7.2《功》
一、功的概念
1.定义：物体受到力的作用，并在力方向上发生一段位移，就说力对物体做了功.
2.公式：W=Fscosα，其中α为F与s的夹角，F是力的大小，s一般是物体相对地面的位移，而不是相对于和它接触的物体的位移.
4.物理意义：功是能量转化的量度.
3.单位：焦耳(J)　1J=1N·m.
5.功是标量，没有方向、但是有正负,正负表示能量转化的方向.正号表示物体被输入了能量负号表示输出了能量 .
①当0≤α＜90°时W＞0，力对物体做正功；
若物体做直线运动，由力和位移夹角来判断较方便。
②当α= 90°时W=0，力对物体不做功；
③当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做负功或说成物体克服这个力做功.
若物体做曲线运动，利用力和速度的夹角来判断做。
① ０≤α＜ 90°时，力对物体做正功；
② α＝ 90°时，力对物体不做功。
③ 90° ＜α≤ 180°时，力对物体做负功（或物体克服力做功）。
功的正负判定
3.应用中的注意点
①公式只适用于恒力做功
② F和S是对应同一个物体的；
③恒力做功多少只与Ｆ、Ｓ及二者夹角余弦有关，而与物体的加速度大小、速度大小、运动时间长短等都无关，即与物体的运动性质无关，同时与有无其它力做功也无关。
例1.重30N的物体在大小为20N、方向与地面成30°角的拉力作用下沿光滑水平面前进3m，则合外力对物体做了 J的功.
【例题2】如图7-1所示，在光滑水平面上，在倾角为α =37°的斜面上放以质量为5kg的滑块，二者一起以速度2m/s向左匀速运动了2s，在这个过程中滑块受几个力作用？这些力所做的功各是多少？滑块所受各力所做的总功为多少？
7.合力的功——有两种方法：
（1）合力的功等于各分力所做功的代数和，即
（2）先求出合力，然后求总功，表达式为
（为合力与位移方向的夹角）
【练习1】如图7-2所示，在倾角为α =37°的斜面上放以质量为5kg的滑块，在外力作用下二者一起向左匀速运动了2s，在这个过程中滑块受几个力作用？这些力所做的功各是多少？滑块所受各力所做的总功为多少？
C
练习2. 如图所示，物体受到二个水平恒力F1 和 F2相作用，F1和F2互垂直，物体沿光滑水平面从A点运动到B点的过程中，位移为S，AB连线与F1间的夹角为，则下面关于外力做的功的表达式一定正确的是： （ ）
(A)
(B) (F1+F2) S
(C) F1Scos  + F2Ssin 
(D) F1Ssin  + F2Scos 
用总功等于各力做功的代数和求之
为合外力与位移的夹角
注意：
合外力是矢量，本题的合外力与位移的夹角难以确定，并不等于（若vA=0时才等于 ）
二.变力做功
对于变力做功不能依定义式
直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解。
1.可用（微元法）无限分小法来求, 过程无限分小后， 可认为每小段是恒力做功。
2.平均力法：
若变力大小随位移是线性变化，且方向不变时，可将变力的平均值求出后用公式
计算。如弹簧的弹力做功就可以用此法计算。
3.利用Ｆ－Ｓ图像，Ｆ－Ｓ图线与坐标轴所包围的面积即是力Ｆ做功的数值。
4.已知变力做功的平均功率Ｐ，则功Ｗ＝Ｐｔ。
5.用动能定理进行求解：
由动能定理Ｗ＝ΔＥＫ可知，将变力的功转换为物体动能的变化量，可将问题轻易解决。
6.用功能关系进行求解。
以后再讲
一.摩擦力做功的特点:
1.静摩擦力做功的特点
（1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
（2）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能．
（3）相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零。
1.AB两物体叠放在水平面上，保持相对静止一起向右做匀加速运动移动S， 则摩擦力f1对A做————功，f2对B做————功。
W1=f S W2= - f S W1 + W2= 0
正
负
举例说明:
f1是B对A的摩擦力
f2是A对B的摩擦力
2.小木块置于旋转的水平转台上，随转台一起匀速转动，小木块受到的摩擦力对木块做————功。
0
若小木块随转台一起加速转动而没有相对滑动，则小木块受到的摩擦力对木块做————功。
正
3.AB两物体叠放在水平面上，A物体用线系在墙上，B 物体在力 F作用下向右运动，则f1对A做————功，f2对B做————功。
F
B
A
0
负
4.正在运动的水平传送带上轻轻放一个小木块，小木块受到的摩擦力对小木块做———— —— 功。
开始物体在摩擦力的作用下做匀加速运
动，摩擦力对物体做正功。
达到速度v后，物体不受摩擦力，做匀速
运动，不做功.
5.AB两物体叠放在水平面上，A物体在力 F作用下在B物体上相对滑动，
则f1对A做————功，f2对B做————功。
W1= - fS1
W2= fS2
W1 + W2= f(S2 - S1 )= - f Δ S
负
正
2.滑动摩擦力做功的特点：
(1）滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，当然也可以不做功。
(2）一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方面：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能。
(3)一对滑动摩擦力的总功等于 - fΔS
式中ΔS指物体间的相对位移
(4)转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积,即W=Q（即摩擦生热）.原因后来再讲
(5）滑动摩擦力、空气摩擦阻力等，在曲线运动或往返运动时等于力和路程（不是位移）的乘积
例6.质量为M的长板放在光滑水平面上，一个质量为ｍ的滑块以速度v沿木板表面从A点滑到B点，在木板上前进了L，而木板在水平面上前进了s，如图，设滑块与木板间的动摩擦因数为求：
(1)摩擦力对滑块做的功；
(2)摩擦力对木板做的功；
(3)摩擦力做的总功；
(4)上述过程中机械能转化为内能的大小.
【解析】分别对滑块和木板进行受力分析，如图所示.f=mg， f = f′
摩擦力对滑块做的功为:Wm=-f(s+L)=-mg(s+L)，
摩擦力对木板做的功为:WM=f′·s=mg·s，
摩擦力做的总功为:W=Wm+WM=-mgL，
转化为内能的大小为:Q=-W=mgL
【解题回顾】摩擦力是阻力(对滑块)时，它所做的功是负功；摩擦力是动力(对木板)时，它所做的功是正功。我们还体会到摩擦力f和f′虽然是一对作用力和反作用力，但它们做的功却不一定相等.
练习4.如图所示，在光滑水平面上放一木板，木板的左端放一物体，对物体施加一水平恒力F，将物体由静止开始从木板右端拉出，如果第一次木板被固定在地面上，第二次木板未被固定，则这两种情况下
（ ）
(A)摩擦力大小相同 (B)F做的功相同
(C)摩擦产生热相同 (D)物体获得的动能相同
A C
练习5.如图所示，半径为R的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度v0在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为μ，设从开始运动的一周内小球从A到B和从B到A的过程中摩擦力对小球做功分别为W1和W2，在这一周内摩擦力做的总功为W3，则下列关系式正确的是（ ）
A．W1＞W2 B．W1＝W2
C． W3＝ 0 D． W3＝W1＋W2
解析：求某一力对物体所做的功值有多种思路，对于恒力（大小、方向均不变的力）做功的情况，通常由w＝Fscosα求解．对于变力（特别是方向发生变化的力）做功的情况，一般由功能转换关系求解．对于后一种思路，一定要正确判断哪些力做功，在外力做功的过程中，物体（或系统）的能量如何发生变化，变化了多少．
小球在水平弯管内运动，滑动摩擦力始终与速度方向相反，做负功，而小球在水平面内的圆周运动的向心力是由外管壁对小球的弹力N提供的，由于转动半径R始终不变，摩擦力对小球做负功，小球运动的速率逐渐减小，向心力减小即N减小，而f＝μN，滑动摩擦力f也减小，即由下列关系：
N=Fn=mv2/R m，R不变，v减小，则N减小，
f＝μN N减小，则f减小
W=－fπR f减小，则W减小
所以W1＞W2
W1,W2都为负功，因此W3＝W1＋W2．答案：AD
2.弹力做功的特点:
弹力对物体可以做正功,可以不做功， 也可以做负功。
例8:如图所示，小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上。从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力 （ ）
A．垂直于接触面，做功为零
B．垂直于接触面，做功不为零
C．不垂直于接触面，做功为零
D．不垂直于接触面，做功不为零
C
若斜面固定呢？
mgS sin θcosθ
- mgS sin θcosθ
练习8：质量为m的物体A置于粗糙的斜面上, 斜面位于水平面上， 用力推斜面向左匀速移动位移S时，斜面对物体A的弹力做功 ， 斜面对物体A的摩擦力做功 。
练习9：如图示，板长为L，板的B端放有质量为m的小物体，物体与板的动摩擦因素为μ，开始时板水平，若缓慢转过一个小角度α的过程中，物体与板保持相对静止，则这个过程中（ ）
A. 摩擦力对P做功为 μmgLcosα(1-cosα)
B. 摩擦力对P做功为mgLsinα(1-cosα)
C. 弹力对P做功为mgLcosαsinα
D. 板对P做功为mgLsinα
D
练习11：一个木箱放置在匀加速上升的自动扶梯上，随自动扶梯一起上升，跟扶梯保持相对静止。木箱所受的重力对木箱做 ——————功，木箱所受的弹力对木箱做——————功。木箱所受的摩擦力对木箱做 ——————功，
负
正
正
3.一对相互作用力做功特点:
一对相互作用力可以同时做正功，一对相互作用力也可以同时做负功，

一对相互作用力也可以作用力做正功，反作用力做负功，一对相互作用力也可以作用力做正功， 反作用力不做功，一对相互作用力也可以作用力做负功， 反作用力不做功，不要以为作用力与反作用力大小相等、方向相反，就一定有作用力、反作用力的功数值相等，一正一负．所以作用力与反作用力做功不一定相等，但冲量的大小相等．
正
正
若用手按住B车，则相互作用力对A 车做正功，对B车不做 功
例11：如下图A、B 两辆小车上各放一个强磁铁，各以速度V相向运动，两磁体间的相互作用力对A车做 功, 两磁体间的相互作用力对B车做 功
若用手按住B车，则相互作用力对A 车做负功，对B车不做 功
负
负
若如下图A、B 两辆小车上各放一个强磁铁，各以速度V相向运动，两磁体间的相互作用力对A车做 功,两磁体间的相互作用力对B车做 功
本节到此结束
例3 一辆马车在力F=100N的作用下绕半径为50m的圆形轨道做匀速圆周运动，当车运动一周回到原位置时，车子克服阻力所做的功为多少？
W克= – Wf= 3.14 ×104 J
分析：
阻力的方向时刻在变，是变力做功的问题，不能直接由功的公式计算。
采用微元法解之，将圆分成很多很多小段，在这些小段中，力可以看作恒力，于是
Wf = – fΔs1 – fΔs2 – fΔs3 – fΔs4 – fΔs5 – ……
= – fs= – Fs = – 100×2πR= – 3.14 ×104 J
用平均力法.铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=-f=kx，可用平均阻力来代替，如图(a)
例4. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多少深度 ? (设铁锤每次做功相等)
解一：
第二次击入深度为x1到x2，
两次做功相等：W1=W2.
∴△x=x2-x1=0.41cm.
解二：用图像法
因为阻力F=kx,以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图像，如图(b)，
曲线下面积的值等于F对铁钉做的功.
由于两次做功相等，故有：
S1 = S2 (面积)，即：
1/2× kx21=1/2× k(x2+x1)(x2-x1)，
∴ △x=x2-x1=0.41cm.
分组讨论：质量为m的物块放在光滑的水平面上,绳的一端固定，在绳的另一端经动滑轮用与水平方向成α角、大小为F的力拉物块，如图示，将物块由A点拉至B点，前进S，求外力对物体所做的总功有多大？
解一：注意W=FS cosα中的S应是力的作用点的位移,当物体向右移动s 时，力F的作用点既有水平位移S，又有沿绳向的位移S，合位移为S合，
S合=2S cosα/2
W=F S合cosα/2 =FS(1+cosα)
解二：外力对物体所做的总功等效于水平绳和斜绳上的两个力做功的代数和
∴W=FS+FS cosα =FS（1+cosα)