人教版初三数学上册
总复习
本册内容
1.第21章 《 二次根式》
2.第22章 《一元二次方程》
3.第23章 《旋转》
4.第24章 《 圆》
5.第25章 《概率初步》
学习目标
1.知道二次根式的概念，会做相关运算。
2.熟练解一元二次方程，会解决实际问题。
3.知道旋转的性质，掌握中心对称和中心对称图形的区别，并会判断一个图形的对称性。
4.知道圆的有关概念，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系定理，点，直线，圆和圆之间的位置关系及相关数量关系，切线的性质和判定，三角形的外接圆和内切圆的性质，正多边形的性质和判定，会计算弧长，扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积。
5.会用列举法求事件的概率。
第21章 二次根式
二 次 根 式
知识结构
二次根式的概念
形如　　（a　 0）的式子
叫做二次根式
１．二次根式的定义：
２．二次根式的识别：
（１）．被开方数
（２）．根指数是２
二次根式的性质
（1）．
（2）．
（3）．
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
解得 - 5≤x＜3
说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）
≤3
a=4
题型2:二次根式的非负性的应用.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0
解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
D
C
-3b
D
143
A
D
1
A
A
A
A
D
A
-1
7
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第22章 一元二次方程
本节知识结构梳理
一元二次方程
一元二次方程的定义
一元二次方程的解法
一元二次方程的应用
把握住：一个未知数，最高次数是2， 整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
直接开平方法：
适应于形如（mx+n）² =p（p≥0）型
配方法： 适应于任何一个一元二次方程
公式法： 适应于任何一个一元二次方程
因式分解法：
适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程
根与系数的关系：
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
怎样判定一元二次方程的根的情况？
例:解下列方程
１、用直接开平方法：(x+2)2=９
2、用配方法解方程4x2-8x-5=0
解:两边开平方,得: x+2= ±3
∴ x=-2±3
∴ x1=1, x2=-5
右边开平方后，根号前取“±”。
两边加上相等项“1”。
解:移项,得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 ∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0 ∴ ∴x1= x2 =
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）=0
(y+2)(y+2-3)=0
(y+2)(y-1)=0
y+2=0 或 y-1=0
∴y1=-2 y2=1
先变为一般形式，代入时注意符号。
把y+2看作一个未知数，变成
(ax+b)(cx+d)=0形式。
3、用公式法解方程 3x2=4x+7
4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）
《根与系数的关系》练习
一、填空：
1、已知方程 的两根是 ,则 ，
= 。
2、已知方程 的一个根是1，则另一个根是 ，k的 值是 .
.
3、若关于x的一元二次方程 x2+px+q=0的两根互为相反数，则 p=______;若两根互为倒数，则q=_____．
4、已知一元二次方程 2 x2 + b x + c = 0的两个根是 – 1 、3 ，则
b= ，c= .
二、选择
1、若方程 中有一个根为零，另一个根非零，则 的值为 ( ) A B C D

2、两根均为负数的一元二次方程是(　)
A.4x2+2x+5=0 B.6x2-13x-5=0　C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x+8=0
3、已知方程 ，则下列说法中，正确的是 （ ）
（A）方程两根和是1 （B）方程两根积是2
（C）方程两根和是-1 （D）方程两根积是两根和的2倍
4、已知方程 的两个根都是整数，则k的值可以是（ ）
（A）-1 （B） 1 （C） 5 (D)以上三个中的任何一个
三、解答题：

1、已知关于x的方程 ( a2 – 3 ) x2 – ( a + 1 ) x + 1 = 0的两个
实数根互为倒数，求a的值.
2、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根
为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个
方程的根应该是什么?
一元二次方程与实际问题
题型：
1.传播问题
2.增长率（降低率问题）
3.面积问题
4.利润问题
5.匀加速（减速）问题
6.其他题型。
步骤
1.审
2.设
3.列
4.解
5.验
6.答。
选书上典型题目讲解1至2题
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第23章 旋转
一.本章知识结构图
三、本章教学重点、难点
重点：了解图形旋转的特征，认识旋转的基本性质、中心对称及其性质． 　　　　　　　　
难点：旋转图形性质的应用．
（一）图形的旋转
1．旋转的定义：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
注意：
在旋转过程中保持不动的点是旋转中心．
2．旋转的三个要素：
旋转中心、旋转的角度和方向.
5.对称中心的确定：
将其中的两个关键点和它们的对称点的连线作出来，两条连线的交点就是对称中心.
6．关于中心对称的作图：
（1）确定对称中心；
（2）确定关键点；
（3）作关键点的关于对称中心的 对称点；
（4）连结各点，得到所需图形.
7、关于原点对称的点的坐标：
（a，b）关于原点的对称点是______
（-a,-b）
例、点P（-1，3）关于原点对称的点的坐标是               ；
点P（-1，3）绕着原点顺时针旋转90o与P’重合，则P’的坐标为 ______
在①线段、 ②角、 ③等腰三角形、
④等腰三角形、⑤平行四边形、 ⑥矩形、 ⑦菱形、 ⑧正方形和⑨圆中，
是轴对称图形的有______________,
是中心对称图形的有____________,
既是轴对称图形又是中心对称图形的有____________.
①⑤⑥⑦⑧⑨
①②③④⑥⑦⑧⑨
①⑥⑦⑧⑨
2条
1条
3条
2条
2条
4条
1条
中点
对角线交点
对角线交点
对角线交点
对角线交点
轴对称图形与中心对称图形的比较
小魔术：小魔术师手中有4张扑克牌，请一位同学上台来任意抽出一张扑克牌，把这张牌旋转180 º后再摆回原来的地方，小魔术师马上就能确定这位同学动过的扑克牌。你能确定是哪张吗？
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第24章 圆
本章知识结构
圆的基本性质 圆的对称性
弧，弦，圆心角之间的关系

同弧上的圆周角与圆心角的关系

圆与圆有关的位置关系 点和圆的位置关系---三角形的外接圆
直线与圆的位置关系—切线—三角形
内切圆
圆 圆和圆的位置关系


正多边形和圆------等分圆周

有关圆的计算 弧长
扇形面积
圆锥的侧面积和全面积
一、垂径定理
③AM=BM,
重视：模型“垂径定理直角三角形”
若 ① CD是直径
② CD⊥AB
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
垂径定理及推论
直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦；
(3) 平分弦 ；　　　　(4)平分劣弧；
(5)平分优弧.
知二得三
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
( )
错
例⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16，CD=12，则AB、CD间的
距离是___ .
2cm
或14cm
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
如由条件:
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
①∠AOB=∠A′O′B′
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
三、圆周角定理及推论
90°的圆周角所对的弦是 .
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半.
推论:直径所对的圆周角是 .
直角
直径
判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等.
(2)相等的圆周角所对的弧相等.
(3) 等弧所对的圆周角相等.
(×)
(×)
(√)
四、点和圆的位置关系
1、直线和圆相交
d r;
d r;
2、直线和圆相切
3、直线和圆相离
d r.
五.直线与圆的位置关系
<
=
>
判定切线的方法：
（１）定义
（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r
（３）切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理
定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
C
D
●O
A
如图
　∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA,
∴ CD是⊙O的切线.
切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；
　　2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可．
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的半径
C
D
●O
A
∴CD⊥OA.
A
B
C
O
七.三角形的外接圆和内切圆：
A
B
C
I
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。
三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
三角形三边垂直平分线的交点
三角形三内角角平分线的交点
到三角形各边的距离相等
到三角形各顶点的距离相等
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
切线长定理及其推论:
直角三角形的内切圆半径与三边关系.
三角形的内切圆半径与圆面积.
∵PA,PB切⊙O于A,B
∴PA=PB ∠1=∠2
交点个数 名称
0
外离
1
外切
2
相交
1
内切
0
内含
同心圆是内含的特殊情况
d , R , r 的关系
d
R
r
d > R + r
d = R + r
R-r< d < R+ r
d = R - r
d < R - r
六.圆与圆的位置关系
1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____，BC=_____；
　　2、已知、是同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦AB与CD之间的关系为（ ）；
　A.AB=2CD B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能确定
　　3、 如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠BOC等于 ( )；
　A．150° B．130° C．120° D．60°
　　4、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，∠BOC= 　；若O为△ABC的内心，∠BOC= 　．
　　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　图2
5、两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的宽度为_____ cm；
　 6、如图1,已知⊙O，AB为直径，AB⊥CD，垂足为E，由图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出来 ；
　　7、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图2，若管内污水的面宽AB=60 cm，则污水的最大深度为 cm；
　 8、已知、是同圆的两段弧，且=2，则弦AB与CD之间的关系为（ ）．A.AB=2CD；B.AB<2CD；C.AB>2CD；D.不能确定

　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　图2
9、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_____ cm；
　　10、如图2，在以O为圆心的两个同心圆
中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，
设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____；
　　11、下列四个命题中正确的是（ ）．
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 ； ③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线 ；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线．
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
12、判断。
1、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （ ）
2、直角三角形的外心是斜边的中点． （ ）
13、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆
半径　　　　，内切圆半径　　　　；
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比　　　　．
14、选择题：
下列命题正确的是（ ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆
×
√
6.5cm
2cm
2:1
C
15、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为______．
30cm
16.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是＿＿＿,圆周角是＿＿＿＿＿＿.
60度
30或150度
17：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果∠ AOC=140 °，求∠ B的度数．
18.平面上一点P到圆O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则圆O的半径为_______.
D
解：在优弧AC上定一点D，连结AD、
CD.
∵ ∠ AOC=140 °
∴ ∠ D=70 °
∴ ∠ B=180 ° －70 ° =110 °
2或4cm
19.怎样要将一个如图所示的破镜重圆？
20.如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，
BD到C，AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？
为什么？
补充：
　　若∠B=70 °,则∠DOE=＿＿＿．
E
40 °
21、如图,AB是圆O的直径,圆O过AC的中点D,DE⊥BC于E．
　　证明:DE是圆O的切线.
第25章概率初步
知识结构
随机事件---概率 用列举法求概率 列表法
树形图法
用频率估计概率
事件 确定事件 必然事件 P=1

不可能事件 P=0

不确定事件 ---随机事件0 ＜P＜ 1
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