向心加速度
一、感受圆周运动的向心加速度
1.圆周运动必有加速度:圆周运动是_____运动,_____运动必
有加速度。
2.匀速圆周运动的加速度方向:
变速
变速
太阳中心
圆心
圆心
圆心
【自我思悟】
1.匀速圆周运动和匀速直线运动的相同点和不同点是什么?
提示:相同点:速度的大小不变。不同点:前者速度的方向时刻变化,后者不变;前者具有加速度,后者没有加速度。
2.圆周运动的向心加速度为什么指向圆心?
提示:多个实例证明匀速圆周运动的合外力指向圆心,由牛顿第二定律知其加速度(即向心加速度)也指向圆心。
二、向心加速度
1.定义:做匀速圆周运动的物体具有的指向_____的加速度。
2.大小:(1)an= ;(2)an=____。
3.方向:沿半径方向指向_____,与线速度方向_____。
ω2r
圆心
垂直
圆心
【自我思悟】
1.地球在不停地公转和自转,关于地球的自转,思考以下问题:
(1)地球上各地的角速度大小、线速度大小是否相同?
(2)地球上各地的向心加速度大小是否相同?
提示:(1)地球上各地自转的周期都是24h,所以地球上各地的角速度大小相同,但由于各地自转的半径不同,根据v=ωr可知各地的线速度大小不同。
(2)地球上各地自转的角速度相同,半径不同,根据an=ω2r可知,各地的向心加速度大小因自转半径的不同而不同。
2.如图所示,小球在拉力作用下做匀速圆周运动,请思考:

(1)小球的向心加速度是恒定的吗?其方向一定指向圆心吗?
提示:不恒定。小球的加速度总是沿着绳子方向指向圆心,所以其方向不断变化,加速度时刻发生变化。
(2)若手握绳子的位置不变,增加小球的转速,则它的向心加速度大小如何变化?
提示:根据a=ω2r知,当半径不变,角速度变大时,加速度a也变大。
一、对向心加速度方向及意义的理解　 深化理解
1.物理意义:描述线速度改变的快慢,只表示线速度的方向变化的快慢,不表示其大小变化的快慢。
2.方向:做匀速圆周运动的物体,其速度的大小(速率)不变,方向不断改变,所以加速度a没有与v同方向的分量,它必然沿半径方向指向圆心,故称之为向心加速度。
3.圆周运动的性质:不论向心加速度an的大小是否变化,an的方向是时刻改变的,所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变,圆周运动一定是非匀变速曲线运动。“匀速圆周运动中”的“匀速”应理解为“匀速率”。
4.变速圆周运动的向心加速度:
做变速圆周运动的物体的加速度有两个分量:一是向心加速度,二是切向加速度。向心加速度表示速度方向变化的快慢,切向加速度表示速度大小变化的快慢。
【微思考】
(1)在匀速圆周运动中,物体的加速度就是向心加速度吗?加速度一定指向圆心吗?
提示:在匀速圆周运动中,物体的加速度就是向心加速度,加速度一定指向圆心。
(2)在变速圆周运动中,物体的加速度就是向心加速度吗?加速度一定指向圆心吗?
提示:在变速圆周运动中,物体的加速度不是向心加速度,加速度不指向圆心,向心加速度指向圆心。
【题组通关】
【示范题】下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　)
A.向心加速度的方向始终指向圆心
B.向心加速度的方向保持不变
C.在匀速圆周运动中,向心加速度是恒定的
D.在匀速圆周运动中,向心加速度的大小不断变化
【解题探究】(1)向心加速度的物理意义是什么?
提示:加速度是表示速度变化快慢的物理量,向心加速度仅表示物体速度方向变化的快慢,不表示物体速度大小变化的快慢。
(2)向心加速度方向为_____________。
始终指向圆心
【规范解答】选A。向心加速度的方向时刻指向圆心,线速度的方向时刻沿圆周的切线方向,故向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直,A正确;向心加速度的大小不变,方向时刻指向圆心,不断变化,故B、C、D错误。
【通关1+1】
1.(多选)(2014·廊坊高一检测)下列说法中正确的是(　　)
A.匀速圆周运动的速度大小保持不变,所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B.做匀速圆周运动的物体,虽然速度大小不变,但方向时刻都在改变,所以必有加速度
C.做匀速圆周运动的物体,加速度的大小保持不变,所以是匀变速曲线运动
D.匀速圆周运动的加速度大小虽然不变,但方向始终指向圆心,加速度的方向发生了变化,所以匀速圆周运动既不是匀速运动,也不是匀变速运动
【解析】选B、D。做匀速圆周运动的物体,速度的大小不变,但方向时刻改变,所以必有加速度,且加速度大小不变,方向时刻指向圆心,加速度不恒定,因此匀速圆周运动既不是匀速运动,也不是匀变速运动,故A、C错误,B、D正确。
2.关于向心加速度的物理意义,下列说法正确的是(　　)
A.它描述的是线速度大小变化的快慢
B.它描述的是线速度方向变化的快慢
C.它描述的是物体运动的路程变化的快慢
D.它描述的是角速度变化的快慢
【解析】选B。加速度始终与线速度方向垂直,故向心加速度只表示线速度的方向改变的快慢,不表示线速度的大小改变的快慢,A、D错误,B正确。圆周运动中,线速度是描述物体运动路程变化快慢的物理量,C错误。
3.做匀速圆周运动的两物体甲和乙,它们的向心加速度分别为a1和a2,且a1>a2,下列判断正确的是(　　)
A.甲的线速度大于乙的线速度
B.甲的角速度比乙的角速度小
C.甲的轨道半径比乙的轨道半径小
D.甲的速度方向比乙的速度方向变化快
【解析】选D。由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关系,故不能确定它们的线速度、角速度的大小关系,A、B、C错。向心加速度是表示线速度方向变化快慢的物理量,a1>a2,表明甲的速度方向比乙的速度方向变化快,D对。
【变式训练】关于向心加速度,下列说法正确的是(　　)
A.向心加速度是描述线速度变化的物理量
B.向心加速度只改变线速度的方向,不改变线速度的大小
C.向心加速度大小恒定,方向时刻改变
D.向心加速度的大小可用 来计算
【解析】选B。加速度是描述速度变化快慢的物理量,向心加速
度是描述线速度方向变化快慢的物理量,因此A错,B对。只有匀
速圆周运动的向心加速度大小恒定,C错。公式 适用
于匀变速运动,圆周运动是变加速运动,D错。
二、对向心加速度公式的理解　　 拓展延伸
1.向心加速度公式:
(1)基本式:①an= ;②an=ω2r。
(2)拓展式:①an= ;②an=ωv。
2.推导:设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动,在某时刻t位于A点的速度为vA,经过很短的时间Δt后运动到B点,速度为vB,把速度矢量vA和vB的始端移至一点,求出速度矢量的改变量Δv=vB-vA,如图甲、乙所示。
图乙中的矢量三角形与图甲中的三角形△OAB是相似三角形,
用v表示vA和vB的大小，用Δl表示弦AB的长度，则有:

所以加速度
而当Δt趋近于零时, 表示线速度的大小v,于是得到
再由v=rω得an=ω2r。
3.向心加速度的大小与半径的关系:
(1)当半径一定时,向心加速度的大小与角速度的平方成正比,也与线速度的平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。
(2)当角速度一定时,向心加速度与运动半径成正比。
(3)当线速度一定时,向心加速度与运动半径成反比。
(4)an与r的关系图像:如图所示。由an-r图像可以看出:an与r成正比还是反比,要看ω恒定还是v恒定。
【微思考】
(1)向心加速度公式an= 和an=ω2r对变速圆周运动成立吗?
提示:成立。公式an= 和an=ω2r不仅适用于匀速圆周运动,
也适用于变速圆周运动。
(2)如何用向心加速度公式求解圆周半径?
提示:当向心加速度an、线速度v或角速度ω已知时,可利用向
心加速度公式an= 和an=ω2r计算圆周半径。
【题组通关】
【示范题】(2014·深圳高一检测)如图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线。表示质点P的图线是双曲线的一支,表示质点Q的图线是过原点的一条直线。由图线可知(　　)
A.质点P的线速度大小不变
B.质点P的角速度大小不变
C.质点Q的角速度随半径变化
D.质点Q的线速度大小不变
【解题探究】(1)写出向心加速度的公式。
提示:向心加速度公式为an= 或an=ω2r。
(2)根据图像判断向心加速度随半径r变化的函数关系。
提示:质点P的向心加速度与半径r成反比;质点Q的向心加速度与半径r成正比。
【规范解答】选A。由an= 知:v一定时,an∝ ,即an与r成反
比;由an=rω2知:ω一定时,an∝r。从图像可知,质点P的图线是
双曲线的一支,即an与r成反比,可得质点P的线速度大小是不变
的。同理可知:质点Q的角速度是不变的。
【通关1+1】
1.一物体以4m/s的线速度做匀速圆周运动,转动周期为2s。则该
物体在运动过程中的任一时刻,速度变化率的大小为(　　)
A.2m/s2　　　B.4m/s2　　　C.0　　　D.4πm/s2
【解析】选D。速度变化率就是物体的加速度的大小,因为物体
做匀速圆周运动,所以速度的变化率就是物体的向心加速度的大
小。由 可得an=4πm/s2,D项正确。
2.(多选)由于地球自转,比较位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2,则(　　)

A.它们的角速度之比ω1∶ω2=2∶1
B.它们的线速度之比v1∶v2=2∶1
C.它们的向心加速度之比a1∶a2=2∶1
D.它们的向心加速度之比a1∶a2=4∶1
【解析】选B、C。同在地球上,物体1与物体2的角速度相等,A错。
设物体1的轨道半径为R,则物体2的轨道半径为Rcos60°,所以v1∶v2=ωR∶ωRcos60°=2∶1,B对。a1∶a2=ω2R∶ω2Rcos60°
=2∶1,C对,D错。
3.(多选)一个小球以大小为a=4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R=1 m，则下列说法正确的是( )
A.小球运动的角速度为2 rad/s
B.小球做圆周运动的周期为π s
C.小球在t= 内通过的位移大小为
D.小球在π s内通过的路程为零
【解析】选A、B。由a=ω2R得角速度ω= =2 rad/s，A
对；周期T= =π s，B对；小球在t= 内通过 圆
周，位移大小为 ，C错；小球在π s内通过的路
程为一个圆周的长度2πR=2π m，D错。
【素养升华】
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系,必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时,应按以下步骤进行:
(1)先确定各点是线速度大小相等,还是角速度相同。
(2)在线速度大小相等时,向心加速度与半径成反比,在角速度相同时,向心加速度与半径成正比。
【资源平台】备选角度:传动装置中的向心加速度
【示范题】(多选)如图所示,皮带传动装
置中,右边两轮连在一起共轴转动,图中
三轮半径分别为r1=3r,r2=2r,r3=4r;A、
B、C三点为三个轮边缘上的点,皮带不打滑。向心加速度分别为a1、a2、a3,则下列比例关系正确的是(　　)
【标准解答】选B、D。由于皮带不打滑，v1=v2，a=
故 A错，B对。由于右边两轮共轴转动，ω2=ω3，
a=rω2， C错、D对。
圆周运动的向心加速度与合加速度
在一般圆周运动中,合加速度通常有两个分量:切向加速度和向心加速度。切向加速度表示速度大小变化的快慢;向心加速度表示速度方向变化的快慢。
(1)物体做匀速圆周运动时,向心加速度就是物体的合加速度。
(2)如图所示的变速圆周运动,到达C点时,小球受绳水平拉力T和重力mg,合力斜向右下方,即小球的合加速度斜向右下方。它沿T方向(径向)的加速度即为向心加速度。
【案例展示】(多选)关于向心加速度,以下说法中正确的
是(　　)
A.物体做匀速圆周运动时,向心加速度就是物体的合加速度
B.物体做圆周运动时,向心加速度就是物体的合加速度
C.物体做圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心
【精讲精析】选A、D。物体做匀速圆周运动时,向心加速度就是物体的合加速度;物体做变速圆周运动时,向心加速度只是合加速度的一个分量,A正确,B错误。物体做匀速圆周运动时,只具有向心加速度,加速度方向始终指向圆心;物体做变速圆周运动时,圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度不再指向圆心,C错误,D正确。
【易错分析】本题易错选项及错误原因分析如下:
【自我小测】
1.(2014·湛江高一检测)如图所示，圆轨道AB是在竖直平面内的 圆周，在B点轨道的切线是水平的，一质点自A点从静止开始下滑，滑到B点时的速度大小是 ，求：
(1)在质点刚要到达B点时的加速度大小；
(2)滑过B点时的加速度大小。
【解析】质点由A点到B点所做的运动是圆周运动的一部分，因
而质点刚要到达B点时的运动为圆周运动的一部分，其加速度
为向心加速度，大小为a= ，将v= 代入可得a=2g，质
点滑过B点后做平抛运动，只受重力作用，加速度大小为g。
(注：解题时一定要认真审题，充分挖掘题目中所给出的隐含
条件，如本题中的“到达B点时”和“滑过B点时”)
答案：(1)2g (2)g
2.如图所示,定滑轮的半径r=2cm,绕在定滑轮上的细线悬挂着一个重物,重物由静止开始释放,测得重物以加速度a=2m/s2做匀加速运动,在重物由静止下落1m的瞬间,定滑轮边缘上的点的角速度多大?向心加速度多大?
【解析】定滑轮边缘点的线速度与物体的速度大小相等，下落1 m时为

由v=ωr得定滑轮边缘点的角速度

向心加速度
答案：100 rad/s 200 m/s2