（一）
3.2.1几类不同增长的函数模型
【教学重点】
【教学目标】
【教学难点】
课程目标
【教学手段】
多媒体电脑与投影仪
将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
怎样选择数学模型分析解决实际问题.
借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对指数函数，对数函数以及幂函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；
结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
问题情景
问题情景
假如某公司每天向你投资10万元,共投资30天.公司要求你给他的回报是:第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天,你认为这样的交易对你有利吗？
阅读课本95 ～97页例1，边阅读边思考下面的问题：
【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案？
在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？
构建数学
探究一
投资天数、回报金额
解:设第x天所得回报是 y元，则
方案一：
方案二：
方案三：
在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？
探究一
上述的三个数学模型,第一个是常数函数,另两个都是递增的函数模型,你如何对三个方案作出选择？
方法1:我们来计算三种方案所得回报的增长情况：
探究二
请同学们对函数增长情况进行分析,方法是列表观察或作出图象观察.
根据表格中所提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
三种方案每天回报表
底数为2 的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的函数有什么新的理解？
你能通过图象描述一下三种方案的特点吗？
方法2：我们来作出三种方案的三个函数的图象：
结论: ①投资1~6天,应选择方案一;
②投资7天,应选择方案一或二;
③投资8~10天,应选择方案二;
④投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.
回报
天数
方案
☞累计回报表：
方案一
方案二
方案三
你30天内给公司的回报为:
0.01+0.01×2+0.01×22+ … +0.01×229
300万元
解答:公司30天内为你的总投资为:
情景问题解答
假如某公司每天向你投资10万元,共投资30天.公司要求你给他的回报是:第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天,你认为这样的交易对你有利吗？
=10737418.23≈1074(万元).
1074-300=774 (万元).
实际应用问题
分析、联想
抽象、转化
构建数学模型
解答数学问题
审 题
数学化
寻找解题思路
还原
(设)
(列)
(解)
(答)
★ 解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程,建立函数模型的程序大概如下：
【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？
本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的实质是什么？
············· 一次函数模型
实质:分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，就是比较三个函数的增长情况．
y=0.25x
y=log7 x +1,
············· 对数函数模型
············· 指数函数模型
y=1.002x
探究一
①销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励,且部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元,所以销售利润x可用不等式表示为____________.
③依据这个模型进行奖励时,奖金不超过利润的25%,所以奖金y可用不等式表示为___________.
②依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元,所以奖金y可用不等式表示为_________.
10≤x≤1000
0≤y≤5
0≤y≤25%x
你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?
探究二
你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？
奖励模型符合公司要求就是依据这个模型进行奖励时,符合条件：
(1)奖金总数不超过5万元；
(2)奖金不超过利润的25%.
因此,在区间[10,1000]上,不妨作出三个函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到初步的结论,再通过具体计算确认结果.
探究三
400
600
800
1000
1200
200
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
o
y=5
y=0.25x
探究四
通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？
探究四
通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？
①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,
当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;
探究四
通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？
②对于模型y=1.002x,它在区间[10,1000]上递增, 观察图象并结合计算可知,当x>806时,y>5,因此该模型不符合要求.
探究四
通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？
③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x=1000时,
y=log71000+1≈4.55<5,
所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？
解:当x∈[10,1000]时, 要使y≤0.25x成立,
令f(x)= log7x+1-0.25x,当x∈[10,1000]时是否有f(x) ≤0恒成立?
即当x∈[10,1000]时,f(x)= log7x+1－0.25x的
图象是否在x轴下方?
作f(x)= log7x+1-0.25x的图象如下：
只需log7x+1≤0.25x 成立，
即log7x+1-0.25x ≤0.
探究五
根据图象观察, f(x)=log7x+1-0.25x的图象在区间[10,1000]内的确在x轴的下方.
这说明,按模型y=log7x+1奖励,奖金不会超过利润的25%.
由图象知 f(x) 在[10,1000]上为减函数.
说明当x∈[10,1000]时,有
.
另解:作出f(x)的图象(利用计算机).
综上按对数函数模型奖励符合公司提出的要求.
按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？
探究五
即奖金不会超过利润的25%.
从以上两个例子，我们看到对数函数，指数函数和幂函数在第一区间的增长是有差异的，下面用几何画板来观察它们的差异．
探究六
问题情景
对数函数y=logax (a>1),幂函数y=xn (n>0)与指数函数y = ax (a >1)在区间(0,+∞)上都是增函数,但它们的增长是有差异的.那么这种差异的具体情况到底是怎样呢?
以函数y = 2x , y=log2x , y=x2为例.
探究一
制作函数值表(借助计算器制表).
观察表格,三个函数的增长速度是不同的.
总体来讲随着x的增大, y=log2x的增长速度最慢; y = 2x和y=x2的增长速度有变化,一开始, y = 2x的增长速度快,后来y=x2增长速度快.
y=log2x
y=x2
y = 2x
探究一
画函数图象(描点或借助计算机作图).
观察图象可以看出:三个函数的增长速度是不同的,你能根据图象分别标出不等式log2x<2x(1) 0< x< 2或x>4时,
(2) 2< x < 4时,
2
4
问题(1)如何求函数 在(0,+∞)的零点?
观察函数y = 2x 与 y=x2之间的增长情况
探究二
观察函数y = 2x 与 y=x2之间的增长情况
从函数图象可以看出,y=2x与y=x2的图象有两个交点,表明2x与x2在自变量的不同的区间有不同的大小关系,有时2x>x2,有时2x问题(2)观察图象,试求出可使下列不等式成立的x的取值范围.
(1)04时,
(2)2探究二
答:在区间(0,+∞)上,尽管对数函数y=logax (a>1),指数函数y = ax (a >1)与幂函数y=xn (n>0) 都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.
随着x的增大, y = ax (a >1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn (n>0)的增长速度,而y=logax (a>1)的增长速度则会越来越慢.因此总存在一个x0,
当 x >x0时,就会有
3. 幂函数，指数函数，对数函数增长速度的一般结论
结论1: 的增长快于 的增长，所以存在一个 ，使x> 时,有 > .
结论2: 的增长快于 的增长，所以存在一个 ，使x> 时,有 > .
结论3：在区间（0，+∞）上，函数 (a>1）
（a>1), (n>0)都是增函数，
但它们的增长速度不同。随着x的增大
(a>1） 的增长速度越来越快，远远大于
（n>0) 的增长速度，而 (a>1)的
增长速度则越来越慢，因此，会存在一个 ，当
时，有
探究①以函数 为例.
思考:你能用同样的方法,讨论函数y=logax(0结论:在区间(0,+∞)上,尽管对数函数y=logax (0随着x的增大, y=logax (0当 x >x0时,就会有
3.你能用同样的方法,讨论函数y=logax(0【1】四个变量y1, y2, y3, y4随变量x变化的数据如下表：
1.005
1.0151
1.0461
1.1407
1.4295
2.3107
5
155
130
105
80
55
30
5
33733
1758.2
94.478
5
4505
3130
2005
1130
505
130
5
30
25
20
15
10
5
0
关于x呈指数型函数变化的变量是________.
(练习P.981)
练一练
练一练
【2】某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机.现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？(练习P.982)
2.答案:第5轮病毒发作时最多会有160万台被感染．
练习P.981，2
1.答案：y2
练一练
课堂小结
确定函数模型
利用数据表格、函数图象讨论模型
体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义
布置作业
(1)课本P.39A 5
(2)学案P.27-28
P.39Ｂ 2
探究创新
再见
例2、

探究：公司有哪些要求，你能用
数学语言表达出来吗？
所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。
对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%
一方面：
另一方面：
1．一个法国的儿童谜语说：假定你有一个生长着一朵水百合花的池塘。这种百合属植物体积每天按2倍速度生长。如 果允许这种百合属植物不受限制地生长，在30天里就会完全覆 盖住这个池塘，闷死水中的其他生命形式。究竟要 天它覆盖住这池塘的一半？
2．在同一个平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较他们的增长情况。
练习
29
这节课你学到了什么？