第二章 点、直线、平面之间的位置关系
复习课(知识点回顾)
知识点回顾
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
空间直线、平面的位置关系
直线与直线的位置关系
直线与平面的位置关系
平面与平面的位置关系
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面平行
直线与直线垂直
直线与平面垂直
平面与平面垂直
空间平行关系之间的转化
空间垂直关系之间的转化
本章知识结构
1.平面的概念与表示
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
公理2 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
2.四个公理
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论1  经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
3.三个推论
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行(平行公理)
典型例题
1、如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、
BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.
求证：B、D、O三点共线
证明 ∵E∈AB，H∈AD，
∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.
∴EH平面ABD.
∵EH∩FG=O，∴O∈平面ABD.
同理可证O∈平面BCD，
∴O∈平面ABD∩平面BCD，即O∈BD，
所以B、D、O三点共线.
2
1. 异面直线的概念
定义:我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
2.空间两条直线的位置关系
(1)相交直线—在同一平面内,有且仅有一个公共点
(2)平行直线——在同一平面内，没有公共点
(3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点
4.等角或补角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
直线与直线的位置关系
5. 异面直线所成的角
定义：过空间任意一点Ｏ，与异面直线a和b分别平行的直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角(或夹角)．
两条异面直线所成的角的范围
6.两条异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
直线与直线的位置关系
典型例题
1.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，
M、N分别是A1B1，B1C1的中点.问：
（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；
（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.
典型例题
1.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，
M、N分别是A1B1，B1C1的中点.问：
（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；
（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.
（2）是异面直线，证明如下：
假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，
则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.
∴BC平面CC1D1，
这与正方体ABCD—A1B1C1D1中
BC⊥面CC1D1相矛盾.
∴假设不成立，
故D1B与CC1是异面直线.
2
直线与平面的位置关系
1.直线在平面内:
--------有无数个公共点
2.直线与平面相交
------有且只有一个公共点
3.直线与平面平行
--------没有公共点
直线在平面外
平面与平面的位置关系
1.两个平面平行
------没有公共点
2.两个平面相交
------有一条公共直线
1.判定定理：平面外的一条直线和平面内的一 条直线平行，则该直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定与性质
简记为:线线平行，则线面平行。
2.性质定理:如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
简记为:线面平行，则线线平行。
典型例题
“线线平行”与“线面平行”的转化问题
1．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E是PD的中点.
求证：PB║平面AEC。
【分析】 证明本题的关键：在平面EAC中
“找”一条与PB平行的直线，由于
点E在平面PBD中，
所以可以在平面PBD
中过点E“找”（显然，
要“找”的直线就是
平面PBD与平面EAC的交线）。
最终将“线面平行”问题转化为
“线线平行”问题。
典型例题
“线线平行”与“线面平行”的转化问题
1．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E是PD的中点.
求证：PB ∥平面AEC。
O
P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB，PD上的中点 。
求证：MN∥平面PBC。
2
S
3.ABCD是平行四边形，点Ｐ是平面
ABCD外一点，Ｍ是ＰＣ的中点，在ＤＭ
上取一点Ｇ，过Ｇ和ＡＰ作平面交平面
ＢＤＭ于ＧＨ．
求证：ＡＰ//ＧＨ
Ｐ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｍ
Ｇ
Ｈ
Ｏ
提示：连结AC交BD于O，连结OM
平面和平面平行的判定与性质
简记为:线面平行,则面面平行.
1.判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
2.性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
简记为:面面平行,则线线平行.
3.两个平面平行的一个性质:
若两个平面平行,则一个平面内的所有直线都平行于另一个平面.
典型例题
“线面平行”与“面面平行”的转化问题
1:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中，
E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、
CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a
求证： MN // 平面ADD1A1；
【分析】本题如果利用“线线平
行”找“线”比较复杂以，所以
我们可以考虑利用“面面平行”
来将问题转化。关键是：考虑
到点M、N都是中点，于是我们
就轻松的可以找到另一个比较
特殊的中点K（CD的中点），
将“线面平行”问题转化为“面面
平行”问题。
典型例题
“线面平行”与“面面平行”的转化问题
1:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中，
E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、
CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a
求证： MN // 平面ADD1A1；
K
【证明】取CD的中点K，
连结MK、NK，
∵M、N、K分别AK、
CD1、CD为的中点。
∴ MK //AD，NK //DD1，
∴MK //平面ADD1A1，
NK //平面ADD1A1，
而MK∩ NK=K，
MK、 NK在平面MNK内，
∴平面MNK //平面ADD1A1
∴ MN //平面ADD1A1。
2.已知三棱柱ABC—A1B1C1中， D是AC的中点。
①求证：AB1//平面DBC1
求证：面AB1D1//平面DBC1
② D1是A1C1的中点。
D1
P
B1 D1∥BD,AD1∥C1D
直线和平面垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直的概念
2．直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
简记为:线线垂直，则线面垂直。
两条平行直线中的一条垂直一个平面,则另一条直线也垂直这个平面.
3．直线与平面垂直的另一种判定方法
直线和平面垂直的判定与性质
4.直线与平面所成的角
定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
直线与平面所成的角的范围α:
00≤α ≤900
5.直线与平面垂直的性质定理
定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.
典型例题
“线线垂直”到“线面垂直”
如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱。
求证：BD⊥平面ACC1A1。
【解】 根据直线与平面平行
的判定定理很容易找到两条
相交的直线AC、C1C与BD
垂直。
典型例题
“线线垂直”到“线面垂直”
如图4, 已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD
的高分别为1和2, AB=4。求证：PQ ⊥平面ABCD。
【解】取AD的中点M，连接PM、QM。
因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，
所以AD ⊥PM，AD ⊥QM。
从而AD ⊥平面PQM。
又PQ 平面PQM，所以PQ⊥AD。
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD。
M
从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
１．二面角的定义：
2.二面角的表示:
或
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
３．二面角平面角的定义：
４．两个平面垂直的定义：
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
.P
.Q
O
A
B
平面和平面垂直的判定与性质
平面和平面垂直的判定与性质
５．面面垂直的判定定理
定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直.
简记为:（线面垂直，则面面垂直 ）
6.平面与平面垂直的性质定理
定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
简记为:面面垂直，则线面垂直
7.另一个性质:两个平面垂直,过一个平面的一点作另一个平面的垂线,必在第一个平面内.
典型例题
二面角与二面角的平面角问题
【06广东】 如图所示AF，DE、分别是圆O、圆O1的直径，AD
与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是圆O的直径，AB=AC=6
，OE // AD。求二面角B—AD—F的大小；
【解】∵AD与两圆所在的平面均垂直，
∴AD⊥AB，AD⊥AF，
故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角，
依题意可知，ABFC是正方形，
所以∠BAF＝450.
即二面角B—AD—F的大小为450；
参考课本
P73习题2.3A 3、4、B-1
一些常用结论
1.三条两两相交的直线可确定1个或3个平面.
2.不共面的四点可确定4个平面.
3.三个平面两两相交,交线有1条或3条.
4.正方体各面所在平面将空间分成27个部分.
5.夹在两个平行平面之间的平行线段相等.
6.平行于同一个平面的两个平面平行.
7.垂直于同一条直线的两个平面平行.
一些常用结论
8.过一点作已知平面的垂线有且只有1条.
9.过直线外一点作已知直线的平行线有且只有1条.
10.过一点作已知直线的垂面有且只有1个.
11.过平面外一点作已知平面的平行平面有且
只有1个
12.如图,若PA=PB=PC,则O 是△ABC的外心.
13.如图,若PA,PB,PC两两垂直,则O 是△ABC的垂心.
14.如图,若点P到三边的距离相等(即PD=PE=PF),则O是△ABC的内心.