26.2用函数观点看一元二次方程
1、理解二次函数图像与x轴的交点的个数的情况
学习目标
3.会用一元二次方程解决二次函数图象与x轴的交点问题
2.理解二次函数图像与一元二次方程的根的关系
二次函数
定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。
图象：是一条抛物线。
图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。（2）有对称轴。（3）有顶点（最低点或最高点）。
二次函数y=ax2的图象与二次函数y=ax2+k的图象的关系
二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2的图象向上（或向下）平移得到：
当k＞0时，抛物线y=ax2向上平移k的绝对值个单位，得y=ax2+k
当k＜0时，抛物线y=ax2向下平移k的绝对值个单位，得y=ax2+k
y=2x2
y=2x2-2
y=2x2+2
二次函数y=ax2的图象与二次函数y=a(x-h) 2的图象的关系
二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图象向左（或向右）平移得到：
当h＞0时，抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位，得y=a(x-h) 2
当h＜0时，抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位，得y=a(x-h) 2
二次函数y=ax2的图象与二次函数y=a(x-h) 2+k的图象的关系
二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位,在向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得到.
在对称轴的右侧，即当x ﹥ - 时， y随x的增大而增大。简记左减右增。抛物线有最低点，当x=- 时， y最小值=
二次函数y=ax2+bx+c的性质
当a﹥0时：抛物线开口向上。
对称轴是x=- ,顶点坐标是 （- ， )
当a﹥0时,在对称轴的左侧，即当x＜- 时，y随x的增大而减小；
在对称轴的右侧，即当 x ﹥ - 时， y随x的增大而减小。简记左增右减。抛物线有最高点， 当x=- 时， y最大值=
当a ＜ 0时：抛物线开口向下。
对称轴是x=- ,顶点坐标是(- ， )
在对称轴的左侧，即当x ＜- 时，y随x的增大而增大；
引言
在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题。
　　如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等．
　　利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。
　　本节课，我将和同学们共同研究解决这些问题的方法，探寻其中的奥秘。
复习.
1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由 确定。
＞ 0
= 0
＜ 0
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
b2- 4ac
活动1
2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么
50-20t2= ，如果h=20，那50-20t2= ，
如果h=0，那50-20t2= 。如果要想求t的值，那么我
们可以求 的解。
15
20
0
方程
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系:h= 20 t – 5 t2
考虑下列问题:
(1)球的飞行高度能否达到 15 m ? 若能,需要多少时间?
(2)球的飞行高度能否达到 20 m ? 若能,需要多少时间?
(3)球的飞行高度能否达到 20.5 m ? 若能,需要多少时间?
(4)球从 飞出到落地 要用多少时间 ?
活动2
h=0
0= 20 t – 5 t2
解：（1）解方程15=20t-5t2 即： t2-4t+3=0
t1=1,t2=3
∴当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。
（2）解方程20=20t-5t2 即： t2-4t+4=0
t1=t2=2
∴当球飞行2s时，它的高度为20m。
（3）解方程20.5=20t-5t2 即： t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无解，
∴球的飞行高度达不到20.5m。
（4）解方程0=20t-5t2 即： t2-4t=0
t1=0,t2=4
∴球的飞行0s和4s时，它的高度为0m。即
飞出到落地用了4s 。
你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？
那么为什么只在一个时间求得高度为20m呢？
那么为什么两个时间球的高度为零呢？
那么从上面，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?
一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程。
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程。
自由讨论
练习一：
如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所有的直角坐标系中，求水流的落地点D到A的距离是多少？
解：根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0，
解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去)
答：水流的落地点D到A的距离是5m。
分析：根据图象可知，水流的落地点D的纵坐标为0，横坐标即为落地点D到A的距离。
即：y=0 。
1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1的图象如图所示。
问题2
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗?

(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与
一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
答：2个，1个，0个
边观察边思考
分析
b2 – 4ac ＞0
b2 – 4ac =0
b2 – 4ac ＜0
O
X
Y
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点,则b2-4ac的情况如何。
二次函数与一元二次方程的关系
（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时，函数值为0，因此x=x0就是方程y=ax2+bx+c的一个根
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
情况如何？（b2-4ac如何）
二次函数与一元二次方程
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac= 0
b2 – 4ac< 0
思考：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2-4ac .
≥0
（1）有两个交点
（方程有两个不相等的实数根）
（2）有一个交点
（方程有两个相等的实数根）
（3）没有交点
（方程没有实数根）
练习１.已知抛物线y＝x2－ m x＋m－１.
(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______；
(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______；
(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______。
(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_______.
= 1
＞1
= 2
= 0
２、不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）
　　的值永远为正的条件是____　　　　　__
a>0,△<0
试一试
C
A
练习:看谁算的又快又准。
1.不与x轴相交的抛物线是( )
A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 2x D y=-2(x+1)2 - 3
2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿ 个交点.
3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿＿＿.
D
1
1
16
4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿＿＿,与x轴交于点＿＿＿ ＿.
(0,2)
1.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点＿＿＿＿,与x轴交于点　　　　　　.
2.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿.
归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)
(0,-5)
(5/2,0) (-1,0)
(-2,0) (5/3,0)
(4)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则
一元二次方程ax+bx+c=0的解是 .
X
Y
0
5
2
2
(5)若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是( )
A 无交点 B 只有一个交点
C 有两个交点 D不能确定
C
X1=0，x2=5
5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是
x1=1.3 ,x2=＿＿＿
6.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则
k的取值范围（ ）
-3.3
B
5.根据下列表格的对应值:

判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )
A 3< X < 3.23 B 3.23 < X < 3.24
C 3.24 C
例：已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1
(1)求证：无论m为何值，函数y的图像与x轴总有交点，并指出当m为何值时，只有一个交点。
（2）当m为何值时，函数y的图像经过原点。
（3）指出（2）的图像中，使y＜0时， x的取值范围及使y＞0时， x的取值范围
例2：王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线 ，其中y（m）是球的飞行高度,x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．
（1）请写出抛物线的开口方向、
顶点坐标、对称轴．
（2）请求出球飞行
的最大水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．
●请你把这节课你学到了东西告诉你的同
桌，然后告诉老师？
二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解
讨
论
这节课应有以下内容：
走近中考
1.已知函数 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
D
2.抛物线 与轴只有一个公共点，则m的值为 ．
8
3.如图，抛物线 的对称轴是直线 且经过点（3，0），则 的值为( )
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
A
4.二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程 的两个根
（2）写出不等式 的解集．
（3）写出y随x的增大而减小的自变量的取值范围．
（4）若方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围．
3
2
体会两种思想：
数形结合思想
弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系
分类讨论思想
结束寄语
时间是一个常数,但对勤奋者来说,是一个“变数”.
用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍.
练习
C
A
5.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线

（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。
的一部分，如图
解（1） =
∵
∴函数的最大值是

答：演员弹跳的最大高度是
米
（2）当x＝4时，
＝3.4＝BC，所以这次表演成功。
作业
课本：p23页 复习巩固 第1题 拓展探索 第6题
选做题：如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线
y＝－x2＋3.5运行，然后准确落人篮框内。已知篮框的
中心离地面的距离为3.05米。
(1)球在空中运行的最大高度为多少米?
(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面
的高度为2.25米，请问他距离篮框中
心的水平距离是多少?