探究弹性势能的表达式
一、弹性势能
发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有_____的相互作用而
具有的势能。
弹力
二、探究弹性势能的表达式
1.猜想:
(1)弹性势能与弹簧被拉伸的长度有关,同一个弹簧,拉伸的长
度_____,弹簧的弹性势能也越大。
(2)弹性势能与弹簧的劲度系数有关,在拉伸长度l相同时,劲度
系数k_____,弹性势能越大。
越大
越大
2.探究思想:_____做功与弹性势能变化的关系同_____做功与
重力势能的变化关系相似:
弹力
重力
减少
增加
-ΔEp
3.“化变为恒”求拉力做功:W总=F1Δl1+F2Δl2+…+_____。
4.“F -l”图像面积的意义:表示______的值。
FnΔln
F做功
【自我思悟】
“蹦床”是小朋友们都爱玩的活动,如图所示,在某小朋友从空中落至蹦床上到再次被弹起过程中,蹦床对该小朋友做什么功,蹦床的弹性势能是怎么变化的?
提示:整个过程蹦床对小朋友的弹力竖直向上,故在小朋友下落时,弹力对他做负功,蹦床的弹性势能增大;小朋友被弹回时,弹力对他做正功,蹦床的弹性势能减少。
一、弹性势能与重力势能的比较　 对比分析
【微思考】
(1)对同一个弹簧,它的长度越长是否就说明它的弹性势能就越大?(没超出弹性限度)
提示:不一定,弹簧被压缩时,长度越短,弹性势能越大;伸长时,长度越长,弹性势能越大。
(2)弹弓是一种儿童玩具,由两根橡皮条和木叉制成。为使石子以较大的速度飞出,就应该把橡皮条拉长些,从能量角度分析这是为什么呢?
提示:橡皮条拉得越长,储存的弹性势能越大,射出石子时石子的动能就越大,射得就越远。
【题组通关】
【示范题】劲度系数分别为kA=200N/m和kB=300N/m的弹簧A和B连接在一起,拉长后将两端固定,如图所示,弹性势能EpA、EpB的关系是(　　)
A.EpA=EpB　　　　　B.EpA>EpB
C.EpA【解题探究】(1)A、B弹簧的弹力大小相等吗?
提示:根据牛顿第三定律,A、B弹簧的弹力大小相等。
(2)弹簧的弹性势能与弹簧的_________和_______有关。
劲度系数
形变量
【规范解答】选B。根据牛顿第三定律,A、B弹簧的弹力大小相
等。由于F=kl,Ep= kl2,所以弹性势能Ep= kl2= 。又由于
kAEpB,B正确。
【通关1+1】
1.(2014·江阴高一检测)如图所示,小明玩蹦蹦杆,在小明将蹦蹦杆中的弹簧向下压缩的过程中,小明的重力势能、弹簧的弹性势能的变化是(　　)
A.重力势能减少,弹性势能增大
B.重力势能增大,弹性势能减少
C.重力势能减少,弹性势能减少
D.重力势能不变,弹性势能增大
【解析】选A。弹簧向下压缩的过程中,弹簧压缩量增大,弹性势能增大;重力做正功,重力势能减少,故A正确。
2.(多选)在探究弹簧的弹性势能的表达式时,下面猜想有一定道理的是(　　)
A.重力势能与物体被举起的高度h有关,所以弹性势能很可能与弹簧的长度有关
B.重力势能与物体被举起的高度h有关,所以弹性势能很可能与弹簧被拉伸(或压缩)的长度有关
C.重力势能与物体所受的重力mg大小有关,所以弹性势能很可能与弹簧的劲度系数有关
D.重力势能与物体的质量有关,所以弹性势能很可能与弹簧的质量大小有关
【解析】选B、C。物体的重力势能与弹簧的弹性势能相对应,所以物体被举高的高度与弹簧伸长的长度相对应,物体的重力与弹簧的弹力相对应,物体的质量与弹簧的劲度系数相对应,所以弹簧的弹性势能应该与弹簧的劲度系数和弹簧的形变量有关,与弹簧的长度、质量等因素无关,故B、C正确,A、D错误。
【变式训练】1.(多选)关于弹性势能,下列说法正确的是(　　)
A.发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B.只有弹簧在发生弹性形变时才具有弹性势能
C.弹性势能可以与其他形式的能相互转化
D.弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳
【解析】选A、C、D。发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的相互作用,都具有弹性势能,A正确,B错误;弹性势能跟重力势能一样,可以与其他形式的能相互转化,C正确;所有能的单位都跟功的单位相同,在国际单位制中的单位是焦耳,D正确。
2.一竖直弹簧下端固定于水平地面上,小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端,如图所示,经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处,则(　　)
A.h越大,弹簧在A点的压缩量越大
B.弹簧在A点的压缩量与h无关
C.h越大,最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能越大
D.小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大
【解析】选B。最终小球静止在A点时,小球受自身重力与弹簧的弹力相等,故由弹力公式得mg=kx,即可得出弹簧在A点的压缩量x= ,与下落时的高度h无关,A错,B对。对同一弹簧,它的弹性势能大小仅与弹簧的形变量有关,小球静止在A点或经过A点时,弹簧的弹性势能相同,C、D错。
3.(2013·绵阳高一检测)如图所示的几个运动过程中,物体弹性势能增加的是(　　)
A.如图甲,跳高运动员从压杆到杆伸直的过程中,杆的弹性势能
B.如图乙,人拉长弹簧过程中弹簧的弹性势能
C.如图丙,模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中,橡皮筋的弹性势能
D.如图丁,小球被弹簧向上弹起的过程中,弹簧的弹性势能
【解析】选B。形变量变大,弹性势能变大,形变量变小,弹性势能变小。图甲中杆的形变先变大后变小,图丙和图丁中橡皮筋和弹簧的形变量减小,形变量变大的只有图乙,故选项B正确。
【素养升华】
弹性势能理解时应注意的两个问题
(1)弹簧的弹性势能的大小由弹簧的劲度系数和形变量(拉伸或缩短的长度)共同决定,劲度系数越大,形变量越大,弹簧的弹性势能越大。
(2)弹性势能具有相对性,但其变化量具有绝对性,因此,在判断弹性势能的变化时不必考虑零势能的位置。
二、弹性势能与弹力做功的关系　 深化理解
1.弹力做正功、负功的理解:
如图所示,O为弹簧的原长处:
(1)弹力做负功:当物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时,弹簧的形变量变大,弹力对外做功,习惯叫作弹力做负功。此时弹簧的弹性势能增大,其他形式的能转化为弹性势能。
(2)弹力做正功:当物体由A向O运动,或者由A′向O运动时,弹簧的形变量减小,弹力对内做功,习惯叫作弹力做正功。此时弹簧的弹性势能减小,弹性势能转化为其他形式的能。
2.弹力做功与弹性势能变化的关系:弹性势能的变化量总等于弹力做功的负值,表达式:W弹=-ΔEp=Ep1-Ep2。
3.使用范围:在弹簧的弹性限度之内,该式总是成立的,与系统所受其他力的情况无关,与系统的运动状态无关。
4.与重力势能对比:弹性势能与弹力做功的关系,重力势能与重力做功的关系遵从同样的规律,这一规律对于其他形式的势能也是适用的。
【微思考】
“蹦极”是一种富有刺激性的运动项目,
某人身系弹性绳自高空点自由下落,如图
所示,a点是弹性绳的原长位置,c点是人
所到达的最低点,b点是人静止时的平衡位置,
不计空气阻力。
(1)该人从下落至b到再次上升经过b时,弹性绳的弹力做功为多少?
提示:弹性绳的弹力做功与重力做功特点一样,也是与运动路径无关,只与初末位置有关,故从下落至b到再次上升经过b时,弹性绳的弹力做功为零。
(2)人运动至哪一位置时,弹性绳的弹性势能最大?
提示:人运动至c点时,弹性绳的弹力做功最多,弹性势能最大。
【题组通关】
【示范题】在水平地面上放一个竖直轻弹簧,弹簧上端与一个质量为2.0kg的木块相连,若在木块上再作用一个竖直向下的力F,使木块缓慢向下移动0.10m,力F做功2.5J。此时木块再次处于平衡状态,力F的大小为50N,如图所示,求:
(1)在木块下移0.10m的过程中弹性势能的增加量;
(2)弹簧的劲度系数。
【解题探究】(1)弹性势能的增加量等于弹力___________。
(2)木块缓慢向下移动隐含着什么物理条件?
提示:缓慢移动表明木块时刻处于平衡状态,弹簧的弹力始终等于木块的重力与压力F之和。
做功的负值
【规范解答】(1)木块下移0.10m过程中,F与重力的合力等于弹簧弹力,所以力F和重力做的功等于克服弹簧弹力做的功,故弹簧弹性势能的增加量为:
ΔEp=WF+mgh=(2.5+2.0×10×0.10)J=4.5 J。
(2)由平衡条件得,木块再次处于平衡时F=kh,所以劲度系数

答案:(1)4.5J　(2)500 N/m
【通关1+1】
1.如图所示,将弹簧拉力器用力拉开的过程中,弹簧的弹力和弹性势能的变化情况是(　　)
A.弹力变大,弹性势能变小
B.弹力变小,弹性势能变大
C.弹力和弹性势能都变小
D.弹力和弹性势能都变大
【解析】选D。将弹簧拉力器用力拉开的过程中,弹簧的伸长量变大,弹簧的弹力变大,弹性势能变大。故A、B、C错误,D正确。
2.(多选)如图所示,一轻弹簧一端固定于O点,另一端系一重物,让它从弹簧保持原长的A点无初速地释放,不计空气阻力,在重物由A点摆向最低点B的过程中(　　)
A.重力势能减少,弹性势能减少
B.重力势能减少,弹性势能增加
C.若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后,重力做正功,弹力不做功
D.若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后,重力做功不变,弹力不做功
【解析】选B、C。小球下摆时,重力做正功,弹簧要伸长,弹力做负功,因此重力势能减少,弹性势能增加,A错,B对。用细绳代替弹簧向下摆动,弹力由于始终与运动方向垂直而不做功,重力仍然做正功,C对,D错。
【变式训练】1.(多选)关于弹力做功与弹性势能的说法正确的是(　　)
A.弹力对物体所做的功等于物体所具有的弹性势能
B.物体克服弹力所做的功等于物体所具有的弹性势能
C.弹力对物体所做的功等于物体弹性势能的减少
D.物体克服弹力所做的功等于物体弹性势能的增加
【解析】选C、D。弹力做功的过程是物体弹性势能变化的过程,弹力做多少功,表明弹性势能变化了多少,与物体含有多少弹性势能无关,A、B错。弹力对物体做正功,物体的弹性势能减少,做负功则物体的弹性势能增加,C、D对。
2.如图所示,在光滑水平面上有一物体,它的左端连一弹簧,弹簧的另一端固定在墙上,在力F作用下物体处于静止状态,当撤去力F后,物体将向右运动,在物体向右运动的过程中,下列说法正确的是(　　)

A.弹簧的弹性势能逐渐减小
B.弹簧的弹性势能逐渐增大
C.弹簧的弹性势能先增大再减小
D.弹簧的弹性势能先减小再增大
【解析】选D。开始时,弹簧处于压缩状态,撤去F后物体在向右运动的过程中,弹簧的弹力对物体先做正功后做负功,故弹簧的弹性势能应先减小后增大。
3.如图所示,质量为m的物体静止在地面上,物体上面连着一个轻弹簧,用手拉住弹簧上端上移H,将物体缓缓提高h,拉力F做功WF,不计弹簧的质量,则下列说法正确的是(　　)
A.重力做功-mgh,重力势能减少mgh
B.弹力做功-WF,弹性势能增加WF
C.重力势能增加mgh,弹性势能增加FH
D.重力势能增加mgh,弹性势能增加WF-mgh
【解析】选D。可将整个过程分为两个阶段:一是弹簧伸长到m刚要离开地面阶段,拉力克服弹力做功WF1=-W弹,等于弹性势能的增加;二是弹簧长度不变,物体上升h,拉力克服重力做功WF2=-WG=mgh,等于重力势能的增加,又由WF=WF1+WF2可知A、B、C错,D对。
【素养升华】
理解弹力做功与弹性势能变化关系应注意的问题
(1)弹力做功和重力做功一样也和路径无关,弹力对其他物体做了多少功,弹性势能就减少多少。克服弹力做多少功,弹性势能就增加多少。
(2)弹性势能的变化只与弹力做功有关,弹力做负功,弹性势能增大,反之则减小。弹性势能的变化量总等于弹力做功的负值。
(3)弹性势能的增加量与减少量由弹力做功多少来量度。
【资源平台】备选角度:弹性势能、重力势能综合问题
【示范题】2012年伦敦奥运会上黄珊汕获蹦床个人亚军。在比赛中,如果她受到蹦床对她的弹力的变化规律如图乙所示。试分析黄珊汕在t4～t5段时间内弹性势能、重力势能怎样变化?t5～t6段时间内又如何变化?
【标准解答】t4～t5段时间内在空中,不受弹力作用,弹性势能为零,重力势能先变大再变小。t5～t6段时间内与蹦床接触,是先下落又上升的过程。弹性势能先变大再变小,重力势能先变小再变大。
答案:t4～t5段时间内弹性势能为零,重力势能先变大再变小;t5～t6段时间内弹性势能先变大再变小、重力势能先变小再变大。
弹簧弹力做功的求法
【案例剖析】一根弹簧的弹力—位移图像如图所示,那么弹簧由伸长量8cm到伸长量4cm的过程中,弹力做功和弹性势能的变化量为(　　)
A.3.6 J,-3.6 J　　
B.-3.6 J,3.6 J
C.1.8 J,-1.8 J
D.-1.8 J,1.8 J
【精讲精析】选C。弹簧在拉伸状态下变短时,弹力做正功,且
做的功等于F-x图像与x坐标轴围成的面积,故W= ×(30+60)
×0.04J=1.8J,据W=-ΔEp知,弹簧弹性势能的变化量ΔEp=
-1.8J,C项正确。
【名师指津】计算弹簧弹力做功的两种方法
1.平均值法:当弹簧被拉长l时,弹簧的弹力大小为F=kl,即弹簧
的弹力大小与它的伸长量l成线性关系,该过程中弹簧的弹力大
小的平均值 故由W= l知弹力做功
2.图像法:当弹簧被拉长l时,若题中已给出,或者可以作出弹簧的
弹力F与它的伸长量l之间的关系图像(即F-l图像),则F-l图像与
横坐标轴所围的面积在数值上就等于弹簧弹力做功的多少。如
图所示,当弹簧的伸长量是Δl时,弹簧弹力做功W=- kΔl2。
【自我小测】
弹簧原长为l0,劲度系数为k。用力把它拉到伸长量为l,拉力所做的功为W1;继续拉弹簧,使弹簧在弹性限度内再伸长l,拉力在继续拉伸的过程中所做的功为W2。试求W1与W2的比值。
【解析】把弹簧拉到伸长量为l过程中弹力大小的平均值
故该过程拉力做功W1= 使弹簧在弹性限度内再伸长
l过程中弹力大小的平均值 (kl+2kl)= kl，该过程拉力做
功W2= ×l= kl2。
所以W1∶W2=1∶3。
答案：1∶3
【补偿训练】1.如图所示,轻质弹簧一端固定,另一端与物块拴接,物块放在光滑水平面上。现用外力缓慢拉动物块,使物块移动了距离l,在此过程中外力所做的功为W,则弹簧的劲度系数为多大?
【解析】缓慢拉动物块移动距离l过程中，外力的平均值
外力做功 故弹簧的劲度系数k= 。
答案：
2.如图所示,轻质弹簧直立在水平地面上,将质量为m的物块轻轻地放在弹簧上,达到稳定状态时弹簧被压缩了l,则此时弹簧具有的弹性势能为多大?
【解析】当物块处于稳定状态时,物块所受的重力与弹簧的弹
力大小相等时,即mg=kl。从物块与弹簧接触到压缩到l过程弹簧
弹力随位移的变化的平均值 = kl= mg,故该过程弹力对物
块做功W=- l=- mgl。所以此时弹簧具有的弹性势能Ep=-W=
mgl。
答案: mgl