第三章 函数的应用
几类不同增长的函数模型
3.2.1
1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番。1950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加
到了五亿只，这个国家绝大部分
地区的庄稼或草地都遭到了极大
损失。绝望之中，人们从巴西引
入了多发黏液瘤病，以对付迅速
繁殖的兔子。整个20世纪中期，
澳大利亚的灭兔行动从未停止过。
“指数爆炸”模型
生态故事：“一群兔子引发的危机”
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供
你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案呢？
投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优.
(1)比较三种方案每天回报量；
(2)比较三种方案一段时间内的累计回报量.
我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。
解：设第x天所得回报为y元，则
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报
10元。函数关系为y=10x (x∈N*)；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天
翻一番。函数关系为y=0.4×2x-1 (x∈N*)。
分析：
方案一：每天回报40元。函数关系为y=40 (x∈N*) ；
我们来计算三种方案所得回报的增长情况：
10
10
10
10
10
10
10
10
…
10
0
0
0
0
0
0
0
0
…
0
0.4
0.8
1.6
3.2
6.4
12.8
25.6
51.2
…
107374182.4
下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长
我们看到，底数为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？
三个函数的图象
投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；
投资8~10天，应选择方案二；
投资11天(含11天)以上，应选择方案三。
累计回报表
除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑回报的累积值.你能把前11天回报的累积值算出来吗?
根据以上分析,你认为该作出何种选择?
结论
由例1得到 解决实际问题的步骤：
实际问题
读懂问题
抽象概括
数学问题
演算
推理
数学问题的解
还原说明
实际问题的解
解决
某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
本题中涉及了哪几类函数模型?实质是什么?
本例涉及了一次函数、对数函数、指数函数三类函数模型,实质是比较三个函数的增长情况。
思考
例2
思考 怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公司的要求呢?
要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元,以及奖励比例是否超过25%进行分析,才能做出正确选择。
由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润。于是只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司的要求即可。
借助计算机作出三个函数的图象
三个函数的图象如下
可以看到：在区间[10,1000]上只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方
对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增，当x=20时， y=5 ，因此x∈(20,1000)时，y>5，因此该模型不符合要求。
对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0 =5，由于它在[10,1000]上递增，因此当x>x0时，y>5，因此该模型也不符合要求。
通过计算确认上述判断
(1) 由函数图象可以看出，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金不超过5万元的要求。
对于模型y=log7x+1
令 f(x)= log7x+1-0.25x，x∈[10,1000].利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此
f(x) ≤f(10) ≈-0.3167<0,
即 log7x+1<0.25x
综上所述，模型y=log7x+1确实能符合公司要求.
第二课时

1.由表格数据观察三者的增长速度。
2.由图象观察三者的增长速度。
以三个函数为例探究三类函数的增长差异：
函数y=2x，y=2x，y=x2，y=log2x的函数值表:
函数y=2x，y=2x，y=x2，y=log2x的图象
结论1：
一般地，对于指数函数y=ax (a>1)和幂函数y=xn (n>0)，通过探索可以发现：
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
结论2：
一般地，对于指数函数y=logax (a>1)和幂函数y=xn (n>0)，通过探索可以发现：
在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管在x的一定范围内， logax可能会小xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax综上所述：
(1) 在区间(0,+∞)上，y=ax (a>1)，y=logax (a>1)和y=xn (n>0)都是增函数。
(2) 随着x的增大， y=ax (a>1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn (n>0)的增长速度。
(3) 随着x的增大，y=logax (a>1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn (n>0)的增长速度。
总存在一个x0，当x>x0时，就有:
logax实际
问题
读懂
问题
将问题
抽象化
数学
模型
解决
问题
基础
过程
关键
目的
几种常见函数的增长情况：
小结
1.当x越来越大时，增长速度最快的是( )
D
2.一次实验中，x,y函数关系与下列哪类函数最接近( )
A
3.一次实验中，x,y函数关系与下列哪类函数最接近( )
C
C
A
几种常见函数的增长情况：
没有增长
直线上升
指数爆炸
“慢速”增长
解决实际问题的步骤：
实际问题
读懂问题
抽象概括
数学问题
数学问题的解
还原说明
实际问题的解
演算
推理