3．2.1　几类不同增长的函数模型
目 标 要 求
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．
2．理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义．
3．会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．
4．培养对数学模型的应用意识.
热 点 提 示　　
学习本节内容时，应充分利用计算器或计算机等工具作出一些特殊的指数函数、对数函数的图象，利用图象的形象直观得到这几类函数图象的增长规律，进而归纳总结出一般规律．熟练掌握这一规律后，还应注意灵活地运用它在实际问题中建立函数模型.
1．三种函数模型的性质
2.函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)增长速度的对比：
(1)对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有logax●想一想：当0提示：如下图所示：

对于函数y＝ax(0x0时，就有logax解析：指数函数模型增长速度最快，故选C.
答案：C
2.右图所示的曲线反映的是下列哪种函数的增长趋势？(　　)
A．一次函数
B．幂函数
C．对数函数
D．指数函数
答案：C
3．三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表：
则关于x分别呈对数函数，指数函数，幂函数变化的变量依次为(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
解析：通过指数函数，对数函数，幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知：对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.
答案：C
4．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．
解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.
答案：y1
5．下面给出几种函数随x取值而得到的函数值列表：
问(1)各函数随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长的快慢有什么不同？
解：(1)随着x的增长，各函数的函数值都增大．
(2)y＝2x开始增长的速度较慢，但随着x的增大，y增长速度越来越快；y＝x2增长速度平衡；y＝log2x开始增长速度稍快，但随x增大，y增长速度越来越慢．
类型一　　　　线性函数模型应用题
【例1】　为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示．

(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
(2)请帮助用户计算：在一个月(30天)内使用哪种卡便宜？
思路分析：由题目可知函数模型为直线型，可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．
温馨提示：函数的图象是表示函数的三种方法之一，正确识图、用图、译图是解决函数应用题的基本技能和要求．本题由于过原点的直线是正比例函数图象，因此运用了待定系数法求得一次函数解析式，然后利用函数解析式解决了实际问题．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．

本题关键是能根据实际情况，建立一次函数的数学模型，再利用方程或不等式使问题得以解决．
1　某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，现从甲、乙两商场了解到：同一类型餐桌报价每张200元，餐椅报价每把50元．甲商场称：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌椅均按报价的8.5折销售．那么，什么情况下到甲商场购买更优惠？
类型二　　　　二次函数模型应用题
【例2】　养鱼场中鱼群的最大养殖量为m t，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y t和实际养殖量x t与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
思路分析：由题意写出函数关系式，利用配方法求得最大值，列不等式求k的范围．
温馨提示：这是一道二次函数的应用题，同时考查了正比例函数(一次函数)．本题中“最大养殖量”、“空闲量”、“空闲率”这些临时定义，使本题理解难度加大，因此，要通过多遍审题和分析关系理解好这些词汇，再找未知量之间的关系．

在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题．
类型三　　　　指数函数、对数函数模型应用题
【例3】　1999年1月6日，我国的第13亿个小公民在北京诞生，若今后能将人口年平均递增率控制在1%，经过x年后，我国人口数字为y(亿)．
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增减有什么实际意义．
思路分析：递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决这类问题是中等数学的重要应用方向之一．这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义：递增率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的值比较．具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概括为数学问题后求解．
解：(1)1999年人口数：13亿．
经过1年，2000年人口数：13＋13×1%＝13(1＋1%)(亿)．
经过2年，2001年人口数：13(1＋1%)＋13(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2(亿)．
经过3年，2002年人口数：13(1＋1%)2＋13(1＋1%)2×1%
＝13(1＋1%)3(亿)．
∴经过年数与(1＋1%)的指数相同，
∴经过x年人口数：13(1＋1%)x(亿)．
∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x.
(2)理论上指数函数定义域为R.
∵此问题以年作为单位时间，∴N*是此函数的定义域．
(3)y＝f(x)＝13(1＋1%)x是指数函数，
∵1＋1%>1,13>0，
∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x是增函数，
即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．
温馨提示：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础为N，平均增长率为p，则对于时间x的产值y，可以用下面的公式y＝N(1＋p)x表示，解决平均增长率的问题，要用到这个函数式．
递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决这类问题是中学数学的重要应用方向之一，这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义：递增率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的值比较．具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概括为数学问题，然后，求解此数学问题．
类型四　　　　不同函数模型增长趋势的比较
【例4】　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如下图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1
(1)请指出右图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2010)，g(2010)的大小．
思路分析：(1)随着自变量x的增大，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3.
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)>g(1)，f(2)g(10)，∴1x2.
从图象上可以看出，
当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，
∴f(2010)>g(2010)．
又∵g(2010)>g(6)，
∴f(2010)>g(2010)>g(6)>f(6)．
温馨提示：由指数函数、对数函数、幂函数的增长差异可以很容易地判断出哪个是指数函数的图象，哪个是幂函数的图象．解决此类题型的关键是了解“指数爆炸”、“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的．

根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数．
4　函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如下图所示．

(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.
(2)当xf(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)．
1．增长规律
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax2．我们学过的基本初等函数有一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数．
(1)基本初等函数的图象
(2)随着x的增大，一次函数y＝kx＋b(k>0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logax(a>1)、幂函数y＝xn(n>0)的变化及相应增量规律：
①直线型均匀上升，增量恒定；②指数型急剧上升，增量快速增大；③对数型缓慢上升，增量逐渐减少；④幂函数型虽上升较快，但随着x的不断增大，上升趋势远不如指数型，几乎有些微不足道，其增量缓慢递增．
一般简述为：直线上升、指数爆炸、对数函数逐渐增长、幂函数缓慢增长．当然常数型无增长．
《绿色通道》