人教版九年级上册

数学期中复习课件
思考：
用长8米铁丝折成一个面积为4米的矩形。

（1）该矩形的边长分别为多少？

（2）用它能够折成一个面积为16米的矩形吗？
一元二次方程复习课
通过复习.掌握一元二次方程的概念.并能够熟练的解一元二次方程.并且利用一元二次方程解决实际问题.
一元二次方程
一般形式
解法
根的判别式：
根与系数的关系：
应用
配方法求最值问题
实际应用
思想方法
转化思想; 配方法、换元法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
ax2+bx+c=0 (a≠0)
一元二次方程的概念
等号两边都是整式.只含有一个未知数(一元).并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
特点: ①都是整式方程.
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
A
试一试
1.判断下列方程是不是一元二次方程
是
不是
不一定
不是
2.关于x的方程(m²-1)x²+(m-1)x-2m+1=0.
当m　　　时是一元二次方程
当m=　　　时是一元一次方程.
当m=　　　时.x=0.
3.若（m+2）x 2 +（m-2）x-2=0是关于x的一元二次方程则m 。
≠±1
-1
≠－2
解： 原方程转化为(2a-4) x2 -2bx+a=0
当a≠2时是一元二次方程；
当a＝2,b≠0时是一元一次方程；
(a,b,c为常数，a≠0）
一元二次方程的一般形式
1.判断下面哪些方程是一元二次方程
√
√
×
×
×
×
试一试
2.当k 时，方程 是关于x的一元二次方程.
≠2
3.方程2x(x-1)=18化成一般形式为 其中常数项为 .二次项为 .一次项为 .二次项系数为 .一次项系数为 .
x2-x-9=0
-9
x2
1
-1
-x
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
一元二次方程的根
1.已知x＝-1是方程x²-ax＋6＝0的一个根.则a＝___,另一个根为__.
- 7
6
2.若关于X的一元二次方程 的一个根为0.则a的值为（ ）
B
A.1 B.-1 C. 1或 -1 D.
3、一元二次方程ax²+bx＋c =0，
若x=1是它的一个根，则a+b+c= .
若a-b+c=0，则方程必有一根为 .
0
-1
4.一元二次方程3x2=2x的解是 .
5.一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0.则m的值是 .
7.一元二次方程ax2+bx+c=0有一根-2,则 的值为
6.已知m是方程x2-x-2=0的一个根那么代数式m2-m = .
m=-2
2
2
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程没有实数根
一元二次方程的根的情况
不求根,判别一元二次方程 根的情况.
所以此方程没有实根.

1.已知x＝－1是方程x²－ax＋6＝0的一个根，则a＝___另一个根为__
2.若关于X的一元二次方程
的一个根为0，则 的值为（ ）
A.1 B.－1 C.1或－1 D.
-7
-6
B
试一试
解一元二次方程的方法
一元二次方程的几种解法
(1)直接开平方法 (2)因式分解法
(3)配方法 (4)公式法
例：（2）
一元二次方程的解法：
解：
注：当一元二次方程二次项系数为1且一次项系数为偶数时常用配方法比较简便。
（配方法）
—
—
配方法解一元二次方程的解题过程
1.把方程化成一元二次方程的一般形式.
2.把二次项系数化为1.
3.把含有未知数的项放在方程的左边，不含未知 数的项放在方程的右边.
4.方程的两边同加上一次项系数一半的平方.
5.方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边化成非负数.
6.利用直接开平方的方法去解.
例：（3）
一元二次方程的解法：
解：
（公式法）
注：当一元二次方程二次项系数不为1且难以用因式分解时常用公式法比较简便。
公式法解一元二次方程的解题过程
1. 把方程化成一元二次方程的一般形式
写出方程各项的系数（系数包括前面符号）
计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关系，若b2-4ac的值小于0，则此方程没有实数根 。
当b2-4ac的值大于、等于0时， 代入求根公式 计算出方程的解
（因式分解法）
解:原方程化为 （y+2) 2﹣3（y+2）=0
(y+2)(y+2-3)=0
(y+2)(y-1)=0
y+2=0 或 y-1=0
∴y1=-2 y2=1
把y+2看作一个整体，变成
a×b=0形式(即两个因式的积的形式)。
例：
一元二次方程的解法：
注：在解一元二次方程时, 要先观察方程,选择适当的方法.配方法、公式法适用于任何一个一元二次方程,但公式法首先要将方程转化为一般式,而因式分解法只适用于某些一元二次方程.总之它 的基本思路就是将二次方程转化为一次方程,即降次.
因式分解法的解题过程
移项，使方程的右边为0。
将方程左边分解因式 。
令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。
解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
1、用配方法解方程2x² +4x +1 =0，配方后得到的方程是 。
4.方程2 x ²-mx-m² =0有一个根为 – 1,则m= ，另一个根
为 。
2（x+1）²=1
5或-1
2或-1
2或1/2
3.已知方程:5x2+kx-6=0的一个根是2,则k=_____
它的另一个根______.
-7
-3/5
练习
2.
B
A
C
4
-6
1
（舍去）
提高应用
小结：
1.会判断一个方程是不是一元二次方程，能够熟练地将一元二次方程化为一般形式，并准确地写出其各项的系数。
2.能灵活运用一元二次方程的四种基本解法求方程的解。
3.能根据方程根的定义解决有关问题。
本节课我们主要复习了一元二次方程的定义和解法，要求大家掌握以下几点：
再见
谢谢指导
第22章讲练 ┃ 试卷讲练
数学·新课标（RJ）
【针对第6题训练 】
1．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是(　　)
A．－1 B．2
C．1和2 D．－1和2
2．方程x(x－1)＝2的解是(　　)
A．x＝－1 B．x＝－2
C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝－1，x2＝2
D
D
第22章讲练 ┃ 试卷讲练
2．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围是________．
3．如果方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是____________________．
a≤1
a<1且a≠0
第22章讲练 ┃ 试卷讲练
3．已知关于x的一元二次方程x2－x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
阶段综合测试一┃ 试卷讲练
【针对第8题训练 】
1．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为(　　)
A．x(x＋1)＝1035
B．x(x－1)＝1035
C．x(x－1)＝1035×2
D．2x(x＋1)＝1035
B
阶段综合测试一┃ 试卷讲练
2．生物兴趣小组的同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是________________．
3．某地举行一次乒乓球比赛，在女子单打的第一轮比赛中，每一个选手都和其他选手进行一场比赛，优胜者将参加下一轮比赛．
(1)如果第一轮有10名选手参加比赛，则一共要进行________场比赛；
x(x－1)＝182
45
阶段综合测试一┃ 试卷讲练
(2)如果第一轮有n名选手参加比赛，则一共要进行________场比赛；
(3)如果第一轮共进行了300场比赛，则参加这次乒乓球女子单打比赛的选手共有多少名？
25名
阶段综合测试一┃ 试卷讲练
2．如图JD1－2所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长．
图JD1－2
阶段综合测试一┃ 试卷讲练
阶段综合测试一┃ 试卷讲练
【针对第23题训练 】
1．某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程为(　　)
A．25(1＋x)2＝64 B．25(1－x)2＝64
C．64(1＋x)2＝25 D．64(1－x)2＝25
A
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是 ( )
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
D
2. 方程x2-3x+1=0的根的情况是( )

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D.只有一个实数根
A
3.下列一元一次方程中，有实数根的是
( )
A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0
C.x2+x-1=0 D.x2+4=0
C
1
例9：某公司成立３年以来，积极向国家上交利税，由第一年的２００万元，增长到８００万元，则平均每年增长的百分数是＿＿＿＿
100％
例10：已知ｍ是方程ｘ２－ｘ－１＝０的一个根，则代数ｍ２－ｍ的值等于
１
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1：写出一个3到4之间的无理数 。
二次根式估算
B
c
A
C
D
D
(1)你能举出生活中的中心对称图形吗？
(2)下面的扑克牌中，哪些牌的牌面是中心对称图形？
议一议
判断下列图形是中心对称图形还是轴对称图形?是中心对称图形指明对称中心。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
已知：下列命题中真命题的个数是（ ）
①关于中心对称的两个图形一定不全等
②关于中心对称的两个图形是全等图形
③两个全等的图形一定关于中心对称

A 0 B 1 C 2 D 3
B
1.平面图形的旋转一般情况下改变图形的（ ）
A.位置 B.大小 C.形状 D.性质

2. 九点钟时，钟表的时针与分针的夹角是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.把一个正方形绕它的中心旋转一周和原来的图形重合______

5.钟表上的时针随时间的变化而转动，这可以看做的数学上的____

6.钟表的分针经过20分钟，旋转了 ° .
7.等边三角形至少旋转 °才能与自身重合.

8.如图，△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得到
的△ABB1是 三角形。
4:下列四个多边形：
①等边三角形；②正方形；③正五边形；
④正六边形．
其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
2.在①线段、 ②角、 ③等腰三角形、 ④等腰梯形、⑤平行四边形、 ⑥矩形、 ⑦菱形、 ⑧正方形和⑨圆中，是轴对称图形的有______________,是中心对称图形的有____________,既是轴对称图形又是中心对称图形的有____________.
①⑤⑥⑦⑧⑨
①②③④⑥⑦⑧⑨
①⑥⑦⑧⑨
巩固提高
在26个英文大写正体字母中，哪些字母是中心对称图形？哪些字母是轴对称图形？
A B C D E F G H I J K L M
N O P Q R S T U V W X Y Z
1.若关于x的一元二次方程
的常数项为0,则m=______.
4(x＋1)2 = 9(2x－5)2
解方程：
课时训练
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况
是 ( )
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
D
2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D.只有一个实数根
A
3.下列一元一次方程中，有实数根的是
( )
A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0
C.x2+x-1=0 D.x2+4=0
C
1.关于x的方程
在什么条件下是一元二次方程？
在什么条件下是一元一次方程？
课堂练习
?
A.1 B.-1 C.1或-1 D.0
B
知识纵横
-1
1
2
A 3＜x ＜3.23
C 3.24＜x ＜3.25
D 3.25＜x ＜3.26
B 3.23＜x ＜3.24
C
2.用配方法解一元二次方程x2-4x=5的过程中，配方正确的是( )
(A)（x+2)2=1 (B)(x-2)2=1
(C)(x+2)2=9 (D)(x-2)2=9
【解析】选D.由x2-4x=5，得x2-4x+4=5+4，即（x-2）2=9.
4、若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是-2，则另一个根是______.
【解析】把x=-2代入方程x2+(k+3)x+k=0得(-2)2+(k+3)×(-2)+k=0,
解得k=-2,
∴此方程为x2+x-2=0,
解得x1=1,x2=-2,
∴此方程的另一个根为x=1.
答案：1
3.钟表的分针经过40分钟，那么它转过的角度是( )
(A)120° (B)240° (C)150° (D)160°
【解析】选B.分针1分钟旋转6°，那么40分钟就旋转了240°.
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(2010·常州中考)下列运算错误的是( )
【解析】选A.在该题中 和 是不能合并的，所以A是错的.
2．(2010·山西中考)估算 -2的值( )
(A)在1和2之间 (B)在2和3之间
(C)在3和4之间 (D)在4和5之间
【解析】选C.∵25＜( )2=31＜36，∴5＜ ＜6，∴3＜
-2＜4，所以答案选C.
3． 的值为( )
(A)3 (B)-3 (C)±3 (D)-9
【解析】选B. =-|-3|=-3，答案选B.
4．(2010·中山中考)下列式子运算正确的是( )


【解析】选D. 和 是不能合并的，所以A是错的； =2 ,
所以B是错的； ，所以C是错的.答案选D.
二、填空题(每小题6分，共24分)
6.(2010·青岛中考)化简： =_____.
【解析】
答案：
7．若实数x,y满足 +(y- )2=0,则xy的值是_____．
【解析】由题意可得x+2=0,y－ =0.
∴x=－2,y= ，∴xy=－2 .
答案：-2
8．化简:(2+ )2 011(2－ )2 010=_____.
【解析】原式=(2+ )(2+ )2 010(2－ )2 010
=(2+ )［(2+ )(2－ )］2 010
=(2+ )(4－ )2 010=2+ .
答案：2+
13．(12分)观察下列分母有理化的计算：


从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
【解析】
类型三 二次根式的运算
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(2010·常州中考)下列运算错误的是( )
【解析】选A.在该题中 和 是不能合并的，所以A是错的.
2．(2010·山西中考)估算 -2的值( )
(A)在1和2之间 (B)在2和3之间
(C)在3和4之间 (D)在4和5之间
【解析】选C.∵25＜( )2=31＜36，∴5＜ ＜6，∴3＜
-2＜4，所以答案选C.
3． 的值为( )
(A)3 (B)-3 (C)±3 (D)-9
【解析】选B. =-|-3|=-3，答案选B.
4．(2010·中山中考)下列式子运算正确的是( )


【解析】选D. 和 是不能合并的，所以A是错的； =2 ,
所以B是错的； ，所以C是错的.答案选D.
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二次方程，请说明理由？
1、(x－1)２＝４
２、x2－2x=8
４、x２＝y+１
5、x３－２x２＝１
6、ax2 + bx + c＝１
×
√
√
×
×
×
2
3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a= ;
2
4、写出一个根为2，另一个根为5的一元二次方程 。
≠－ 2
填一填
2、已知一元二次方程x2=2x 的解是（ ）
（A）0 （B）2 （C）0或-2 （D）0或2
D
1、已知一元二次方程(x+1)(2x－1)=0的解是（ ）
（A）-1 （B）1/2 （C）-1或-2 （D）-1或1/2
D
选一选
用适当的方法解下列方程
选择适当的方法解下列方程
（5）x（2x-7）=2x
（6）x²+4x=3
（7）x²-5x=-4
（8）2x²-3x-1=0
(9) (x-1)(x+1)=x
(10) x (2x+5)=2 (2x+5)
(11) (2x－1)2=4(x+3)2
(12) 3(x-2)2－9=0
已知方程x2+kx = - 3  的一个根是-1，则k= , 另一根为______
4
x=-3
6
解方程：
解方程：

下列各式中，是二次根式的有几个?
?
(x﹥0),
(a,b 异号)
快速反应
4
2
6

(7)

,

a

(6)
-ab

(5)
2x
-
(4)

,
18

(3)

6,

(2)

,
4

(1)
2
+
-
快速反应
x取何值时,下列各式有意义?
+
能力小测验
已知a.b为实数，且满足 求a与b 的值.
随堂练习：
练一练:

利用算术平方根的意义填空:
(a≥0)
0
4
0.01
观察上述等式的两边,你有什么结论?
说出下列各式的结果
练一练:
在实数范围内因式分解:4 - 3
试试你的反应
∵
∴
解:
再来算一算：
（2）
（-5）2
=
5
(x﹤y)
(x>0 )
讨论与思考
将下列各式化简：
因为难,所以我挑战!
点击中考:
( 2005年·河南省)实数p在数轴上的位置如图所示，化简
知识纵横
某百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
第22章讲练 ┃ 试卷讲练
数学·新课标（RJ）
第22章讲练 ┃ 试卷讲练
1 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

A
B
C
D
2.已知 是关于x的一元二次方程，则m =_______________.

3.将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化为一元二次方程的一般式是_________________________.
4 一元二次方程 x2=2x的根是 (　　)
A．x=2 B. x=0
C．x1=0,x2=2 D． x1=0,x2= -2
5 已知方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则是a - b的值为(　　)
A．-1 B. 0 C．1 D．2
6 已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根为2，则m=_____,另一个根是______.
用合适的方法解下列方程
（1） （2x+1)2-25=0
（2） 2x2-7x-2=0
（3）（x+2)2=3(x+2)
（4） x2+x-6=0
►　考点三　一元二次方程根的情况
一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)根的情况与b2－4ac的值有关．
1．b2－4ac>0⇔方程有___________的实数根．
2．b2－4ac＝0⇔方程有___________的实数根．
3．b2－4ac<0⇔方程____________实数根．
[注意] b2－4ac≥0时一元二次方程有实数根．
两个不相等
两个相等
没有
1 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是(　　)
A．x2＋1＝0 B．9x2－6x＋1＝0
C．x2－x＋2＝0 D．x2－2x－1＝0
1.（2011•扬州）某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是_______．
4. (2011•宿迁）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 ____m（可利用的围墙长度超过6m）．
5.（2011•芜湖）如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（x2+17）cm，正六边形的边长为（x2+2x）cm （其中x＞0）．求这两段铁丝的总长.