第7章 机械能及其守恒定律
7、动能和动能定理
本节的重点内容有
1.动能的表达式（体会得出过程）
2.动能定理及含义理解
3.动能定理的初步应用
物体由于运动而具有的能量叫做动能。
在本章“1．追寻守恒量”中，已经知道
一、动能
复习引入：
物体动能表达式中可能包含v2这个因子。
二、动能的表达式推导
在光滑的水平面上有一个质量为m的物体，在与运动方向相同的水平恒力F的作用下发生一段位移l，速度由v1增加到v2，试用牛顿运动定律和运动学公式推导出力F对物体的做功与物体动能的关系。
三、动能的表达式
物体的动能等于物体的质量与物体速度的二次方的乘积的一半。
•单位：J
•标量
Δ说明：
（1）动能是标量，只有大小，没有方向。
（2）动能只有正值，没有负值。
动能定理
W合＝Ek2－Ek1
合力做的功
末态的动能
初态的动能
动能定理：合力对物体所做的功等于物体动能的变化。
1、合力做正功，即W合＞０，Ek2＞Ek1 ，动能增大
2、合力做负功，即W合＜０，Ek2＜Ek1 ，动能减小
3.动能定理理解
说明：对任何过程的恒力、变力；匀变速、非匀变速；直线运动、曲线运动；时间长或短过程、瞬间过程都能运用。
W合＝Ek2－Ek1
末动能
初动能
合力做的功即总功
总功的求法：
(1)W合= F合l cos(为合外力与运动方向的夹角)
(2) W合=W１＋W2 ＋…＋ Wn
动能的变化
Ek2－Ek1
合力做的功
代数和
动能增加
动能减少
恒力
直线
变力
曲线
例1.一架喷气式飞机，质量ｍ＝5×103 kg，当起飞过程中从静止开始滑跑的路程为l＝5.0×102ｍ时，达到起飞速度v＝60ｍ/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的k倍(ｋ＝0.02)，求飞机受到的牵引力。
四、动能定理应用
解：
由动能定理
mg
FN
F
f
解：对飞机
由动能定理有
F
f
4.确定始、末态的动能,根据动能定理列出更为具体的方程。
五、动能定理的解题步骤
FN
mg
例题2 :长度为L的细绳上端固定，下端拴一个质量为m的小球，将小球拉至与悬点等高的位置，然后无初速释放，求小球摆至最低点时的速率以及此时细绳对小球的拉力大小。
mg
F
例题3 物体从光滑斜面上高h处由静止滑下，然后又在摩擦因数为μ的水平面上滑动一段距离后停下来。如果不计物体在斜面底端跟地面相碰时动能的损失，求：(1)物体滑到斜面底端时的速度(2)物体在水平面上滑动的距离。
FN
mg
随堂练习
当重力对物体做正功时，物体的重力势能和动能可能的变化情况，下面哪些说法正确：A、重力势能一定增加，动能一定减小
B、重力势能一定减小，动能一定增加
C、重力势能不一定减小，动能一定增加
D、重力势能一定减小，动能不一定增加
随堂练习
关于动能的理解，下列说法正确的是：A、动能不变的物体，一定处于平衡状态
B、动能不可能是负的
C、一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化；但速度变化时，动能不一定变化
D、物体的加速度为零，其动能不变
随堂练习
一质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升1m，这时物体的速度2 m/s，则下列说法正确的是 ( )
A．手对物体做功 12J
B．合外力对物体做功 12J
C．合外力对物体做功 2J
D．物体克服重力做功 10 J
A C D
用拉力F使一个质量为m的木箱由静止开始在水平冰道上移动了s，拉力F跟木箱前进的方向的夹角为α，木箱与冰道间的摩擦因数为μ，求木箱获得的速度？
一、动能定理应用（与受力分析相结合）
二、动能定理
也适用于变力做功
导学练P91-T3一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于天花板上，小球在水平力F的作用下，从最低点P点缓慢地移到Q点，此时绳子转过了θ角，如图所示，则力F做的功为：
A．mgLcosθ 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　B．mgL(1－cosθ)
C．FLsinθ 　　　　　　　　　　　　　　　D．FLθ
mg
T
变力
三、动能定理
可以对全过程用动能定理
质量为m的小球从距沙坑表面h高处自由落下，进入沙坑，小球在沙坑中运动的最大深度为d，求小球在沙坑中运动受到的平均阻力大小。
对全过程:
mg
mg
f
三、动能定理
也适用于曲线运动
【例3】某同学从高为h 处以速度v0 水平抛出一个铅球，求铅球落地时速度大小。
光滑水平桌面上开一个小孔，穿一根细绳，绳一端系一个小球，另一端用力F向下拉，维持小球在水平面上做半径为r 的匀速圆周运动．现缓缓地增大拉力，使圆周半径逐渐减小．当拉力变为8F 时，小球运动半径变为r/2，则在此过程中拉力对小球所做的功是：
A.0 B.7Fr/2 C.4Fr D.3Fr/2
质量为m的跳水运动员从高为H的跳台上以速率v1 起跳，落水时的速率为v2 ，运动中受到空气阻力，那么运动员起跳后在空中运动克服空气阻力所做的功是多少？
解：
对象—运动员
过程---从起跳到落水
受力分析---如图所示
由动能定理
所以克服f做功为
例1.半径为R的金属环竖直放置，环上套有一质量为m的小球，小球开始时静止于最低点．现给小球一冲击，使它以初速度v0沿环上滑，已知v0＝ .求：
(1)若金属环光滑，小球运动到环的最高点时，环对小球作用力的大小和方向．
(2)若金属环粗糙，小球运动到环的最高点与环恰无作用力，小球从最低点运动到最高点的过程中克服摩擦力所做的功
如图，在水平恒力F作用下，物体沿光滑曲面从高为h1的A处运动到高为h2的B处，若在A处的速度为vA，B处速度为vB，则AB的水平距离为多大？
分析：A到B过程中，物体受水平恒力F，支持力N和重力mg的作用。三个力做功分别为Fs，0和-mg(h2-h1)
启示：动能定理不计
运动过程中瞬时细节,
可用于求解不规则
的曲线运动问题。
例2、一辆汽车的质量为m ，从静止开始起动，沿水平路面前进了x 后，达到了最大行使速度vm ，设汽车的牵引力功率保持不变，所受阻力为车重的k倍，求：
（1）汽车的牵引力功率
（2）汽车从静止开始到匀速运动所需时间
(1)kmgvmax（2）（vmax2+2kgx）/2kgvmax
答案
mg
N
F牵
f
一辆汽车的质量是1×105kg,该车从静止开始以额定功率在平直公路上行驶，经过40s，前进400m，速度达到最大值。如果车受的阻力始终是车重的0.05倍，问车的最大速度是多少?
mg
N
F牵
f
倾角θ=37°的斜面底端B平滑连接着半径r=0.40m的竖直光滑圆轨道。质量m=0.50kg的小物块，从距地面h=2.7m处沿斜面由静止开始下滑，小物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，求:(sin37°=0.6，cos37°=0.8,g=10m/s2)(1)物块滑到斜面底端B时的速度大小。(2)物块运动到圆轨道的最高点A时，对圆轨道的压力大小。
从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k（k<1）倍,而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求：(1)小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少？(2)小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？
例5：一质量为 m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点。小球在水平恒力F作用下，从平衡位置P点移动到Q点，细线偏离竖直方向的角度为θ，如图所示。则拉力F做的功是：
A. mgLcosθ B. mgL(1－cosθ)
C. FLsinθ D. FL
例4：一质量为 m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，细线偏离竖直方向的角度为θ，如图所示。则拉力F做的功是：
A. mgLcosθ B. mgL(1－cosθ)
C. FLcosθ D. FL
B
c
某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻气作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动。某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2 。以Ek1、 E k2表示卫星在这两个轨道上的动能， T1 、 T2表示卫星在这两上轨道上绕地运动的周期，则
（A）E k2 ＜ Ek1 T2 ＜ T1（B） E k2 ＜ Ek1 T2 ＞ T1 　　
（C） E k2 ＞ Ek1 T2 ＜ T1（D） E k2 ＞ Ek1 T2 ＞ T1
C
T10.AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。
T11．一物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为s，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同，求μ．
T12.质量为m的小球 ，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，受到空气阻力的作用 。通过轨道最低点，此时绳子的张力为7mg；此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功。
T.13 质量为500t的机车以恒定的功率由静止出发，经300s行驶2.25km，速度达到最大值15m/s，设阻力恒定且取g=10m/s2．求：(1)机车的功率P=？(2)机车的速度为10m/s时机车的加速度a=？
mg
N
F牵
f