九年级数学上册期末复习
计算下列各题，并概括二次根式的
运算的一般 步骤：
计 算：
2、解方程
3. 已知x2 - 4x+1=0,不解方程求（x－ ） 2
4、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：　
　x1+x2= ；　x1·x2= ；　　　　
x12+x22=
｜x1－x2｜=
(X1+X2)2－2X1X2
5．α，β是方程x2+2x-5=0的两根，则
　　α2+αβ+2α=_______
6、已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β,求
的值
αβ=－5, α2+2α=5
αβ=1 α+β=－3
α,β均为负数
已知⊙O的半径为5， 圆心O的坐标为（0，0） ，点P的坐标为（4，2），则点P与 ⊙O的位置关系是（ ）
A 。 在⊙O内 B 。在⊙O上
C 。 在⊙O外 D。 不能确定
2. 两圆的半径分别为3 cm 和5 cm ,那么当两圆相切时，圆心距为_______________
3. Rt△ABC 的斜边AB=5， 直角边AC=3，若AB与⊙C相切，则⊙C的半径为_______________ cm
A
8 cm或2 cm

练一练
2.4
4. 如图，已知A点的坐标为（0，3） ， ⊙A的半径为1，点B的坐标为（4，0）， ⊙B的半径为3，则⊙A与⊙B的位置关系为_____________
外离
O
X
Y
B
A
5. ⊙O的半径为2 cm， 直线L上有一点P，且PO= 2cm ,则⊙O与L的位置关系是（ ）
A 相离 B 相离或相切
C 相切 D 相切或相交
D
6. ⊙O的半径为6 cm ， ⊙O的一条弦AB的长为 cm ,以3 cm为半径的⊙O的同心圆与AB的关系是（ ）
A 相离 B 相切
C 相交 D 不能确定
B
O
A
B
C
探究1 如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为10 cm，
圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为
t（s）
问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
（2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
B
A
C
10
(O)
探究1 如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为10 cm，
圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为
t（s）
问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
（2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
B
A
C
O
10
探究1 如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为10 cm，
圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为
t（s）
问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
（2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
B
A
C
O
10
探究1 如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为10 cm，
圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为
t（s）
问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
（2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
B
A
C
10
探究1 如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为10 cm，
圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为
t（s）
问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
（2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
B
A
C
10
探究1 如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为10 cm，
圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为
t（s）
问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
（2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
B
A
C
10
O
探究1 如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为10 cm，
圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为
t（s）
问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
（2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
B
A
C
10
O
探究1 如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为10 cm，
圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为
t（s）
问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
（2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
B
A
C
10
探究1 如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为10 cm，
圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为
t（s）
问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
（2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
B
A
C
10
O
探究1 如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为10 cm，
圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为
t（s）
问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
（2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
B
A
C
10
O
探究1 如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为10 cm，
圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为
t（s）
问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
（2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
B
A
C
10
解（1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切6次。
（2）① 当圆心O在_____上时
AB
探究1 如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为10 cm，
圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为
t（s）
问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
（2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
B
A
C
10
解（1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切6次。
（2）① 当圆心O在_____上时
AB
②当圆心O在_____上时
BC
O
探究1 如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为10 cm，
圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为
t（s）
问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
（2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
B
A
C
10
解（1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切6次。
（2）① 当圆心O在_____上时
AB
②当圆心O在_____上时
BC
O
探究1 如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为10 cm，
圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为
t（s）
问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
（2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
解（1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切6次。
（2）① 当圆心O在AB上时
作OD⊥ AC于D
②当圆心O在BC上时
∵ OD=r= 时⊙O与 AC相切
∵ Rt△AOD中∠ A=60°∴ ∠ AOD=30°
设AD=x ， AO=2AD=2x
即
得x=1
∴AD=1 ， AO=2
∴BO=8
∴t=8 2=4s时，⊙O与 AC相切
B
A
C
O
D
X
2X
10
探究1 如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为10 cm，
圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为
t（s）
问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
（2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
解（1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切6次。
（2）① 当圆心O在AB上时
作OD⊥ AC于D
②当圆心O在BC上时
∵ OD=r= 时⊙O与 AC相切
∵ Rt△AOD中∠ A=60°∴ ∠ AOD=30°
设AD=x ， AO=2AD=2x
即
得x=1
∴AD=1 ， AO=2
∴BO=8
∴t=8 2=4s时，⊙O与 AC相切
作OE⊥ AC于E
∵ OE=r= 时⊙O与 AC相切
此时，得CO=AO=2
∴t=22 2=11s时，⊙O与 AC相切
点O移动距离为22
∴t = 4s 或 11s 时， ⊙O与 AC相切
B
A
C
10
O
E
X
2X
D
O
探究2 如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线
A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD以1cm/s的速度移动，如果
点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，
设运动时间为t（s）
问： 如果⊙P 与⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时， ⊙P 与⊙Q外切？
A
B
C
D
(P)
(Q)
解： 当PQ=4cm时， ⊙P 与⊙Q外切
1）如果点P在AB上运动
20
4
2） 如果点P在BC上运动，
3） 如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧，
4） 如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧，
探究2 如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线
A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD以1cm/s的速度移动，如果
点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，
设运动时间为t（s）
问： 如果⊙P 与⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时， ⊙P 与⊙Q外切？
A
B
C
D
P
Q
根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形 ，
∵AP=4t ， CQ=t ， DQ= CD-CQ=20-t
∴4t =20-t 解得 t=4（s）
解： 当PQ=4cm时， ⊙P 与⊙Q外切
1）如果点P在AB上运动，
∴t为 4s时，⊙P 与⊙Q外切。
只有当四边形APQD为矩形时，PQ=4cm，
20
4
探究2 如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线
A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD以1cm/s的速度移动，如果
点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，
设运动时间为t（s）
问： 如果⊙P 与⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时， ⊙P 与⊙Q外切？
A
B
C
D
P
Q
解： 当PQ=4cm时， ⊙P 与⊙Q外切
此时，t 5，
2）如果点P在BC上运动，
则CQ 5，
PQ 5 〉4，
∴ ⊙P 与⊙Q外离。
4
20
探究2 如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线
A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD以1cm/s的速度移动，如果
点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，
设运动时间为t（s）
问： 如果⊙P 与⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时， ⊙P 与⊙Q外切？
A
B
C
D
P
Q
解： 当PQ=4cm时， ⊙P 与⊙Q外切
3）如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧，
可得CQ=t，CP=4t-24，
当CQ-CP=4时， ⊙P 与⊙Q外切
此时，t-（4t-24）=4
解得t= （s）
20
4
探究2 如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线
A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD以1cm/s的速度移动，如果
点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，
设运动时间为t（s）
问： 如果⊙P 与⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时， ⊙P 与⊙Q外切？
A
B
C
D
P
Q
解： 当PQ=4cm时， ⊙P 与⊙Q外切
4）如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧，
当CP-CQ=4时， ⊙P 与⊙Q外切
此时，4t-24-t=4
解得t= （s）
∵点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11s，
∴当t为4s ， s， s时， ⊙P 与⊙Q外切
点Q从C开始沿CD边移动到D
需要20s，
而 〈 11
4
20
∵ CQ=t，CP=4t-24，