子 的值等于______
注：把某个未知量当作常数看待
例、
例.(周报杯)解方程组: = =
2x+3y+4z=-3
注：设参数法
例.(1997北京)解方程组 1995x+1997y=5989
1997x+1995y=5987
注：累加累减法

例（第7届华杯赛）解方程组
+ = + = + =…= + = + =1
+ + … + + =1999
注：换元法
思考题：
4、解方程组：
（四）一元二次方程
【知识梳理】
1、一元二次方程的一般形式：
(a,b,c为常数，a≠0）
2、一元二次方程的解法
（1）配方法
（2）公式法
一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
（3）因式分解法
1o方程右边化为0
2o将方程左边分解成两个一次因式的乘积。
4、判别式的应用：
利用判别式，可以判断方程实根的个数；
运用判别式，可以建立等式、不等式，从而求方程中参数或参数的取值范围；
通过判别式，可以证明与方程有关的代数问题；
借助判别式，可以解几何存在性问题、最值问题。
------韦达定理
注：（1）韦达定理应用广泛，主要体现在：
运用韦达定理，求方程中参数的值；
运用韦达定理，求代数式的值；
利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；
利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题。

（2）设而不求、整体代入是利用韦达定理解题
的基本思路。
6、运用韦达定理时，常需要作下列变形：
【例题分析】
（一）解方程问题
利用根的概念降次
思路点拨：因不知原方程的类型，故需分
及
两种情况讨论。
零点分段
分情况讨论
根的概念，设元法
【例】已知方程 ，k为实数，证明方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1。
思路1：证方程有实根，即证： ；证两根为α、β， α>1， β<1，即α-1>0， β-1<0从而利用韦达定理证（α-1）（β-1）<0。

思路2：直接将原方程转为 ，证两根之积小于0
问题的转化
解1（1）因
所以方程有两个不相等的实根；
（2）设方程的两根为α、β，则：
即 异号
故：两根中有一个大于1，另一个小于1.

解2:将原方程转化为
由韦达定理得：
新方程的两根异号，即原方程的两根一个大于 1，另一个根小于1
（二）利用判别式问题
思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零。
思路点拨：要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似，点E必须满足∠AED+∠BEC＝90°，为此，可设在AE上存在满足条件的点E使得Rt△ADE∽Rt△BEC，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E的存在与否及存在的个数。
（三）利用韦达定理问题
【例】已知a,b,c为整数，满足c>0，a+b=3,
，若关于x的方程
的解只有一个，求d.
思路：可以将a,b作为关于x的方程的两根，根据判别式和c的范围来求出c的值；再根据原方程的判别式为零求出d.
解：易知a,b是 的两根，又
，则：
由c为正整数，则：c=1,2
当c=1时，a,b无整数解；
当c=2时，a=1,b=2或a=2,b=1
从而原方程可化为
当d=0时，x=-1;
当d≠0时，方程有等根，则：


综上所述：
（四）方程的构造问题
注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有：
(1)利用根的定义构造；
(2)利用根与系数关系构造；
(3)确定主元构造。
（五）一元二次方程的整数解问题
1、解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略
（1）从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；
（2）从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△= )，通过穷举，逼近求解；
（3）从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；
（4）从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．
【例】.是否存在正整数m，使关于x的方程
有整数根，若存在，请求出m的值。
【例题分析】
2、一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．
1、匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”
2、转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．
（六）可化为一元二次方程的方程
3.分式方程 整式方程；
无理方程 有理方程；
高次方程 一元一（二）次方程
4.余数定理：已知x的多项式f(x),若对于常数a,有f(a)=0，则f(x)有因式（x-a）；
5.解分式、有理、无理方程时，可能会产生增根，因此必须检验。
解1（因式分解）： 原式可化为：

解2（余数定理）：

因f(-1)=0，所以f(x)有因式（x+1）
原方程可化为
【例】解方程：
【例】已知关于x的方程

只有一个实数根，求m的值。
思路：将原方程化简为关于x的一元二次方程，因原 方程只有一实根，要分类讨论判别式：△=0与△>0；对于△>0：一元二次方程有两个根，但是当其中一个为增根时，原方程还是只有一个实根。
初中阶段已学过的方程组有：二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组．
化归是解方程组的基本思想；
降次与消元是化归的主要途径；
因式分解、换元是降次的常用方法；
代人法、加减法是消元的两种主要手段．
（七）化归—解方程组的基本思想
解一些特殊方程组(如未知数系数较大，未知数个数较多等)，需要在整体分析方程组特点基础上，灵活运用一些技巧与方法，常用的技巧与方法有迭加、迭乘、换元、配方、取倒等．
转化与化归是解方程组的基本思想，常见形式有：
分式方程整式化
无理方程有理化
高次方程低次化
多元方程一元化
三、不等式（组）及其应用
考察不等式组的解法
不等式组的整数解问题
不等式中字母范围的确定
带绝对值的不等式解答
利用不等式解决实际问题
考点：
1、一元一次不等式（组）
【知识回顾】
2、二元一次不等式（组）
{x|xx2}
{x|x≠x1}
{x|x∈R}
{x|x1∅
∅
6、相等与不等既对立，又统一，具体体现
(1)运用不等式(组)讨论方程(组)的解的正负性；
(2)运用不等式(组)，用逼近的方法求特殊方程(组)的解；
(3)对于含有等式、不等式的混合型问题，综合运用方程(组)(消元思想)、不等式(组)(逼近思想)求解．
7. 确定不等式(组)中参数的取值范围常用的方法有：
(1)逆用不等式(组)解集确定，
(2)分类讨论确定；
(3)借助数轴确定．
（1）基本解法（2）数形结合法
（3）分类讨论法（4）综合法
8、常用解法
【例题分析】
（一）基本解法
（二）数形结合法
【例】
（三）分类讨论法
【例】将两筐苹果分给甲，乙两个班级，甲班有1人分到6个，其余的人，每人分到13个；乙班有1人分到5个，其余的每人分到10个，如果两筐苹果的个数相同，并且大于100不超过200．那么，甲班有____人，乙班有____人．
（四）综合法
解 设甲班有x人，乙班有y人，根据题意可得

因为x，y都是正整数，故根据②，③知
x可能为：9，10，11，12，13，14，15；
y可能为：11，12，13，14，15，16，17，18，19，20．
由①又可得，故知13x－2应是10的倍数，13的末位数应是2，所以x只能取14，这时y=18．所以甲班有14人，乙班有18人．
四、二次函数

二次函数考点：
二次函数的性质
二次函数的表达式
二次函数与一元二次方程的关系
根与系数的关系
【知识回顾】
6.根与系数的关系：
7、补充公式
【例题分析】
谢谢！！