7.2 功
能量
力
如果物体在力的作用下能量发生了变化，这个力一定对物体做了功。
木材在起重机的拉力作用下重力势能增加了
列车在机车牵引力作用下 动能增加了
握力器在手的压力作用下弹性势能增加了
一、功
起重机提起货物，货物在起重机拉力的作用下发生一段位移。
弹簧在手的压力下发生形变，产生了一段位移。
一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功。
举重运动员在向上举起杠铃过程举重运动员做不做功？

在举起杠铃后稳定的3S内，举重运动员做不做功？
思考与讨论
思考与讨论
如果起重机提着货物静止不动，拉力对货物是否做功了？
如果提着货物水平运动，拉力是否做功了？
思考与讨论
陷在雪地里的汽车，人不管怎样用力，都推不动，人的推力对汽车是否做功了？
·作用在物体上的力
·物体在力的方向上发生位移
二、做功的两个不可缺少的因素
三、功的计算
F
F
l
在光滑的水平地面上，物体M在水平力F的作用下发生了一段位移l。
M
在物理学中，如果力的方向与物体运动的方向一致，功就等于力的大小与位移大小的乘积。
（一）如果力的方向与位移方向一致
F
F
l
M
W=F l
例1：如图5示。A为静止在水平桌面上的物体，其右侧固定着一个定滑轮O，跨过定滑轮的细绳的P端固定在墙壁上，于细绳的另一端Q用水平力F向右拉，物体向右滑动s的过程中，力F对物体做（ ）功？（上、下两段绳均保持水平）
A Fs B 2Fs C 0 D 无法判断
√
本例题仍重点解决计算功时对力和位移这两个要素的分析。
如果着眼于受力物体，它受到水平向右的力为两条绳的拉力，合力为2F。因而合力对物体所做的功为W=2Fs；
如果着眼于绳子的Q端，即力F的作用点，则可知物体向右发主s位移过程中，Q点的位移为2s，因而力F拉绳所做的功W=F·2s=2Fs。
思考：F与水平面成θ角斜向右上呢？
物体在力的方向上没有发生位移，力对物体不做功，或者说，做功为零。
即 W ＝ 0
在不考虑空气阻力的情况下，手托书在水平方向上匀速移动。
（二）如果力的方向与运动方向垂直
当拉力与水平方向的夹角为α时，此时拉力F做的功应该是多少呢？
（三）如果力的方向与位移方向成一定夹角
研究方法（一）
分力F1所做的功W1=F1l。分力F2做的功W2=0。
因此，力F对物体所做的功W=F1 l ，而 F1=Fcosα 。所以：
W=F l cosα
F
α
F
α
l
l2
l1
将位移沿力的方向和垂直于力的方向分解，分别为l1和l2。力F做的功W=F l1 。因为l1=lcosα，所以：
研究方法（二）
W=F l cosα
F
F1
F2
α
l
功的一般计算公式及单位
1、在国际单位制中单位是焦耳，简称焦，符号是J。(1J等于1N的力使物体在力的方向上发生1m的位移时所做的功。)
1J=1N×1m=1N•m
2、功是一个标量。
例2：如图表示物体在力F的作用下在水平面上发生了一段位移l，分别计算这三种情形下力对物体做的功。设这三种情形下力和位移的大小相同：F=10N，l=2m。角θ的大小如图。
例3：如图表示物体在力F的作用下在水平面上发生了一段位移l，分别计算这三种情形下力对物体做的功。设这三种情形下力和位移的大小相同：F=10N，l=2m。角θ的大小如图。
思考与讨论：
用力F拉动物体分别在光滑水平面上加速运动l；在粗糙水平面上匀速移动l；沿斜面向上减速移动l，哪种情况下力F做的功多？
撤去力F后，物体继续运动了一段位移，那么F做的功又是多少？
注意：力 F 对物体做功，只跟力的大小、位移的大小以及两者的夹角有关，而与物体受力后通过这段位移做什么运动、是否还受其他力等因素无关。
一样多
(1)F：是个恒力
(2)l：力所作用的质点的位移（对地位移）
(3)α：力的方向和位移的方向的夹角
(4)功与物体的运动状态及运动形式无关
(5)某一力的功，与别的力无关
(6)功是过程量，做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生转化。
对功的公式的理解
例4：一个质量为150kg的物体，受到与水平方向成α=37°角斜向右上方的拉力F=500N的作用，在水平地面上移动的距离为l=5m，物体与地面间的滑动摩擦力F阻=100N，求拉力F和滑动摩擦力F阻做的功？
解：F对物体所做的功为：
WF= Flcos37°= 2000J
Ff对物体所做的功为：
Wf= Fflcos180°= –500J
思考：矢量的正、负表示的是方向。功是标量，它的正、负表示什么意思呢？
四、正功和负功
F和l分别指“力的大小”和“位移的大小”
W的正负并不表示功有方向
表示做功的不同效果
2、当= /2 时 ，cos =0，W=0；
1、当 0  < /2 时 ，cos  > 0，W>0；
3、当 /2 <    时 ，cos  < 0，W <0。
W=Fscosα
力对物体做负功时，这个力对物体而言是阻力。(从物体中输出能量)
力对物体做正功时，这个力对物体而言是动力，(对物体输入能量)
F做正功
F不做功
F做负功
注：若某个力做了－10J的功，可以说这个物体克服这个力做了10J的功
如何比较大小？（－8J 与5J ）
一个力对物体做负功，有两种说法。往往说成物体克服这个力做功（取绝对值)
例如：
注意
竖直向上抛出的球，在向上运动的过程中，重力对球做负功，可以说成“球克服重力做功”
某一物体以一定初速度在粗糙水平面做匀减速直线运动，若阻力做－20J功，
往往说成物体克服阻力做了20J功。
例题:一个质量ｍ＝2kg的小车，受到与水平方向成37°角斜向上方的拉力F=10N，在水平地面上移动的距离l=2m。小车与地面间的摩擦力Ff=4.2N。求外力对小车所做的总功。
几个力对物体所做的总功
F
37°
v
方法1：
WF=Fl cos37°= 16J
Wf= Ffl cos180°= -8.4J
外力对小车所做的总功W
W=WF+Wf= 7.6J
代数和
方法2：
解：小车所受到的合力为：
F合=Fx―Ff
= Fcos37°– Ff=3.8N
外力对小车所做的总功为：
W=F合l cos0°=3.8×2J=7.6J
v
Ff
F
Fx
Fy
方法1：求出各个力所做的功，则总功等于各个力所做功的代数和。注意要代入功的正、负号。
方法2：先求出各个力的合力，则总功等于合力
所做的功。
总功的求法
如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物与斜面的动摩擦因数为μ，现使斜面体与物共同以加速度a向左匀加速运动位移L，则弹力、摩擦力对物体所做的功、斜面体对物体所做的功为多少？合力对物块所做的功分别是多少
例、如图，质量为m的物体静止于倾角为θ的斜面体上，当斜面受力后，物体随斜面一起沿水平面匀速移动距离l，在这过程中物体所受各力对物体做的功分别是多少？物体所受斜面的力做功是多少？合外力做的功是多少？
例、如图，质量为m的物体沿倾角为θ的粗糙斜面下滑了一段距离l，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，试求物体下滑过程中所受各力对物体所做的功以及这些力所做的总功。
例4 在光滑的水平面上，物体受到两个沿水平方向、相互垂直的大小分别为3N和4N的恒力，从静止开始运动10m，求合力做的功。
例、 如图，一个质量为m=2kg的物体，受到与水平方向成37º角斜向下方的推力F=10N的作用，在水平地面上移动了距离l1=2m后撤去推力，此后物体又滑行了l2=1.6m的距离后停止了运动，设物体与地面的滑动摩擦力为它们之间弹力的0.2倍，g取10m/s2，求：
（1）推力F对物体做的功；
（2）全过程中摩擦力对物体所做的功；
（3）有推力作用时合外力对物体所做的功。
归纳总结
一、做功的因素：力和物体在力的方向上发生的位移。
二、功的公式：W=Flcosα
力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力和位移的夹角的余弦这三者的乘积。
三、功的国际单位：焦耳。功是标量
四、功的正、负。
五、总功的求法：
（1）求出各个力所做的功，则总功等于各个力所做功的代数和。
（2）先求出各个力的合力，则总功等于合力所做的功。
例3：如图所示，木块A放在木块B的左上方，用恒力F将A拉至B的右上端，第一次将B固定在地面上，F所做的功为W1，第二次让B可以在光滑地面上自由滑动，F所做的功为W2，则（ ）
A W1＜W2 B W1=W2
C W1>W2 D无法判断
√
例、如图，人拉着细绳的一端由A走到B，使质量为m的物体匀速上升，已知A、B两点间的水平距离为l，细绳与水平方向的夹角已在图中标出，不计滑轮的摩擦，求人的拉力做的功。
4、质量为m的物块放在光滑的水平面上,绳的一端固定，在绳的另一端经轻滑轮用与水平方向成α角、大小为F的力拉物块，如图示，将物块由A点拉至B点，前进S，求拉力F做的功有多大？
求外力对物体做功有多大？
解一：注意W=FS cosα中的S应是力的作用点的位移,当物体向右移动s 时，力F的作用点既有水平位移S，又有沿绳向的位移S，合位移为S合，
S合=2S cos(α/2)
W=F S合cos(α/2)
解二：
∴W=FS+FS cosα =FS（1+cosα)
S合
s
解三：外力对物体所做的总功等效于水平绳和斜绳上的两个力做功的代数和.
T
F
α
T’
F
T’=2Fcosα/2
W=Ts cosα/2
F
F
α
物体受的拉力可通过对滑轮的反作用力来求解
你能分别计算出弹簧的弹力对物体做的功吗？
公式W=Flcosα只适用于大小和方向均不变的恒力做功
恒力做功时，F与x图象
W= F0 x0
（功示图）
W2=kx1△x+k(x2+△x)△x+ x+k(x2+2△x)△x+……
铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=-f=kx，
6. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多少深度 ? (设铁锤每次做功相等,铁钉缓慢地进入木块。)
解一：
第二次击入深度为x1到x2，
两次做功相等：W1=W2.
∴△x=x2-x1=0.41cm.
用平均力法.
可用平均阻力来代替.如图(a)
= 1/2× kx21
解二：用图像法
因为阻力F=kx,以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图像，如图(b)，
曲线下面积的值等于F对铁钉做的功. （功示图）
因S1 = S2 (面积)，即：
1/2× kx21=1/2× k(x2+x1)(x2-x1)，
∴ △x=x2-x1=0.41cm.
5、一辆马车在力F=100N的作用下绕半径为50m的圆形轨道做匀速圆周运动，当车运动一周回到原位置时，车子克服阻力所做的功为多少？
解：
阻力的方向时刻在变，是变力做功的问题，不能直接由功的公式计算。
采用微元法解之，将圆分成很多很多小段，在这些小段中，力可以看作恒力，于是
Wf =fΔs1cosπ＋fΔs2cosπ＋fΔs3cosπ＋fΔs4cosπ＋ ……
W克= – Wf= 3.14 ×104 J
= – fs= – Fs = – F×2πR= – 3.14 ×104 J
Wf =-f（Δs1+Δs2+Δs3+Δs4＋ ……）
10．人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50Kg的物体，如图所示，开始绳与水平方向夹角为600，当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动s=2m而到达B点，此时绳与水平方向成300角，求人对绳的拉力做了多少功 ?
【解析】人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变，而已知的位移s方向一直水平，
所以无法利用W=Flcosα直接求拉力的功
而绳对物体的拉力则是恒力，可求出绳对物体的拉力的功
设滑轮距地面的高度为h，
人由A走到B的过程中，重物上升的高度等于滑轮右侧绳子增加的长度，即：
h
如图所示，在一个足够大的水池中有一个边长为a的正方体木块静止地浮在水面上，其体积的一半浸在水中.现竖直向下缓慢压木块，使木块上表面与水面相平，求此过程中压力对木块做的功. (已知水的密度为ρ水 ）
mg
F
x为木块缓慢向下运动的位移，o≤x≤a/2。
根据平衡条件：
初始状态：
由上三式可得：
F浮
图线与x轴所围的“面积”表示压力F做的功，得 :
B
A
h
mg
WG=mgh
=mgh