7.3 功率
一、功率的概念
1.物理意义：表示力做功快慢的物理量
2.定义：功与完成这些功所用时间的比值叫功率
（1）当v为即时速度时，对应的P为即时功率；
（2）当v为平均速度时，对应的P为平均功率。
（4）若力和速度在一条直线上，上式可简化为 Pt=F·vt
（5）由公式P=Fvt可知，当功率一定时，即时速度越大，则作用力越小；反之，作用力越大，速度越小。汽车上坡时要慢速行驶就是这个原因。
对于机动车辆的功率Ｐ＝Ｆｖ（因Ｆ与Ｖ同向）。Ｆ是牵引力，Ｐ即为牵引力的功率，Ｆ并非机车的合外力。
例1.如图示,质量为m的小滑块,由静止开始从倾角为θ的光滑斜面上高为h 的A 点滑到斜面的底端B点，求：
（1）滑块由A 点滑到B点的过程中，重力的平均功率；
（2）滑块到达B点时重力的瞬时功率
解：设滑块到达B点时的速度为vB ，经历的时间为t
由机械能守恒定律得 vB2 =2gh
【练习1】从空中以40m/s的初速度平抛一重为10N的物体，物体在空中运动3s落地，不计空气阻力，取ｇ=10m/s2，则物体落地时，重力的瞬时功率为( )
A.400W
B.300W
C.500W
D.700W
B
【解析】本题要求的是3s未重力的瞬时功率，如图所示，由于曲线运动,G与未速度v间有夹角α，同学们常常考虑先求了v的大小，再求出α，利用公式P=F·vcosα求解，这种思路是正确的.但过于麻烦.本题要求的功率是P=G·vcosα，其实v·cosα就是v竖直分量，只需求出3s末平抛运动的竖直分速度vy.vy=g·t所以P=G·v·cosα=G·vy=G·gt=10×10×3W=300W
Vx=V0
α
V
Vy
【例2】一跳绳运动员质量m=50kg,1min跳N=180次，假设每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所用时间的2/5，试估算该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率多大?
【解析】跳跃的周期T=60s/180=1/3s，而一个周期内在空中停留时间t1=(3/5)T=(1/5)s人向上跳看做是竖直上抛运动，设起跳速度为v0，
由t1=2v0/g得v0=gt1/2
每次跳跃克服重力做功W=1/2mv02=1/8mg2t12
所以克服重力做功的平均功率P=W/T=75(W)
提示：两种情况中拉力对人做的功一样，第二种情况拉力除对人做功外，又对另一只小船也做了功，所以W2＞W1．由于所用时间一样，所以P2＞P1．
【例3】一个小孩站在船头，按应当为图中两种情况用同样大小力拉绳，经过相同的时间t（船未碰撞），小孩所做的功W1、W2及在时间t内小孩拉绳的功率 P1、P2的关系为（ ）
A．W1＞W2，P1= P2 B．W1＝W2，P1＝P2
C．W1＜W2，P1＜P2 D．W1＜W2，P1= P2
C
练习2.某人用同一水平力F先后两次拉同一物体，第一次使此物体沿光滑水平面前进s距离，第二次使此物体沿粗糙水平也前进s距离，若先后两次拉力做的功为W1和W2，拉力做功的功率是P1和P2，则( )
A.W1=W2，P1=P2
B.W1=W2，P1＞P2
C.W1＞W2，P1＞P2
D.W1＞W2，P1=P2
B
例4、 质量为m=80kg 的人站在质量为MA=240kg 的船上，用80N 的力拉一根足够长的水平绳子，不计水的阻力，从静止起经过t=10 秒钟，下列两种情况下，人做功的平均功率和瞬时功率各多少？
（1）绳的另一端系在岸边的树上，
（2）绳的另一端系在质量为MB=400kg 的船上
解：（1）a=F/（m+MA）= 0.25 m/s2
SA=1/2at2=12.5 m
vAt=at=2.5m/s
P1=F vAt =200W
（2） aB=F/ MB= 0.2 m/s2
SB=1/2aBt2=10 m vBt= aBt = 2m/s
W2=F（SA+ SB ）=1800J
P2=F（vt + vBt ）= 360W
练习3.如图所示，质量为lkg的物体与平面间摩擦系数μ=0．l（g取10m／s2），在2 N水平拉力作用下由静止开始运动了2s，求这段时间内拉力、摩擦力、重力、支持力的平均功率及2s末的即时功率各为多少？
解析：a=(F-f)/m =1m／s2
s＝½at2＝2m
v＝at＝2m/s
外力 F做功功率平均值为：p1＝W/t=Fs/t=2W
2s末即时功率为：P1/=Fv＝4 W
摩擦力做功功率平均值：P2=fs/t=1W
2 s末即时功率为：P2/=fv= 2 W
重力与支持力N由P=Fvcosθ知：功率都为0．
【例5】正常人心脏在一次搏动中泵出血液70 mL，推动血液流动的平均压强为1.6×104Pa，设心脏主动脉的内径约2.5cm，每分钟搏动75次，求：
(1)心脏推动血液流动的平均功率是多大?
(2)血液从心脏流出的平均速度是多大?
(3)把一种对人体无害，但不能透出血管的9 mg的试剂，由静脉一次性注入体内，在安静的情况下，经过一定的时间后抽取血样检查，发现该试剂的浓度已稳定在2 mg/L，则此人全部循环血量通过心脏一次的时间需多长?
(2)每分钟心脏输出血量为:
V=nV0=75×70×10-6m3=5.25×10-3m3
心脏主动脉横截面积S为：
S=r2=3.14×(1.25×10-2)2=4.9×10-4m2
【解析】(1)设心脏每次推动血液前进的位移为L，血液受到心脏的压力为F，由p=F/S可知，心脏起搏一次对血液所做的功W=F·L=p0SL=p0V,V是心脏跳动一次输送的血液.
W=npV=75×1.6×104×70×10-6J=84 J
P=W/t=84/60=1.4 W
所以v=L/t=V/(S·t)
=(5.25×10-3m/s)/(4.9×10-4×60)=0.18m/s
(3)设此人的循环血量为V1，则V1=9/2
所以V1=4.5(L)=4.5×10-3m3
循环一次的时间为:
t=(4.5×10-3/5.25×10-3)×60=51s
．
【练习4】长为L的细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，开始时，细线被拉直，并处于水平位置，球处在0点等高的A位置，如图所示，现将球由静止释放，它由A运动到最低点B的过程中，重力的瞬时功率变化的情况是 （ ）
A.一直在增大 B.一直在减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大
解析:小球在A位置时速度为零，重力的瞬时功率为零，到达B位置时，速度达到最大
方向水平向左，与重力夹角为900，PB＝0，由于两个极端位置瞬时功率均为0，故可判断C正确．
二.汽车的两种加速问题
1.恒定功率的加速
由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，随着v的增大，F必将减小，a也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v达到最大值.
可见恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因为F为变力）。
P=P额不变
F2 = P额/vm =f a=0 v= vm
汽车以恒定功率运动
解：汽车在水平路面行驶达到最大速度时牵引力F等于阻力f，即Pm=fvm，而速度为v时的牵引力F=Pm/v，再利用F-f=ma，可以求得这时的a=0.50m/s2
例六.质量为2t的农用汽车，发动机额定功率为30kW，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h。若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到v=36km/h时的瞬时加速度是多大？
练习5.下列关于汽车运动的论述，不正确的是( )
A.汽车以额定功率启动后做变加速运动，速度、加速度均逐渐增大
B.汽车以额定功率启动后做变加速运动，速度逐渐增大；加速度逐渐减小，加速度为0时，速度最大
C.汽车匀速行驶时最大允许速度受发动机额定功率限制，要提高最大允许速度，必须增大发动机的额定功率
D.汽车在水平路面上以额定功率P行驶，则当牵引力F与阻力f平衡时，汽车的最大速度vm=P/f
A
例7.  列车在恒定功率机车的牵引下，从车站出发行驶5分钟，速度达到20m/s，那么在这段时间内，列车行驶的路 （ ）
  A.一定小于3km                  
B.一定等于3km
  C.一定大于3km                 
D.不能确定
解：画出运动的v-t图象如图示，
若为匀变速运动，则图象如图示，
位移为3km，故选C
C
练习6．按额定功率行驶的汽车，所受地面的阻力保持不变，则（ ）
A．汽车加速行驶时，牵引力不变，速度增大
B．汽车可以做匀加速运动
C．汽车加速行驶时，加速度逐渐减小，速度逐渐
增大
D．汽车达到最大速度时，所受合力为零
C D
2.恒定牵引力的加速
(1)由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率Pm，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。
(2)可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=Fs计算，不能用W=Pt计算（因为P为变功率）。
(4)注意：匀加速结束时机车的速度并不是最后的最大速度。因此时F＞ｆ，之后还要在功率不变的情况下变加速一段时间才达到最后的最大速度Ｖｍ。
(4)发动机铭牌上的额定功率，指的是该机正常工作的最大输出功率，而实际功率是指非正常工作时消耗的功率。
汽车先做匀加速运动，再做变加速运动。
a=(F1-f )/m 不变
v=at ↑
P= F1 v ↑
P=P额 不变
v ↑
F = P额 / v　↓
a=(F-f )/m　↓
P=P额 不变
F2 = P额/vm =f a=0 　v= vm
例八.额定功率为80kW的汽车，在水平长直公路上行驶时最大速度可达20m/s,汽车质量为2×103kg 。如果汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度可达2m/s2 。设运动过程中阻力大小不变，试求：
（1）汽车运动时所受阻力f；
（2）汽车匀加速运动过程可持续的时间t′；
（3）汽车启动后，发电机在第三秒末的即时
功率P3；
（4）汽车在做匀加速直线运动过程中，发动
机所做的功W′．
（2）根据牛顿定律有
ΣF=ma，F-f=ma
F=f+ma
动的时间为t′，则有
（3）汽车第3秒末仍在做匀加速直线运动，则
（4）根据匀变速运动规律，则有
练习7.质量4t的机车，发动机的最大输出功率为100kW，运动阻力恒为2×103N，试求；
（1）当机车由静止开始以0.5m/s2的加速度沿水平轨道做匀加速直线运动的过程中，能达到的最大速度和达到该最大速度所需的时间。
（2）若机车保持额定功率不变行驶，能达到的最大速度以及速度为10m/s时机车的加速度。
解答：（1）机车做匀加速直线运动时，有
F-f=ma
P=FVm
Vm=at
由此可解得
Vm=25m/s
t=50s
（2）机车行驶时运动形式不加限制而机车输出功率保持额定功不变时则可在大小等于阻力牵引力作用下做匀速直线运动，此时又有
由此又可解得
例九.质量为m = 4000kg的卡车，额定输出功率为P=60 kW。当它从静止出发沿坡路前进时，每行驶100 m，升高5m，所受阻力大小为车重的0.1倍，取g=10 m/s2 .
试求：(1)卡车能否保持牵引力为8000 N不变在坡路上行驶？
(2)卡车在坡路上行驶时能达到的最大速度为多大？这时牵引力为多大？
(3)如果卡车用4000 N牵引力以12m/s的初速度上坡，到达坡顶时，速度为4 m/s,那么卡车在这一段路程中的最大功率为多少？平均功率是多少？
分析:汽车能否保持牵引力为8000 N上坡要考虑两点：第一，牵引力是否大于阻力？第二，汽车若一直加速，其功率是否将超过额定功率，依P=Fv解。本题考查了汽车牵引力恒定时功率的计算。不少同学在得到F > f + mgsinθ后，立即做出结论：汽车可以保持牵引力8000 N不变上坡；而没有考虑到汽车由于加速，速度不断增大，其功率不断增大，如果坡路足够长，这种运动方式是不允许的。
解：分析汽车上坡过程中受力情况如图所示：牵引力F,重力mg＝4×104N，f＝kmg＝4×103 N，支持力N，依题意sinθ＝5/100。
（1）汽车上坡时，若F＝8000N,而f＋mgsinθ＝4×103＋4×104×1/20＝6×103 N,即F> f +mgsinθ,汽车将加速上坡，速度不断增大，其输
出功率P=Fv也不断增大，长时间后，将
超出其额定输出功率，所以，汽车不能
保持牵引力为8000N不变上坡。
(2)汽车上坡时，速度越来越大，必须不断减小牵引力以保证输出功率不超过额定输出功率，当牵引力F= f + mgsinθ=6×103 N时，汽车加速度为零，速度增大到最大，设为vm，则P＝Fv＝（f＋mgsinθ）·vm；
F= f + mgsinθ=6×103 N
（3）若牵引力F=4000N，汽车上坡时，速度不断减小，所以最初的功率即为最大，P=Fv=4000×12=48×103w。整个过程中平均功率为
=32×103W