7.7《动能和动能定理》
第一课时
一. 动能
1.物体由于运动而具有的能叫动能．
2.动能的大小：
3.动能是标量．
4.动能是状态量，也是相对量．因为Ｖ为瞬时速度，且与参考系的选择有关,公式中的速度一般指相对于地面的速度 ．
5.动能的单位与功的单位相同-----焦耳.
二、动能定理
1.合外力所做的功等于物体动能的变化,这个结论叫做动能定理.
2.动能定理的理解及应用要点:
(1)等式的左边为各个力做功的代数和，正值代表正功，负值代表负功。等式右边动能的变化，指末动能EK2=1/2mv22与初能EK1=1/2mv12之差.
(2)“增量”是末动能减初动能．ΔEK＞0表示动能增加，ΔEK＜0表示动能减小．
(3)在动能定理中,总功指各外力对物体做功的代数和．这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、电场力或其他的力等．
(4)动能定理适用单个物体，对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理．由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能（比如内能）的转化．
(5)各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不同时，分别求力做功，然后求代数和．
(6)有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态、受力等情况均发生变化，因而在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待.
(7)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系.一般以地面为参考系.
(8)若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，解题时可以分段考虑. 若有能力，可视全过程为一整体，用动能定理解题.
(9)动能定理中涉及的物理量有Ｆ、Ｓ、ｍ、ｖ、Ｗ、ＥＫ等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理。由于只需从力在整个位移内的功和这段位移始末两状态动能变化去考察，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于动能和功都是标量，无方向性，无论是直线运动或曲线运动，计算都有会特别方便。
总之，无论做何种运动，只要不涉及加速度和时间，就可考虑应用动能定理解决动力学问题。
例1、 钢球从高处向下落，最后陷入泥中，如果空气阻力可忽略不计，陷入泥中的阻力为重力的n 倍，
求：钢珠在空中下落的高度H与陷入泥中的深度h 的比值 H∶h =?
解: 画出示意图并分析受力如图示：
由动能定理，选全过程
mg(H+h)－nmgh=0
H + h = n h
∴H : h = n - 1
练习1、放在光滑水平面上的某物体，在水平恒力F的作用下，由静止开始运动，在其速度由0增加到v和由v增加到2v的两个阶段中，F对物体所做的功之比为 ( )
A.1∶1
B.1∶2
C.1∶3
D.1∶4
C
练习2、两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比m1∶m2=1∶2，速度之比v1∶v2=2∶1，两车急刹车后甲车滑行的最大距离为s1，乙车滑行的最大距离为s2，设两车与路面间的动摩擦因数相等，不计空气阻力，则( )
A.s1∶s2=1∶2
B.s1∶s2=1∶1
C.s1∶s2=2∶1
D.s1∶s2=4∶1
D
练习3、下列关于运动物体所受的合外力、合外力做功和动能变化的关系，正确的是 [ ]
A．如果物体所受的合外力为零，那么，合外力对
物体做的功一定为零
B．如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一
定为零
C．物体在合外力作用下作变速运动，动能一定变
化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零
A
练习4、一质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升1m，这时物体的速度2 m/s，则下列说法正确的是 ( )
A．手对物体做功 12J
B．合外力对物体做功 12J
C．合外力对物体做功 2J
D．物体克服重力做功 10 J
A C D
例2．如右图所示，水平传送带保持 1m/s 的速度运动。一质量为1kg的物体与传送带间的动摩擦因数为0.2。现将该物体无初速地放到传送带上的A点，然后运动到了距A点1m 的B点，则皮带对该物体做的功为 （    ）
A. 0.5J   B. 2J    
C. 2.5J   D. 5J
解: 设工件向右运动距离S 时，速度达到传送带的速度v，由动能定理可知 μmgS=1/2mv2
解得 S=0.25m，说明工件未到达B点时，速度已达到v，
所以工件动能的增量为     
△EK = 1/2 mv2 = 0.5×1×1= 0.5J
A
质量为m的跳水运动员从高为H的跳台上以速率v1 起跳，落水时的速率为v2 ，运动中遇有空气阻力，那么运动员起跳后在空中运动克服空气阻力所做的功是多少？
解：
对象—运动员
过程---从起跳到落水
受力分析---如图示
由动能定理
例4.
例5.如图所示，质量为m的物块从高h的斜面顶端O由静止开始滑下，最后停止在水平面上B点。若物块从斜面顶端以初速度v0沿斜面滑下，则停止在水平面的上C点，已知，AB=BC , 则物块在斜面上克服阻力做的功为 。（设物块经过斜面与水平面交接点处无能量损失）
解：设物块在斜面上克服阻力做的功为W1，
在AB或BC段克服阻力做的功W2
由动能定理 O→B
mgh -W1 –W2= 0
O→C
mgh -W1 –2W2= 0 - 1 /2 mv02
∴W1 =mgh－1 /2 mv02
mgh－1 /2 mv02
练习5．某人在高h处抛出一个质量为m的物体．不计空气阻力，物体落地时的速度为v，这人对物体所做的功为：( )
A．mgh
B．mv2/2
C．mgh+mv2/2
D．mv2/2- mgh
D
例6. 斜面倾角为α，长为L， AB段光滑，BC段粗糙，AB =L/3, 质量为m的木块从斜面顶端无初速下滑，到达C端时速度刚好为零。求物体和BC段间的动摩擦因数μ。
分析：以木块为对象，下滑全过程用动能定理：
重力做的功为
摩擦力做功为
支持力不做功,初、末动能均为零。
由动能定理 mgLsin α-2/3 μmgLcos α=0
可解得
点评：用动能定理比用牛顿定律和运动学方程解题方便得多。
练习6.竖直上抛一球，球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于球的速度( )
（A） 上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重 力做的功
（B） 上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功
（C） 上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降 过程中重力做功的平均功率
（D） 上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力做功的平均功率
B 、C
例7.将小球以初速度v0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v?
解：有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理：
和
可得H=v02/2g，
再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。全过程重力做的功为零，所以有：
解得
例8.地面上有一钢板水平放置，它上方3m处有一钢球质量 m=1kg，以向下的初速度v0=2m/s竖直向下运动，假定小球运动时受到一个大小不变的空气阻力 f=2N，小球与钢板相撞时无机械能损失，小球最终停止运动时，它所经历的路程S 等于 多少？ ( g=10m/s2 )
解：
对象 — 小球
过程 —
从开始到结束
受力分析---如图示
由动能定理
例9.在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的恒力乙推这一物体，当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32 J,则在整个过程中，恒力甲做的功等于 焦耳，恒力乙做的功等于 焦耳.
解：画出运动示意图如图示：由牛顿定律和运动学公式
A→B
S=1/2a1 t2 =F1 t2 /2m
v=at=F1 t/m
B→C→A
- S=vt - 1/2 a2 t2 = F1 t 2/m - F2 t2 /2m
∴F2 =3 F1
A→B→C→A 由动能定理 F1S+F2S=32
∴W1= F1S=8J
W2= F2S=24J
8J
24J
例10.总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节．司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭发动机滑行．设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力恒定，当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？
对末节车厢应用动能定理，有
说明 本题所求距离为两个物体的位移之差，需分别对各个物体应用动能定理．求解时也可假设中途脱节时，司机若立即关闭发动机，则列车两部分将停在同一地点．现实际上是行驶了距离L后才关闭发动机，此过程中牵引力做的功，可看作用来补续前部分列车多行驶一段距离而
才停止,则两者距离s=s1-s2.对前面部分的列车应用动能定理,有

练习8.质量为m的飞机以水平v0飞离跑道后逐渐上升,若飞机在此过程中水平速度保持不变,同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供,不含重力).今测得当飞机在水平方向的位移为L时,它的上升高度为h,求(1)飞机受到的升力大小?(2)从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能?
解析(1)飞机水平速度不变,L= v0t,竖直方向的加速度恒定,h=½at2,消去t即得
由牛顿第二定律得:F=mg＋ma=
(2)升力做功W=Fh=
在h处,vt=at=
例11．如图示，光滑水平桌面上开一个小孔，穿一根细绳，绳一端系一个小球，另一端用力F 向下拉，维持小球在水平面上做半径为r 的匀速圆周运动．现缓缓地增大拉力，使圆周半径逐渐减小．当拉力变为8F 时，小球运动半径变为r/2，则在此过程中拉力对小球所做的功是： [ ]
A．0 B．7Fr/2
C．4Fr D．3Fr/2
解：
D
练习9.某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻气作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动。某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2 。以Ek1、 E k2表示卫星在这两个轨道上的动能， T1 、 T2表示卫星在这两上轨道上绕地运动的周期，则 ( )
（A）E k2 ＜ Ek1 T2 ＜ T1 　　　　
（B） E k2 ＜ Ek1 T2 ＞ T1 　　
（C） E k2 ＞ Ek1 T2 ＜ T1 　　　　
（D） E k2 ＞ Ek1 T2 ＞ T1
C
质量为m的物体放在小车一端受水平恒力F作用被拉到另一端(如图所示)。假如第一次将小车固定；第二次小车可以在光滑水平面上运动。比较这两次过程中拉力F所作的功W1和W2、产生的热量Q1和Q2、物体的末动能Ek1和Ek2，应有W1____W2；Q1____Q2；Ek1_ ___Ek2。(用“>”或“<”或“=”填)
例12.
解：画出受力分析图和运动示意图如图示：
S1＜S2
∴ W1 ＜ W2
Q=fΔS
∴ Q1 = Q2
对物体,由动能定理
EK =（F-f）S
∴ EK1 ＜ EK2
＜
＝
＜
练习10．如图所示，一木块放在光滑水平面上，一子弹水平射入木块中，射入深度为d，平均阻力为f．设木块离原点S远时开始匀速前进，下列判断正确的是
B D
S
d
木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v2，有：
例13.质量为M的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h=0.20m，木块离台的右端L=1.7m。质量为m=0.10M的子弹以v0=180m/s的速度水平射向木块，并以v=90m/s的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s=1.6m，求木块与台面间的动摩擦因数为μ。
解：本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段。所以本题必须分三个阶段列方程：
子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为v1，mv0= mv+Mv1……①
……②
木块离开台面后的平抛阶段，
……③
由①、②、③可得μ=0.50
从本题应引起注意的是：凡是有机械能损失的过程，都应该分段处理。
从本题还应引起注意的是：不要对系统用动能定理。在子弹穿过木块阶段，子弹和木块间的一对摩擦力做的总功为负功。如果对系统在全过程用动能定理，就会把这个负功漏掉。
练习11、 如图所示长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对板A静止的过程中，下述说法中正确是 （ )
 (A) 物体B动能的减少量等于B克服摩擦力做的功
(B) 物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量
(C) 物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系
统损失的机械能之和
(D)摩擦力对物体B做的功和对木板A做的功的总和
等于系统内能的增加量
A C D
例14.两个人要将质量M＝1000 kg的小车沿一小型铁轨推上长L＝5 m,高h＝1 m的斜坡顶端．已知车在任何情况下所受的摩擦阻力恒为车重的0.12倍，两人能发挥的最大推力各为800 N.水平轨道足够长，在不允许使用别的工具的情况下，两人能否将车刚好推到坡顶？如果能应如何办？（要求写出分析和计算过程）（g取10 m/s 2）
解析:小车在轨道上运动时所受摩擦力f
f＝μMg＝0.12×1000×10N=1200 N
两人的最大推力F＝2×800 N＝1600 N
F＞f,人可在水平轨道上推动小车加速运动，但小车在斜坡上时f＋Mgsinθ＝1200 N＋10000·1/5N＝3200 N＞F=1600 N
可见两人不可能将小车直接由静止沿坡底推至坡顶．
若两人先让小车在水平轨道上加速运动，再冲上斜坡减速运动，小车在水平轨道上运动最小距离为s
（F一f）s十FL一fL一Mgh=0
练习12.某地强风的风速约为v=20m/s,设空气密度ρ=1.3kg/m3,如果把通过横截面积=20m2风的动能全部转化为电能,则利用上述已知量计算电功率的公式应为P=_________,大小约为_____W(取一位有效数字)
Ek=
P=
例15.如图所示质量为1kg的小物块以5m/s的初速度滑上一块原来静止在水平面上的木板，木板质量为4kg，木板与水平面间动摩擦因数是0.02，经过2S以后，木块从木板另一端以1m/s相对于地的速度滑出，g取10m／s，求这一过程中木板的位移．
解析：设木块与木板间摩擦力大小为f1，木板与地面间摩擦力大小为f2．
对木块：一f1t=mvt一mv0，得f1=2 N
对木板：（fl－f2）t＝Mv,f2＝μ（m＋ M）g
得v＝0．5m/s 对木板：（fl－f2）s=½Mv2，得 S=0·5 m
练习13.动量大小相等的两个物体，其质量之比为2：3，则其动能之比为（ ）
A．2：3； B．3：2； C．4：9； D．9：4
B
解析：由Ek=
可知，动量大小相等的物体，其动能与它们的质量成反比，因此动能的比应为3：2．
例16.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg,此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（ ）
A.mgR/4 B. mgR/3 C. mgR/2 D.mgR
解析:小球在圆周运动最低点时,设速度为v1,则
7mg－mg=mv12/R……①
设小球恰能过最高点的速度为v2,则mg=mv22/R……②
设设过半个圆周的过程中小球克服空气阻力所做的功为W,由动能定理得:
－mg2R－W=½mv22－½mv12……③
C
由以上三式解得W=mgR/2
说明：
(1)该题中空气阻力一般是变化的，又不知其大小关系，故只能根据动能定理求功，而应用动能定理时初、末两个状态的动能又要根据圆周运动求得不能直接套用，这往往是该类题目的特点．
(2)用动能定理求变力做功，在某些问题中由于力F的大小的变化或方向变化，所以不能直接由W=Fscosα求出变力做功的值．此时可由其做功的结果——动能的变化来求变为F所做的功．
例17.在水平面上沿一条直线放两个完全相同的小物体A和B，它们相距s，在B右侧距B2s处有一深坑，如图所示，现对A施以瞬间冲量，使物体A沿A、B连线以速度v0开始向B运动．为使A与B能发生碰撞，且碰撞之后又不会落入右侧深坑中，物体A、B与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件？设A,B碰撞时间很短，A、B碰撞后不再分离．
解析:A与B相碰，则
A和B碰前速度v1，
A与B碰后共同速度v2. mv1=2mv2,
AB不落入坑中,
解得
综上，μ应满足条件
练习14.如图所示，在光滑的水平面内有两个滑块A和B，其质量mA＝6kg，mB=3kg，它们之间用一根轻细绳相连．开始时绳子完全松弛，两滑块靠在一起，现用了3N的水平恒力拉A，使A先起动，当绳被瞬间绷直后，再拖动B一起运动，在A块前进了0．75 m时，两滑块共同前进的速度v=2/3m／s，求连接两滑块的绳长．
解析：本题的关键在于“绳子瞬间绷直”时其张力可看成远大于外力F，所以可认为A、B组成的系统动量守恒．此过程相当于完全非弹性碰撞，系统的机械能有损失．
根据题意，设绳长为L，以绳子绷直前的滑块A为对象，由动能定理得FL=½mAv12--------①
绳绷直的瞬间，可以认为T＞＞F，因此系统的动量守恒，mAv1＝（mA十mB）v2-------②
对于绳绷直后，A、B组成的系统（看成一个整体）的共同运动过程，由动能定理
F（0．75－L）＝½（mA十mB ）v12
－½（mA十mB）v22……③
由式①一③解得L＝0．25m
例18.如图所示，两个完全相同的质量为m的木板A、B置于水平地面上它们的间距s =2.88m．质量为2m 、大小可忽略的物块C置于A板的左端． C与A之间的动摩擦因数为μ1=0.22， A、B与水平地面的动摩擦因数为μ2=0.10， 最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力． 开始时， 三个物体处于静止状态．现给C施加一个水平向右，大小为2mg/5的恒力F， 假定木板A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起．要使C最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少?
分析：这题重点是分析运动过程，我们必须看到A、B碰撞前A、C是相对静止的，A、B碰撞后A、B速度相同，且作加速运动，而C的速度比A、B大，作减速运动，最终A、B、C达到相同的速度，此过程中当C恰好从A的左端运动到B的右端的时候，两块木板的总长度最短。
【解答】：设l为A或B板的长度，A、C之间的滑动摩擦力大小为f1，A与水平面的滑动摩擦力大小为f2
∵μ1=0.22。 μ2=0.10
∴
……① 且
…②
一开始A和C保持相对静止,在F的作用下向右加速运动.有
…③
A、B两木板的碰撞瞬间，内力的冲量远大于外力的冲量。由动量守恒定律得mv1=(m+m)v2 …④
碰撞结束后到三个物体达到共同速度的相互作用过程中，设木板向前移动的位移为s1.
选三个物体构成的整体为研究对象，外力之和为零，则
…⑤
设A、B系统与水乎地面之间的滑动摩擦力大小为f3。对A、B系统，由动能定理
… ⑥
…⑦
对C物体，由动能定理
……… ⑧
由以上各式，再代人数据可得l=0.3(m)
例19.质量为500t的列车，以恒定功率沿平直轨道行驶，在3min内行驶速度由45km/h增加到最大速度54km/h，求机车的功率.(g=10m/s2)
【解析】由整个过程中列车所受的牵引力不是恒力，因此加速度不是恒量，运动学中匀变速直线运动公式不能用，由动能定理得
W牵+W阻=1/2mv2m-1/2mv2……①
Pt-fs=1/2mv2m-1/2mv2……②
又因达到最大速度时F=f故vm=P/f……③
联立解得：P=600kW.
练习15、一列火车在机车牵引下沿水平轨道行驶,经过时间t,其速度由0增大到v.已知列车总质量为M,机车功率P保持不变,列车所受阻力f为恒力.求：这段时间内列车通过的路程.
解：根据动能定理：
P·t－f·s = 1/2× mv2
提示: 由动能定理 Pt – fs =1/2m(vm2 - v02 )
f=F=P/vm 联列解之
A C D
例20.一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投上后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。己知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N，这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P。
【解析】以地面为参考（下同），设传送带的运动速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为S，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有：S＝½at2……①
v0＝at………②
在这段时间内，传送带运动的路程为：S0= v0t……③，
由以上可得S0＝2S……④
用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为： W1=fS=½mv02……⑤
传送带克服小箱对它的摩擦力做功：
W0=Fs0=2·½mv02……⑥
两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量：
Q=½mv02……⑦
可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。
T时间内，电动机输出的功为：W=PT……⑧
此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热,即W=½Nmv02十Nmgh＋NQ……⑨
已知相邻两小箱的距离为L，所以：v0T＝NL……⑩
联立⑦⑧⑨⑩得
第二课时
动能 动能定理 习题课 （第二课时）
(2)物理意义：动能定理指出了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能的变化，变化的大小由做功的多少来量度.
(3)动能定理的理解及应用要点
①动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度． ②动能定理中“外力”指作用在物体上包含重力在内的所有外力．如弹力、摩擦力、电场力、磁场力、万有引力． ③动能定理的对象是单一物体，或者可以看成单一物体的物体系