3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
三种函数模型的性质
增函数
增函数
增函数
y轴平行
x轴平行
越来越快
越来越慢
ax>xn>logax
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.( )
(2)当a＞1，n＞0时，在区间(0,+∞)上，对任意的x，总有logax＜xn＜ax成立.( )
(3)能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a＞0,b＞1)表达的函数模型,称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数.( )
提示：(1)错误.由图象可知.y=2x的增长速度远远快于y=x2的增长速度.
(2)错误.不是对于任意的x成立，但总存在x0，使得当a＞1，n＞0，x＞x0时，logax＜xn＜ax成立.
(3)正确.指数型函数模型是能用指数型函数f(x)=abx+c (a,b,c为常数,a＞0,b＞1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.
答案：(1)× (2)× (3)√
【知识点拨】
1.三类函数模型的增长差异
(1)对于幂函数y=xn,当x＞0，n＞0时，y=xn才是增函数，当n越大时,增长速度越快.
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y=x对称，从而可知，当a越大时，y=ax增长越快；当a越小时，y=logax(a＞1)增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0,
a＞1).
(3)指数函数与幂函数，当x＞0,n＞0,a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是“爆炸型”函数,当x大于某一个确定值x0后,就一定有ax＞xn.
2.由增长速度确定函数模型的技巧
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.
(2)增长速度最快即呈现“爆炸”式增长的函数模型应该是指数型函数模型.
(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.
(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.
类型 一 函数模型的增长差异
【典型例题】
1.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A.y＝50x B.y＝x50
C.y＝50x D.y＝log50x(x∈N*)
2.研究函数y=0.5ex-2,y=ln(x+1),y=x2-1在［0,+∞)上的增长情况.
【解题探究】1.处理函数模型增长速度差异问题的关键是什么？
2.对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？
探究提示：
1.是确定变量间的关系, 不能仅仅根据自变量较大时对应的函数值比较,还要看函数的变化趋势.
2.对数函数模型变化规律是先快后慢,增长速度比较平缓,指数函数模型变化规律是先慢后快,增长速度急剧上升.
【解析】1.选C.由于指数函数的增长是爆炸式的，所以当x越来越大时，函数y=50x增长速度最快．故选C.
2.分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象(如图),从图象
上可以看出函数y=0.5ex-2的图象首先超过了函数y=ln(x+1)
的图象,然后又超过了y=x2-1的图象,即存在一个x0满足
当x＞x0时,
ln(x+1)【拓展提升】三种函数模型的表达形式及其增长特点
(1)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a＞0,b＞1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.
(2)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,x＞0,a＞1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.
(3)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.
【变式训练】若x∈(0,1)，试分析三个函数模型y=2x，
y=lgx的增长差异，用“＞”把它们的取值大小关系连接起来
为______.
【解题指南】关键看在(0,1)上它们的大小关系，可借助中间
值“0”与“1”比较.
【解析】当x∈(0,1)时，2x＞1,1＞ ＞0,
lgx＜0,所以2x＞ ＞lgx.
答案：2x＞ ＞lgx
类型 二 图象信息迁移题
【典型例题】
1.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点
2.如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：
(1)通话2分钟，需付电话费______元.
(2)通话5分钟，需付电话费______元.
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时
间t(分钟)之间的函数关系式为______.
【解题探究】1.路程和时间存在着何种关系？当路程一定
时，时间和速度有何关系？
2.通过观察题2的图象可以确定此函数是什么函数?
探究提示：
1.路程和时间的关系为s=vt，当路程一定时，时间和速度的
关系为 成反比例关系.
2.由题2图象可以看出对应的函数为分段函数.
【解析】1.选D.从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(s0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．
2.(1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元.
(2)由图象可知，当t=5时，y=6，需付电话费6元.
(3)当t≥3时，y关于t的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和
(5,6)两点，故设函数关系式为y=kt+b，
则 解得
故电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为y=1.2t(t≥3).
答案：(1)3.6 (2)6 (3)y=1.2t(t≥3)
【互动探究】题2中的已知条件不变，若通话费用为4.5元，则通话时间是多少？
【解析】由题2的解析结合图象可知，当y=4.5元时，通话时间超过3分钟，故电话费与时间满足函数关系式y=1.2t(t≥3),∴4.5=1.2t,∴t=3.75(分钟).
故若通话费用为4.5元时，通话时间为3.75分钟.
【拓展提升】
1.图象信息题的解答策略
(1)明确横轴、纵轴的意义，分析题中的具体含义．
(2)从图象形状上判定函数模型.
(3)抓住特殊点的实际意义，特殊点一般包括最高点(最大值点)、最低点(最小值点)及折线的拐角点等.
(4)通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题.
2.确定分段函数的解析式的注意事项
(1)首先读懂题目所给的函数图象,借助图象处理问题.
(2)明确函数的自变量的取值范围，即分段的自变量的关键点.
(3)各个段中所对应的函数解析式是何种函数式，是一次、二次函数还是其他基本函数.
类型 三 方案选择问题
【典型例题】
1.某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用( )
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
2.学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)能使完成全部任务最快？
【解题探究】1.对数型函数的增长有何特点？
2.解答应用题的关键是什么？
探究提示：
1.先快速增长，后来越来越慢.
2.解应用题的关键是建模，通过对已知条件的综合分析，归纳抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的类型.
【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意；二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数型函数是“爆炸式”增长，不符合“增长越来越慢”，因此，只有对数型函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢.
2.设x名工人制课桌，(30－x)名工人制椅子，一个工人在一
个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，
∴制作100张课桌所需时间为函数 制作200把椅子所需
时间为函数 完成全部任务所需的时间f(x)为P(x)
与Q(x)中的较大值．欲使完成任务最快，需使P(x)与Q(x)尽可能
接近(或相等)．令P(x)＝Q(x)，即
解得x＝12.5，∵x∈N，考察x＝12和13的情形,有P(12)≈1.19，
Q(12)≈1.111，P(13)≈1.099，Q(13)≈1.176.
∴f(12)＝1.19，f(13)＝1.176，∵f(12)>f(13)，∴x＝13时，f(x)取最小值，∴用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．
【拓展提升】解函数应用题的四个步骤
第一步:阅读、理解题意,认真审题.
读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化.
第二步:引进数学符号,建立数学模型.
一般地，设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型.
第三步:利用数学方法解答得到的常规数学问题(即数学模型),求得结果.
第四步:再转译成具体问题作出解答.
【变式训练】某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )
A.B,A,C B.A,C,B
C.A,B,C D.C,A,B
【解析】选B.A种债券的收益是每100元收益3元；B种债券的利
率为 所以100元一年到期的本息和为
收益为5.68元；C种债券的利率
为 100元一年到期的本息和为
收益为3.09元．
【易错误区】比较大小时错用图象致误
【典例】(2012·南充高一检测)已知函数f(x)=2x和g(x)=x3,在同一坐标系下作出它们的图象,结合图象比较f(8),g(8),f(2013)，g(2013)的大小为______.
【解析】列表为：

描点、连线，得如图所示图象：
则函数f(x)=2x对应的图象为C2,函数g(x)=x3对应的图象为C1①,
∵g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,
f(9)=512,g(10)=1 000,f(10)=1 024,
∴f(1)＞g(1),f(2)＜g(2),f(9)＜g(9),f(10)＞g(10)，
∴1＜x1＜2,9＜x2＜10,∴x1＜8＜x2＜2013.
从图象上知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x),
当x＞x2时，f(x)＞g(x),且g(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(2 013)＞g(2 013)＞g(8)＞f(8).
答案： f(2 013)＞g(2 013)＞g(8)＞f(8)
【类题试解】已知16＜x＜20，利用图象可判断出 和log2x
的大小关系为_______.
【解析】作出f(x)= 和g(x)=log2x的图象,如图所示:

由图象可知:在(0,4)内, ＞log2x; x=4或x=16时, =log2x;
在(4,16)内 ＜log2x;在(16,20)内 ＞log2x.
答案： ＞log2x
【误区警示】
【防范措施】
1.函数图象的掌握
对于一些基本的初等函数的图象，要掌握好图象的最基本的特征，能够分辨出各函数对应的图象的差别.如本例中主要是指数函数和幂函数图象的区别，只要把握好指数函数的图象呈指数爆炸增长，增长速度快，就好区别.
2.函数值的大小比较
在比较函数值的大小时，结合函数图象的特征，利用数形结合的思想来判断.如本例中判断出1＜x1＜2,9＜x2＜10，从而得出x1＜8＜x2＜2 013，这样结合函数的单调性从而判断出f(8),g(8),f(2 013)，g(2 013)的大小.
1.对于函数f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x，当x∈(4,+∞)时，三个函数的增长速度的比较，下列选项中正确的是( )
A.f(x)＞g(x)＞h(x) B.g(x)＞f(x)＞h(x)
C.g(x)＞h(x)＞f(x) D.f(x)＞h(x)＞g(x)
【解析】选B.对幂函数、指数函数、对数函数增长速度的比较：直线上升、指数爆炸、对数增长,故当x∈(4,+∞)时,
h(x)＜f(x)＜g(x).
2.某厂原来月产量为a，1月份增产10%，2月份比1月份减产
10%，设2月份产量为b，则( )
A.a=b B.a＞b
C.a＜b D.无法比较a,b的大小
【解析】选B.∵b=a(1+10%)(1-10%)，
∴b=a(1- ),∴a＞b.故选B.
3.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y=f(x)，另一种是平均价格曲线y=g(x)，如f(2)=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y=f(x)，虚线表示y=g(x)，其中最有可能正确的是( )
【解析】选C.即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A,D；即时价格若一直上升，则平均价格也应一直上升，排除B.(也可以由x从0开始增大时，f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点，排除A,D)，故选C.
4.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律
为y=ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝______，经过5小时，1个病毒能繁殖为______个．
【解析】当t＝0.5时，y＝2，
∴
∴k=2ln2，∴y=e2tln2，当t＝5时，
∴y=210＝1 024.
答案：2ln2 1 024
5．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格比较，变化情况是______．
【解析】设原来商品价格为1个单位，则
1×(1＋20%)2×(1－20%)2＝0.9216＝92.16%，
∴减少了7.84%.
答案：减少了7.84%
6.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料质量
Mkg、火箭(除燃料外)质量mkg的关系是v=2000ln(1+ )，则当
燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12km/s？
【解析】依题意知2000ln(1+ )=12000，
∴ln(1+ )=6,1+ =e6,故 =e6-1.
故当燃料质量是火箭质量的e6-1倍时,火箭的最大速度可达
12km/s.