7.7 动能和动能定理
一：动能
1、定义：物体由于运动而具有的能叫做动能.
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讨论猜测：
动能与什么有关？
如何确定动能的表达式呢？
高速
在光滑水平面上一质量为m的物体,初速度为v1, 人以恒定的水平推力F作用在物体上，物体发生一段位移L，得到速度v2(如图)，请写出F，L，m, v1,v2之间的关系式
探究
v1
v2
根据牛顿第二定律：
F合= ma
由公式 v22－v12 =2aL
探究
W
得到：
所以有：
对结果进行讨论：
一：动能
1.定义：物体由于运动而具有的能叫做动能.
2.表达式：
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3.物体的动能等于物体的质量与物体速度
的二次方的乘积的一半．
4.物理意义：描述物体运动状态的物理量，
动能是标量，且恒为正值，具有瞬时性
5.单位：焦耳( J )
例题、一颗质量为10克以800m/s 速度飞行的子弹,一位质量为60千克以10m/s的速度奔跑的运动员,他们的动能哪个更大呢？
典型例题
答案: 子弹的动能 3200J
运动员的动能 3000J
二、动能定理
内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
末状态动能
初状态动能
合外力做的总功
动能变化
1.flv
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例题 质量为1kg的物体，在光滑的水平面
上运动，原来的速度v1=2m/s，受到一个
与运动方向相同的推力F=4N的作用，发
生的位移L=2m.求物体的末速度多大?
1、动能定理：合力所做的功等于物体动能的变化。
2、表达式：
①W合的含义：
②△Ek的含义：
动能的增量，
3、动能定理的理解及应用要点：
①既适用于恒力做功，也适用于变力做功.
②既适用于直线运动，也适用于曲线运动。
③既适用于单一运动过程，也适用于运动的
全过程。
④动能定理中的位移和速度必须是相对于同一　个参考系.一般以地面为参考系.
动能定理不涉及物理运动过程中的加速度和时间，而只与物体的初末状态有关，在涉及有关的力学问题，应优先考虑应用动能定理。
4、应用动能定理解题的一般步骤：
①确定研究对象，明确运动过程.
②明确始末状态，确定其动能
③对研究对象进行受力分析，找出各力所做的或合力做的总功。
④根据动能定理列方程。
⑤求解并验算.
动能定理的应用范围：
既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功；既适用于单个物体，也适用于多个物体；既适用于一个过程，也适用于整个过程。
训练1、一人用100N的力把质量为2Kg的足球以10m/s的速度踢出,水平飞出10米,则此人对球做功（ ）
A.1000J B.10J C.100J D.无法确定
跟踪训练
答案： C
训练2、质量为0.02kg的子弹600m/s的速度垂直的射穿一块厚度为10cm的固定木板，已知子弹穿过木板后的速度为400m/s，
求木板对子弹的阻力做的功？
跟踪训练
答案：-2000J
一学生用100N的力将静止于地面的质量为0.5kg的球以8m/s的初速度沿水平方向踢出20m远，则该学生对球做的功是（　　　）
A. 200J B. 16J
C. 1000J D. 无法确定
质量10kg的物体放在光滑的水平面上，将F=50N的水平恒力作用在该物体上，使物体由静止开始做匀加速直线运动，经过t=4s后撤去力F，求4s末物体的动能是多少？ （g=10m/s2 ）
a=F/m=5m/s2
解法一
当4S末时物体的速度为
v=at=20m/s
此时物体的动能为
EK=1/2 mv2=2 ×103J
解法二
a=F/m=5m/s2
当4S末时物体的位移为
s=1/2 at2=40m
此时物体的动能为
WF=FS=EK-0=2 ×103J
质量10kg的物体放在粗糙的水平面上，μ=0.1将F=50N的水平恒力作用在该物体上，使物体由静止开始做匀加速直线运动，运动了S=40m时物体的动能是多少？（g=10m/s2 ）
物体所受的合力为 F合=F-Ff=F-μmg=40N
此时物体的动能为 WF = F合S = EK-0 =1.6×103J
或FS-FfS =EK-0 =1.6×103J
动能定理的应用
知识回顾
1、动能的概念及表达式:
2、动能定理的内容及表达式:
3、动能定理的适用范围:
既适用于恒力做功，也适用于变力做功；
既适用于直线运动，也适用于曲线运动
一. 动能 ---- 物体由于运动而具有的能量叫做动能.
动能是标量，是状态量。
动能的单位与功的单位相同——焦耳.
公式中的速度一般指相对于地面的速度
2. 可以证明，当外力是变力，物体做曲线运动时，（1）式也是正确的. 这时（1）式中的W为变力所做的功. 正因为动能定理适用于变力，所以它得到了广泛的应用，经常用来解决有关的力学问题.
合外力所做的功等于物体动能的变化.
这个结论叫做动能定理.
注意：1. 如果物体受到几个力的共同作用，则（1）式中的W表示各个力做功的代数和，即合外力所做的功. W合=W1+W2+W3+……
二. 动能定理
3. 跟过程的细节无关.
4.对合外力的功(总功)的理解
（1）可以是几个力在同一段位移中的功,也可以是一个力在几段位移中的功,还可以是几个力在几段位移中的功
（2）求总功有两种方法：
一种是先求出合外力，然后求总功，表达式为
ΣW＝ΣFS cosθ
为合外力与位移的夹角
另一种是总功等于各力在各段位移中做功的代数和，即 ΣW＝W1 +W2+W3+……
三. 解题步骤：
确定对象、
明确过程、
分析受力、
求出合功、
列式求解
常规题（匀变速直线运动）
两个材料相同的物体,甲的质量大于乙的质量,以相同的初动能在同一水平面上滑动,最后都静止,问它们滑行的距离谁大?
③ f 、v0一定：
④ v0、μ一定：
①μ、Ek1一定：
② f 、Ek1一定：
常规题（匀变速直线运动）
一质量为1kg的物体被人用手由静止向上匀加速提升1m，这时物体的速度2 m/s,（g=10m/s2 ）问
①物体克服重力做功为多少？
②合外力对物体做功为多少？
③人手对物体做功为多少？
常规题（匀变速直线运动）　　　子弹问题
以速度v水平飞行的子弹先后穿透两块由同种材料制成的木板，木板对子弹的平均作用力相等，若子弹穿透两块木板后的速度分别为0.8v和0.6v,则两块木板的厚度之比为________?
求变力做功问题　　　　 瞬间力做功问题
运动员踢球的平均作用力为200N,把一个静止的质量为1kg的球以10m/s的速度踢出,水平面上运动60m后停下,则运动员对球做的功?如果运动员踢球时球以10m/s迎面飞来,踢出速度仍为10m/s,则运动员对球做的功为多少?
v=0
匀变速直线运动　　　 斜面问题
某物体放在倾角为θ的斜面上,向下轻轻一推,它刚好能匀速下滑;若给此物体一个沿斜面向上的初速度v0,那么,它能沿斜面向上冲滑的最大距离为多少?
求解曲线运动问题
从高为5m处以水平速度8m/s抛出一质量为0.2kg的皮球,皮球落地速度为12m/s,求此过程中皮球克服空气阻力做的功?(g=10m/s2)
h=5m
多过程问题 　 直线运动
铁球1m高处掉入沙坑,则已知铁球在下陷过程中受到沙子的平均阻力为铁球重力的20倍,则铁球在沙中下陷深度为多少m?
多过程问题 　 直线运动
用拉力F使一个质量为m的木箱由静止开始在水平面上运动S后撤掉F,拉力F跟木箱前进方向成θ角,木箱与水平面间的摩擦系数为μ,求撤掉F后木箱滑行的距离L？
例1、下列关于运动物体所受的合外力、合外力做功和动能变化的关系，正确的是 [ ]
A．如果物体所受的合外力为零，那么，合外力对
物体做的功一定为零
B．如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一
定为零
C．物体在合外力作用下作变速运动，动能一定变
化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零
A
例2、一质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升1m，这时物体的速度2 m/s，则下列说法正确的是 [ ]
A．手对物体做功 12J
B．合外力对物体做功 12J
C．合外力对物体做功 2J
D．物体克服重力做功 10 J
A C D
例3．如右图所示，水平传送带保持 1m/s 的速度运动。一质量为1kg的物体与传送带间的动摩擦因数为0.2。现将该物体无初速地放到传送带上的A点，然后运动到了距A点1m 的B点，则皮带对该物体做的功为 （    ）
A. 0.5J   B. 2J    
C. 2.5J   D. 5J
解: 设工件向右运动距离S 时，速度达到传送带的速度v，由动能定理可知 μmgS=1/2mv2
解得 S=0.25(m)，说明工件未到达B点时，速度已达到v，
所以工件动能的增量为     
△EK = 1/2 mv2 = 0.5×1×1= 0.5(J)
A
例4．如图示，光滑水平桌面上开一个小孔，穿一根细绳，绳一端系一个小球，另一端用力F 向下拉，维持小球在水平面上做半径为r 的匀速圆周运动．现缓缓地增大拉力，使圆周半径逐渐减小．当拉力变为8F 时，小球运动半径变为r/2，则在此过程中拉力对小球所做的功是： [ ]
A．0 B．7Fr/2
C．4Fr D．3Fr/2
解：
D
例5．某人在高h处抛出一个质量为m的物体．不计空气阻力，物体落地时的速度为v，这人对物体所做的功为：[ ]
A．mgh
B．mv2/2
C．mgh+mv2/2
D．mv2/2- mgh
D
例6．如图所示，一木块放在光滑水平面上，一子弹水平射入木块中，射入深度为d，平均阻力为f．设木块离原点S远时开始匀速前进，下列判断正确的是[ ]
B D
S
d
例7、某物体在沿斜面向上的拉力F作用下，从光滑斜面的底端运动到顶端，它的动能增加了△EK ，势能增加了△EP .则下列说法中正确的是 ( )
(A) 拉力F做的功等于△EK ；
(B) 物体克服重力做的功等于△EP ；
(C) 合外力对物体做的功等于△EK ；
(D) 拉力F做的功等于△EK +△EP
B C D
质量为m的跳水运动员从高为H的跳台上以速率v1 起跳，落水时的速率为v2 ，运动中遇有空气阻力，那么运动员起跳后在空中运动克服空气阻力所做的功是多少？
解：
对象—运动员
过程---从起跳到落水
受力分析---如图示
由动能定理
例8
某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻气作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动。某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2 。以Ek1、 E k2表示卫星在这两个轨道上的动能， T1 、 T2表示卫星在这两上轨道上绕地运动的周期，则 ( )
（A） E k2＜ Ek1 T2 ＜ T1 　　　　
（B） E k2 ＜ Ek1 T2 ＞ T1 　　
（C） E k2 ＞Ek1 T2 ＜ T1 　　　　
（D） E k2 ＞Ek1 T2 ＞ T1
C
00年高考
例10、 钢球从高处向下落，最后陷入泥中，如果空气阻力可忽略不计，陷入泥中的阻力为重力的n 倍，
求：钢珠在空中下落的高度H与陷入泥中的深度h 的比值 H∶h =?
解: 画出示意图并分析受力如图示：
由动能定理，选全过程
mg(H+h)－nmgh=0
H + h = n h
∴H : h = (n – 1) :1
例11. 斜面倾角为α，长为L， AB段光滑，BC段粗糙，AB =L/3, 质量为m的木块从斜面顶端无初速下滑，到达C端时速度刚好为零。求物体和BC段间的动摩擦因数μ。
分析：以木块为对象，下滑全过程用动能定理：
重力做的功为
摩擦力做功为
支持力不做功,初、末动能均为零。
由动能定理 mgLsin α-2/3 μmgLcos α=0
可解得
点评：用动能定理比用牛顿定律和运动学方程解题方便得多。
例12
地面上有一钢板水平放置，它上方3m处有一钢球质量 m=1kg，以向下的初速度v0=2m/s竖直向下运动，假定小球运动时受到一个大小不变的空气阻力 f=2N，小球与钢板相撞时无机械能损失，小球最终停止运动时，它所经历的路程S 等于 多少？ ( g=10m/s2 )
解：
对象 — 小球
过程 —
从开始到结束
受力分析---如图示
由动能定理
练习．质量为m的物体从距地面h高处由静止开始以加速度a=g/3竖直下落到地面．在这个过程中
[ ]
A．物体的动能增加mgh/3
B．物体的重力势能减少mgh/3
C．物体的机械能减少2mgh/3
D．物体的机械能保持不变
A C
练习．被竖直上抛的物体的初速度与回到抛出点时速度大小之比为K．空气阻力在运动过程中大小不变．则重力与空气阻力的大小之比等于 [ ]
A．(K2+1)／(K2-1)
B．(K+1) ／ (K-1)
C． K
D． 1/K
A
竖直上抛一球，球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于球的速度。( )
（A） 上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重 力做的功
（B） 上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功
（C） 上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降 过程中重力做功的平均功率
（D） 上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力做功的平均功率
B 、C
2002年高考7、
如图所示，质量为m的物块从高h的斜面顶端O由静止开始滑下，最后停止在水平面上B点。若物块从斜面顶端以初速度v0沿斜面滑下，则停止在水平面的上C点，已知，AB=BC , 则物块在斜面上克服阻力做的功为 。（设物块经过斜面与水平面交接点处无能量损失）
练习3、
解：设物块在斜面上克服阻力做的功为W1，
在AB或BC段克服阻力做的功W2
由动能定理 O→B
mgh -W1 –W2= 0
O→C
mgh -W1 –2W2= 0 - 1/2 mv02
∴W1 =mgh－1/2 mv02
mgh－1/2 mv02
93年高考
例13、 如图所示长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对板A静止的过程中，下述说法中正确是 （ )
 (A) 物体B动能的减少量等于B克服摩擦力做的功
(B) 物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量
(C) 物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系
统损失的机械能之和
(D)摩擦力对物体B做的功和对木板A做的功的总和
等于系统内能的增加量
A C D
质量为m的物体放在小车一端受水平恒力F作用被拉到另一端(如图所示)。假如第一次将小车固定；第二次小车可以在光滑水平面上运动。比较这两次过程中拉力F所作的功W1和W2、产生的热量Q1和Q2、物体的末动能Ek1和Ek2，应有W1____W2；Q1____Q2；Ek1_ ___Ek2。(用“>”或“<”或“=”填)
例14
解：画出受力分析图和运动示意图如图示：
S1＜S2
∴ W1 ＜ W2
Q=fΔS
∴ Q1 = Q2
对物体,由动能定理
EK =（F-f）S
∴ EK1 ＜ EK2
＜
＝
＜
在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的恒力乙推这一物体，当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32 J,则在整个过程中，恒力甲做的功等于
焦耳，恒力乙做的功等于 焦耳.
96年高考
解：画出运动示意图如图示：由牛顿定律和运动学公式
A→B
S=1/2a1 t2 =F1 t2 /2m
v=at=F1 t/m
B→C→A
- S=vt - 1/2 a2 t2 = F1 t 2/m - F2 t2 /2m
∴F2 =3 F1
A→B→C→A 由动能定理 F1S+F2S=32
∴W1= F1S=8J
W2= F2S=24J
8J
24J
如下图所示，一个质量为m的小球从A点由静止开始滑到B点，并从B点抛出，若在从A到B的过程中，机械能损失为E，小球自B点抛出的水平分速度为v，则小球抛出后到达最高点时与A点的竖直距离是
。
例15、
解: 小球自B点抛出后做斜上抛运动,水平方向做匀速直线运动,到最高点C的速度仍为v ,设AC的高度差为h
由动能定理, A→B →C
mgh – E=1/2×mv2
∴h=v2/2g+E/mg
v2/2g+E/mg
应用动能定理解题的一般步骤
1、确定研究对象,明确运动过程
2、对研究对象受力分析，求出各个力且找出各个力所做的功或者合外力所做的功
3、明确初状态和末状态的动能，写出始末状态动能变化的表达式(△EK)
4、根据动能定理列 方程求解
5、必要时对结果进行分析和讨论