匀变速直线运动的速度与时间的关系
一、匀变速直线运动
1.定义：沿着一条直线,且_______不变的运动。
2.匀变速直线运动的v-t图像：是一条___________。
3.分类：
(1)匀加速直线运动：速度随时间_________的匀变速直线运动。
(2)匀减速直线运动：速度随时间_________的匀变速直线运动。
加速度
倾斜的直线
均匀增加
均匀减小
【自我思悟】
1.加速度大小不变的直线运动一定是匀变速直线运动吗?
提示：不一定,加速度是矢量,既有大小也有方向,只有加速度的大小和方向都不变的直线运动才是匀变速直线运动。
2.加速度不变的运动一定是匀变速直线运动吗?
提示：不一定,加速度不变时,物体可以做曲线运动(后面要学到),只有加速度不变的直线运动才是匀变速直线运动。
二、速度与时间的关系式
1.速度公式：v=_____。
2.对公式的理解：做匀变速直线运动的物体,在t时刻的速度v
等于物体在开始时刻的______加上在整个过程中速度的_____
_____。
v0+at
速度v0
变化
量at
【自我思悟】
1.取初速度的方向为正方向,若求出速度v的值为负值,说明什么问题?
提示：速度为负值,说明此时物体的速度与初速度的方向相反,即物体减速到零后又反向加速运动了。
2.物体的初速度越大,加速度越大,运动时间越长,则由公式v=v0+at知物体的末速度一定越大。这句话正确吗?
提示：不正确。由公式v=v0+at知,当物体做匀加速运动时,初速度越大,加速度越大,运动时间越长,则物体的末速度越大。而当物体做匀减速运动时,末速度可能反而越小。
【盲区扫描】
1.匀变速直线运动的速度是均匀变化的(即均匀增加或均匀减小),而加速度是不变的。
2.速度均匀变化是指在任意相等时间内速度的变化量相同,不是指速度的大小均匀变化。
3.应用公式v=v0+at求解问题时,一般取初速度的方向为正方向。
4.匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线,反映的是物体速度随时间的变化规律,而不是运动的轨迹。
一、匀变速直线运动的v-t图像　 深化理解
1.匀速直线运动的v-t图像：
(1)形状：由于匀速直线运动的速度保持不变,所以其v-t图像是一条平行于时间轴的直线,如图甲所示。
(2)运动速度：从图像中可以直接读出速度的大小和方向。
2.匀变速直线运动的v -t图像：如图乙所示,匀变速直线运动的v -t图像是一条倾斜的直线。
(1)直线a反映了速度随着时间是均匀增加的,为匀加速直线运动的图像。
(2)直线b反映了速度随着时间是均匀减小的,为匀减速直线运动的图像。
(3)直线c反映了速度随着时间先均匀减小,后均匀增加,由于加速度不变,整个运动过程也是匀变速直线运动。
3.v -t图像的应用：通过v -t图像,可以明确以下信息：
【微思考】
如图所示为某物体运动的v-t图像,请思考：
(1)物体在0～t2时间内的加速度是否发生变化?物体是否做匀变速直线运动?
提示：尽管0～t2时间内图像穿过了横轴,但倾斜程度没变,斜率没变,所以加速度没变,是匀变速直线运动。
(2)试说明物体做什么运动?
提示：物体在0～t1时间内速度均匀减小,做匀减速直线运动;物体在t1～t2时间内速度为负值,速度方向反向了,且均匀增加,做匀加速直线运动。
【题组通关】
【示范题】(2013·苏州高一检测)如
图所示为某质点的v-t图像,则下列说
法中正确的是(　　)
A.在0～6s内,质点做匀变速直线运动
B.在6～10s内,质点处于静止状态
C.在4s末,质点向相反方向运动
D.在t=12s末,质点的加速度为-1m/s2
【解题探究】
(1)如何判断v-t图像中物体速度大小和方向的变化情况?
提示：图像纵坐标的变化规律反映了速度的变化规律,纵坐标的正负表示速度的方向,纵坐标大小的变化表示速度大小的变化。
(2)如何判断v-t图像中物体加速度的变化情况?
提示：图像的斜率大小表示加速度的大小,正负表示加速度的方向。
【规范解答】选D。质点在0～4s内做加速度为1.5m/s2的匀加速直线运动,在4～6s内做加速度为-1m/s2的匀减速直线运动,在6～10s内以4m/s的速度做匀速运动,在10～14s内做加速度为-1m/s2的匀减速直线运动。综上所述只有D选项正确。
【通关1+1】
1.(2014·宿州高一检测)如图是物体做
直线运动的v-t图像,由图像可得到的正
确结论是(　　)
A.t=1s时物体的加速度大小为1.0m/s2
B.t=5s时物体的加速度大小为0.75m/s2
C.第3s内物体的位移为1.5m
D.物体在加速过程的位移比减速过程的位移大
【解析】选B。v-t图像中图像的斜率表示物体运动的加速度;
图像与时间轴围成的面积表示物体通过的位移。物体在前2s内
做匀加速直线运动,其加速度保持不变,a= =1.5m/s2,所以A
选项错误;物体在后4s内做匀减速直线运动,其加速度保持不
变,a= =-0.75m/s2,所以B正确;第3s内物体做匀速直线运动,
位移为3m,所以C错误;通过比较面积可以得到加速过程的位移
比减速过程的位移小,D错。
2.(多选)(2013·哈尔滨高一检测)如图
所示,三条直线描述了a、b、c三个物体
运动的规律,由此可知(　　)
A.三个物体都做匀变速运动
B.三个物体都做匀加速运动
C.a物体速度变化最快
D.c物体运动的加速度最小
【解析】选A、C。三个物体的v-t图像都是倾斜的直线,表明三个物体都做匀变速直线运动,其中a、b反映了速度随时间均匀增加,物体做匀加速直线运动,c反映了速度随时间均匀减小,物体做匀减速直线运动,A对,B错。直线a的斜率最大,表明a的加速度最大,速度变化最快,b的斜率最小,表明b的加速度最小,C对,D错。
【变式训练】1.(多选)(2014·南京高一检测)在图中,表示物体做匀加速运动的图像是(　　)
【解析】选A、D。A项中物体的速度、加速度都是负值,方向相同,做匀加速直线运动;D项中物体的速度、加速度都是正值,方向相同,做匀加速直线运动,选A、D。
2.甲、乙两车从同一地点沿同一方向出发,
如图是甲、乙两车的速度图像,由图可知
(　　)
A.甲车的加速度大于乙车的加速度
B.t1时刻甲、乙两车的加速度相等
C.t1时刻甲、乙两车相遇
D.0～t1时间内,甲车的平均速度大于乙车的平均速度
【解析】选D。由所给甲、乙两车的速度图像的斜率知,甲车的加速度小于乙车的加速度,A、B错。t1时刻甲、乙两车速度相等,由于之前甲车的速度一直大于乙车的速度,故此时甲车位于乙车的前方,C错。由甲、乙两车的速度图像与时间轴所围图形的面积知,0～t1时间内,甲车比乙车的位移大,故该段时间内甲车的平均速度大于乙车的平均速度,D对。
【素养升华】
应用v -t图像时的三点注意
(1)加速度是否变化看有无折点,在折点位置,图线的斜率改变,表示此时刻物体的加速度改变。v -t图像为曲线,可认为曲线上处处是折点,加速度时刻在改变。
(2)速度方向是否改变看与时间轴有无交点,在与时间轴的交点位置,纵坐标的符号改变,表示物体的速度方向改变。
(3)v-t图像只能描述直线运动,无法描述曲线运动。
二、对速度公式v=v0+at的进一步理解 深化理解
1.适用条件：公式v=v0+at只适用于匀变速直线运动,对于非匀变速直线运动不适用。
2.主要应用：公式v=v0+at反映了初速度v0、加速度a、时间t、末速度v之间的关系,当其中三个物理量已知时,可求另一个未知量。
3.公式的矢量性：公式v=v0+at中的v0、v、a均为矢量,应用公式解题时,首先应选取正方向。
一般以v0的方向为正方向,此时匀加速直线运动a>0,匀减速直线运动a<0。对计算结果v>0,说明v与v0方向相同;v<0,说明v与v0方向相反。
4.两种特殊情况：
(1)当v0=0时,v=at。
由于匀变速直线运动的加速度恒定不变,表明由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比。
(2)当a=0时,v=v0。
就是说加速度为零的运动是匀速直线运动,也表明匀速直线运动是匀变速直线运动的特例。
5.速度公式v=v0+at与加速度定义式a= 的比较：
速度公式v=v0+at虽然是加速度定义式a= 的变形,但两式的适用条件是不同的：
(1)v=v0+at仅适用于匀变速直线运动。
(2)a= 还可适用于匀变速曲线运动。
【微思考】
(1)怎样理解公式v=v0+at中“at”的含义?
提示：由于加速度在数值上等于单位时间内速度的变化量,所以at就是时间t内速度的变化量。t时刻的速度v等于开始时物体的速度v0加上运动过程t中速度的变化量“at”。
(2)初速度与加速度方向相反的匀变速直线运动的速度一定是持续减小的吗?为什么?
提示：不一定。因为物体的速度减小到零后,若加速度仍存在且保持不变,则物体将反向做匀加速直线运动。
【题组通关】
【示范题】(2014·哈尔滨高一检测)汽车在平直路面紧急刹车时,加速度的大小是6m/s2,如果必须在2s内停下来,汽车的行驶速度最高不能超过多少?如果汽车以最高允许速度行驶,必须在1.5s内停下来,汽车在刹车的过程中加速度至少多大?
【解题探究】(1)汽车经过某过程“停下来”,其隐含着什么
条件?
提示：经过某过程“停下来”,意味着汽车的末速度为零。
(2)汽车刹车时,它的加速度是否一定为负值?
①若取初速度方向为正,则加速度为_____;
②若取初速度方向为负,则加速度为_____。
负值
正值
【规范解答】(1)以初速度方向为正方向
汽车的加速度a=-6m/s2,运动时间t=2s,末速度v=0
由公式v=v0+at代入数值得v0=12m/s=43.2km/h
(2)仍以初速度方向为正方向,汽车的初速度v0=12m/s
运动时间t′=1.5s,末速度v=0
由公式v=v0+a′t′,代入数值得a′=-8m/s2
答案：43.2km/h　8m/s2
【通关1+1】
1.(2013·连云港高一检测)一辆匀加速行驶的汽车,经过路旁
两根电线杆共用5s时间,汽车的加速度为2m/s2,它经过第2根电
线杆时的速度为15m/s,则汽车经过第1根电线杆的速度为(　　)
A.2m/s　　　B.10m/s　　　C.2.5m/s　　　D.5m/s
【解析】选D。由题意知v=15m/s,a=2m/s2,t=5s,根据v=v0+at
得,v0=v-at=15m/s-2×5m/s=5m/s,D正确。
2.质点从静止开始做匀加速直线运动,经4s后速度达到20m/s,然后匀速运动了10s,接着经4s匀减速运动后静止。求：
(1)质点在加速运动阶段的加速度为多大?
(2)质点在16s末的速度为多大?
【解析】(1)设加速运动阶段的加速度为a1,则
a1= m/s2=5m/s2。
(2)设减速运动阶段的加速度为a2,则v2=v1+a2t2,其中v2=0,
v1=20m/s,所以a2= m/s2=-5m/s2,当t=16s时,
质点已减速运动了t3=2s,此时质点的速度为v3=v1+a2t3=
20m/s-5×2m/s=10m/s。
答案：(1)5m/s2　(2)10m/s
【变式训练】1.以6m/s的速度在水平面上运动的小车,如果获得2m/s2与运动方向同向的加速度,它的速度增加到10m/s所经历的时间为(　　)
A.5s　　　　B.2s　　　　C.3s　　　　D.8s
【解析】选B。由速度公式v=v0+at得,运动时间t=
=2s,选项B正确。
2.(2013·徐州高一检测)第十二届迪拜国际航空展于2011年11月13日开幕。图为K8教练机上演精彩空中表演。设K8教练机的速度达到95m/s时即可升空,假定K8教练机从静止滑跑时以3.5m/s2的加速度做匀加速直线运动,则从启动到起飞共滑行多长时间?
【解析】由题意知教练机初速度v0=0,末速度v=95m/s,加速度
a=3.5m/s2,由v=v0+at得t= s=27.1s。
答案：27.1s
【资源平台】备选角度：速度公式在多过程中的应用
【示范题】火车沿平直铁轨匀加速前进,通过某一路标时的速度为10.8 km/h,1 min后变成了54 km/h,又需经多少时间,火车的速度才能达到64.8 km/h?
【标准解答】解法一：三个不同时刻的速度分别为：
v1=10.8km/h=3m/s、v2=54km/h=15m/s、v3=64.8km/h=18m/s,
时间t1=1min=60s
所以加速度a= m/s2=0.2 m/s2
则时间t2= s=15 s
解法二：由速度公式v=v0+at得：
v2=v1+at1、v3=v2+at2。代入数据求得：t2=15s
答案：15s
速度公式在刹车问题中的应用
【案例剖析】(2013·成都高一检测)一汽车在平直的公路上以20m/s的速度匀速行驶,前面有情况需紧急刹车,刹车的加速度大小是8m/s2,刹车后可视为匀减速直线运动,求刹车3s后汽车的速度。
【精讲精析】设汽车从开始刹车到速度为零所用的时间为t,取汽车运动的方向为正方向。
由v=v0+at,得t= s=2.5s,汽车在2.5s末速度减为零而停下,汽车不再运动,所以3s后汽车的速度为零。
答案：0
【名师指津】(1)刹车问题：车辆刹车时可看作匀减速直线运
动直至速度变为零,所以刹车时车辆只在“刹车时间”内做匀
变速运动。刹车时间取决于初速度和加速度的大小。
(2)处理该类问题时应注意以下两点：
①明确车辆的刹车时间(车辆末速度变为零时所用的时间)。通
常可由t= 计算得出。并判断要研究的时长大于刹车时间
还是小于刹车时间。
②若要研究的时长小于刹车时间,则汽车在要研究的时间段内的实际运动时间等于时长;反之,实际运动时间等于刹车时间。
(3)常见错误：误认为汽车在给定的时间内一直做匀减速直线运动,简单套用速度公式v=v0+at,得出的速度出现负值。
【自我小测】
以72km/h的速度在平直公路上行驶的汽车,遇紧急情况而急刹车获得大小为4m/s2的加速度,试求刹车3s时和6s时汽车的速度。
【解析】取初速度方向为正方向,则v0= m/s=20m/s,a=
-4m/s2,设刹车经t0时间而停止运动,即末速度v=0,由v=v0+at0
得t0= s=5s;故在t0=5s末汽车速度为零,而汽车
在t1=3s仍处于运动状态,故在刹车3s时汽车速度为v1=v0+at1
=20m/s-4×3m/s=8m/s,在刹车6s时汽车已静止,速度为零。
答案：8m/s　0
【补偿训练】小球以10m/s的速度竖直向下落入泥潭中,可认为小球在泥潭中做加速度大小为6m/s2的匀减速直线运动,则小球1.5s末的速度为(　　)
A.0　　　　B.1m/s　　　　C.4m/s　　　　D.6m/s
【解析】选B。取初速度方向为正方向,则v0=10m/s,a=-6m/s2,
设小球经t0时间而停止运动,即末速度v=0,由v=v0+at0得t0=
=s=1.67s,故在t0=1.67s末小球速度为零,而小球
在t=1.5s仍处于运动状态,故小球在1.5s时速度为v1=v0+at=
10m/s-6×1.5m/s=1m/s。