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第五章 几 何
§5.2 几个重要定理
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§5.2 几个重要定理
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§5.2 几个重要定理
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§5.2 几个重要定理
例1：证明：在三角形中，
（1）三条中线交于一点（重心）；
（2）三条角平分线交于一点（内心）；
（3）三条边的中垂线交于一点（外心）；
（4）三条高交于一点（垂心）
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§5.2 几个重要定理
例2：在△ABC中，设三边BC、CA、AB分别与三角形的内切圆相切于X、Y、Z，证明：AX、BY、CZ交于一点（葛尔刚（Gergonne）点).
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§5.2 几个重要定理
例3：如图5.2.2，过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P,Q，R，求证：P、Q、R三点共线（莱莫恩（Lemoine）线).
见课本P191.例1
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§5.2 几个重要定理
例2：在△ABC中，设三边BC、CA、AB分别与三角形的内切圆相切于X、Y、Z，证明：AX、BY、CZ交于一点（葛尔刚（Gergonne）点).
例3：如图5.2.2，过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P,Q，R，求证：P、Q、R三点共线（莱莫恩（Lemoine）线).
笛沙格（Desargues）定理
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例4：设AD是△ABC的高，P为AD上一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F（图5.2.7）。
证明：AD平分∠EDF．
§5.2 几个重要定理
见课本P195.例5
N
M
证法1：利用Ceva定理
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例4：设AD是△ABC的高，P为AD上一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F（图5.2.7）。
证明：AD平分∠EDF．
§5.2 几个重要定理
见课本P195.例5
证法2：
Q
完全四边形的调和性
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§5.2 几个重要定理
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例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和.
即：证明 AP=BP+PC
§5.2 几个重要定理
D
证法1：延长BP至D使PD=PC，
连CD.
然后证明AP=BD.
证明 △ACP≌△BCD.
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例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和.
即：证明 AP=BP+PC
§5.2 几个重要定理
C’
证明 △ABC’≌△CBP.
证法2：在AP上取一点C’，使PC’=BP，连BC’.
然后证明 AC’=PC.
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例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和.
即：证明 AP=BP+PC
§5.2 几个重要定理
证法3(托勒密定理)：
BC·AP=AC·BP+AB·PC，
所以 AP=BP+PC
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§5.2 几个重要定理
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§5.2 几个重要定理
五、 西姆松（Simson ）定理
三角形外接圆周上任意一点在三边（所在直线）上的射影共线.
1
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证法一：只需证 ∠1+ ∠2=180°
证法二：应用Menelaus定理
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Menelaus定理
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改述为：
如图，△ABC中， E、F分别是AC、AB上的点，且EF∥BC．BE与CF交于点O，AO交BC于D，求证：BD=DC.
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改述为：
如图，△ABC中， E、F分别是AC、AB上的点，且EF∥BC．BE与CF交于点O，AO交BC于D，求证：BD=DC.
P∞
(BC,D P∞)=-1
BD=DC
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§5.3 几个典型的几何问题
一、共圆点问题
证明四点共圆，通常用下列方法：
（1）证诸点到一定点的距离相等（圆的定义）
（2）证明ＡＢＣＤ是圆内接四边形（或证对角互补，或证某两点视另两点连线段的视角相等，当然这两点要在这线段的同侧）
（3）相交弦定理之逆：若ＡＢ∩ＣＤ=O，证明ＯＡ·ＯＢ＝ＯＣ·ＯＤ
（4）直径所对圆周角是直角：如果其中某两点的连线段为直径，可证明其余的点对这线段的视角均为直角．
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§5.3 几个典型的几何问题
一、共圆点问题
例１．通过圆内接四边形一顶点和邻接二边中点作圆，证明这四圆共点．
设O是四边形的外心，
则OM⊥AB， ON⊥AD,
因此，A、M、O、N共圆。
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§5.3 几个典型的几何问题
一、共圆点问题
例2．密克（Miquel ）定理：
在△ＡＢＣ三边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ所在直线上分别取Ｘ，Ｙ，Ｚ三点，则⊙ＡＹＺ，⊙ＢＺＸ，⊙ＣＸＹ三个圆共点.
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例3
见课本P204.例1
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§5.3 几个典型的几何问题
一、共圆点问题
例4：三角形三边中点，三垂足，垂心与三顶点连线段的中点，这九点共圆，称为这三角形的九点圆．
如图：Ｌ，Ｍ，Ｎ设是△ＡＢＣ三边
中点，Ｄ，Ｅ，Ｆ是垂足，Ｈ是垂心，
Ｐ，Ｑ，Ｒ是ＨＡ，ＨＢ，ＨＣ的中点
则Ｌ，Ｍ，Ｎ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｐ，Ｑ，
Ｒ九点共圆
九点圆定理
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§5.3 几个典型的几何问题
一、共圆点问题
九点圆定理
九点圆的性质
三角形的九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半；
三角形的九点圆心、外心、重心、垂心四心共线（欧拉线）；
三角形的外心，重心，九点圆圆心，垂心分别为Ｏ，Ｇ，Ｋ，Ｈ，则ＯＧ︰ＧＫ︰ＫＨ＝2 ︰ 1 ︰ ３
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§5.3 几个典型的几何问题
一、共圆点问题
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心分别为Ｏ，Ｇ，Ｋ，Ｈ，则
ＯＧ︰ＧＫ︰ＫＨ＝2 ︰ 1 ︰ ３
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见课本P205.例3
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§5.3 几个典型的几何问题
二、共线点问题
证明三点（Ｘ，Ｙ，Ｚ）共线的方法：
1.利用平角：证明∠XYZ=180°（或0°）
2.证明ＸＹ与ＸＺ平行于同一条直线；证明Ｘ、Ｙ、Ｚ同在一定直线上；证明ＸＺ和某定直线的交点就是Ｙ
3.利用已知的共线点定理（如欧拉线、西姆松线等）
4.应用Menelaus定理
5.利用位似形的性质——对应点连线过位似中心
6.利用射影几何有关定理：德萨格（ Desargues ）定理、帕普斯（ Pappus ）定理、 帕斯卡（Pascal）定理等
☆
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见课本P207
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证法二：利用二次曲线的极与极线.
N
例6：在△ＡＢＣ中以ＢＣ为直径的圆交ＡＢ，ＡＣ于Ｆ，Ｅ，求证：圆在Ｅ，Ｆ的切线与高线ＡＤ共点．
分析一：设过E点的切线交AD于M，
易证图中三个角相等，
则ME=MH=MA.
连FM，须证FM是圆的切线
作F点的半径FO，
只需证FO⊥FM
O
1
2
3
结论为三线共点，
注意到E、F的切线就是
E、F的极线.
AD又是谁的极线？如果找到AD的极，可利用“共线点的极线共点”证明之.
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N
H
F
D
E
A
B
C
P
Q
“共线点的极线共点”
“共点线的极共线”
P
Q
H
——AP的极
——AQ的极
——AN的极
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N
P
Q
条件“BC为直径、H是垂心”有用么？
D
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圆也可以换.
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§5.3 几个典型的几何问题
三、共点线问题
证明三线共点的方法：
1.转化为共线点的问题来证明
2.利用已知的共点线定理（如外心、内心、重心、垂心等）
3.应用Ceva定理
4.利用位似形的性质——对应点连线过位似中心
5.利用射影几何有关定理：德萨格（ Desargues ）定理、布利安双（Brianchon）定理等
6.解析法
☆
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例（牛顿定理）.
求证:圆外切四边形对边切点的连线与对角线四线交于一点.
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习题5.3
4.三圆两两相交，则三条公共弦所在直线平行或交于一点.
O1
O2
O3
P
F2
F1
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习题5.3
8. AB是半圆O的直径，过A、B引弦AC、BD，并过C、D引圆O的切线交于点P.过P作PE⊥AB于E，则AC、BD、PE三线共点.
Q
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已知：AB’∥A’B， AC’∥A’C ，求证： BC’∥B’C.
P
思考题：
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已知：AB’∥A’B， AC’∥A’C ，求证： BC’∥B’C.
A
A’
B’
C’
B
C
P
Q
R
.
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.
.
.
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帕普斯（ Pappus ）定理
思考题：