学点一
学点二
学点三
学点四
1.在区间(0,+∞)上，函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是 （填“增”或“减”）函数，但它们的 不同，而且不在同一个“档次”上.
2.随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越 ，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，表现为指数爆炸.
3.随着x的增大，y=logax(a>1)的增长速度会越来越 .
4.随着x的增大，y=ax(a>1)的图象逐渐表现为与y轴 ，而y=logax(a>1)的图象逐渐表现为与x轴 .
5.当a>1,n>0时，总会存在一个x0,当x>x0时，有 .
6.当0x0时，有 .
增
增长速度
快
慢
平行一样
平行一样
ax>xn>logax
logax学点一 幂、指、对数函数模型的区别
如表所示三个变量y1,y2,y3,y4随x的变化，数据如下表，试根据此表作出函数的大致图象，并判别上升的函数模型.
【分析】本题考查描点、画图，幂、指、对数函数的图象及幂、指、对数函数的增长速度.
【解析】作出四个变量的变换图象大致如图所示：
由图象知y1呈指数型增长
趋势;y2呈对数型增长趋
势;y3呈二次函数型增长
趋势;y4呈直线型增长趋势.
【评析】根据表格或图象辨别函数增长模型，一要注意所给的数据变换速度，二要注意各类增长函数模型特征，对号入座.
如下表，y随x变化关系如下：
则y随x呈 增长.
呈指数型
（根据表格作出函数的大致图象，可知y随x呈指数型增长趋势.）
学点二 递境率问题
按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算6期后本利和是多少？
【分析】复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期的利息.
【解析】1期后的本利和为y1=a+a×r=a×(1+r);
2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)·r=a(1+r)2;
3期后的本利和为y3=a(1+r)2+a(1+r)2·r=a(1+r)3；
… …
x期后的本利和为y=a(1+r)x.
将a=1 000，r=2.25%，x=6代入上式，得
y=1 000×(1+2.25%)6=1 000×1.02256,
由计算器算得y≈1142.83（元）.
答：本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x，6期后的本利和为1142.83元.
【评析】此题模型为指数函数模型,在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为N,平均增长率为P,那么对于时间x的总产值y=N×(1+P)x,解决平均增长率的问题,要用到这个函数关系式,它可以作为公式用.
银行的定期存款中，存期为1年、2年、3年、5年的年利率分别为2.25%,2.43%,2.70%,2.88%，现将1 000元人民币存入银行，求:应怎样存取以使5年后得到的本金和利息总和最大？
存5年共有6种存款方式：
（1）一次性存入5年，本金和利息的总和为1 000+5×1 000×2.88%=1 144（元）；
（2）存一个三年，再存一个两年(1 000+3×1 000×2.70%)(1+2×2.43%)=1 133.54(元)；
（3）存一个三年，再存两个一年1 000(1+3×2.70%)(1+2.25%)2=1 130.19(元)；
（4）存两个两年，再存一个一年
1 000(1+2×2.43%)2(1+2.25%)=1 124.30（元）；
（5）存一个两年，再存三个一年
1 000(1+2×2.43%)(1+2.25%)3=1 120.99（元）；
（6）存五个一年1 000(1+2.25%)5=1 117.68（元）.
答：一次性存入5年本金和利息的总和最大.
【分析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定后的函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.
学点三 产量产值问题
【解析】由题知A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).
（1）设模拟函数为y=ax+b，将B，C两点的坐标代入函数式，有 3a+b=1.3 a=0.1
2a+b=1.2, b=1,
此法的结论是在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的.
（2）设y=ax2+bx+c,将A，B，C三点代入，有
a+b+c=1 a=-0.05
4a+2b+c=1.2 b=0.35
9a+3b+c=1.3 c=0.7.
解得所以y=-0.05x2+0.35x+0.7.
由此法计算4月的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降（图象开口向下，对称轴x=3.5）,不合实际.
（3）设y=a +b.将A，B两点的坐标代入，有
a+b=1 a=0.48
2a+b=1.2， b=0.52.
∴y=0.48 +0.52.
以x=3和4代入，分别得到y=1.35和1.48，与实际产量差距较大.
随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此，选用y=-0.8·0.5x+1.4模拟比较接近客观实际.
【评析】本大题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与具体实际结合起来.
某工厂1998年生产某种产品2万件,计划从1999年开始,每年的产量比上一年增长20%,求:从哪一年开始,这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件?(已知lg2≈0.301 0,lg3≈0.477 1)
设过x年后，产量超过12万件，
依题意得年产量y=2(1+20%)x,
则有2(1+20%)x>12，解得x>9.84.
答：从2008年开始年产量可超过12万件.
学点四 分段函数模型
某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为
5t- t2(万元).
(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;
(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?
【分析】利润=销售民入-总的成本,由于本题的销量只能为500件,但生产的产品数量却不一定,所以确定为分段函数模型.
【解析】(1)当05时,产品只能售出500件.

即
(2)当0∴当x=4.75（百件）时,f(x)有最大值,f(x)max=10.78125(万元).
当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元),
∴当年产量为475件时,利润最大.
【评析】分段函数的最值的求法:先求出每一段,即在不同的定义域范围之内函数的最值情况,然后比较哪一个最大取哪一个.
某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用见表：
该市煤气收费的方法：
煤气费=基本费+超额费+保险费.
若每月用量不超过最低限度Am3，只付基本费3元和每户每月的定额保险C元；若用气量超过Am3，超过部分每立方米付B元.又知保险费C不超过5元，求A，B，C的值.
④-③得B=0.5，代入③得
A=2C+3 ⑤
再分析一月份的用气量是否超过最低限度，不妨设A<4，将x=4代入②，得
3+0.5［4-(3+2C)］+C=4,
3.5-C+C=4,3.5=4矛盾.
∴A≥4，一月份付款方式选①.
∴3+C=4,即C=1代入⑤得A=5.
∴A=5，B=0.5,C=1.
1.数学建模的常见形式有哪几种？
数学建模中常见的形式有两种：机理模型、拟合模型.
（1）机理模型
对于一个实际问题，如果在建模过程中我们的注意力集中在使用数学语言描述问题中的主要因素之间的相互联系制约的关系，这样构建出来的模型称之为机理模型.这一类模型描述的是实际问题中主要因素间相互作用的机理，通过对模型进行数学分析，使人们比较容易加深对所研究的实际问题的认识.因此，机理模型是相当广泛的一类数学模型.
（2）拟合模型我们知道，数据是从实际问题中直接观测得到的，它包含有与问题相关的大量信息，如果我们面临的问题比较复杂，不能通过适当的假设来发现问题中的主要因素及其相互作用的机理时，数据资料往往能够为我们寻找所讨论的问题中有关
变量的关系给出很好的提示.我们称直接从拟合数据资料出发组建的数学模型为拟合模型.由于组建模型缺乏有关因素之间作用机制的细致讨论，模型的使用和分析的深度受到了限制.一般来说，这类模型会告诉我们可能会发生什么情况，但无法说清楚为什么会是这样.
2.常见的机理模型有哪些？
（1）平均增长率问题：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的产值或产量为y=N(1+p)x.
（2）储蓄中的复利问题：如果本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，则y=a(1+r)x.
（3）根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系，灌溉渠的横截面面积A和水深h的函数关系.
（4）通过观察、实验建立的函数关系，如自由落体的距离公式等.
3.正确地建立数学模型需把握的环节有哪些？
正确地建立数学模型，需把握好以下几个环节：
第一个环节：阅读理解、认真审题
读懂题意是关键，要像阅读语文一样，弄清楚整个题目有几层意思，每层意思是什么，要解决什么问题，要做到由表及里，去粗取精，从字里行间中收集有用信息，明确题目中所展现的数量关系、位置关系、对应关系等.
第二个环节：建立数学模型
在第一个环节的基础上，运用已学的数学知识、物理知识及其他知识建立函数关系式，将实际问题数学化（注意定义域）.
第三个环节：利用所学的函数知识，结合题目要求，讨论数学模型的性质，获得数学模型的解.
第四个环节：根据数学模型的解，结合实际问题的实际意义，给出实际问题的解.
认真读懂题目中的文字叙述.一般的实际问题的叙述都比较长，需要逐字逐句地看懂，理解叙述所包含的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，分析出已知什么，求什么，都涉及哪些知识，确立自变量与函数值的关系，尝试问题的函数化，要勇于尝试、探索，善于发现、归纳、联想，将实际问题概括为数学问题，并加以解决.
祝同学们学习上天天有进步！