物理·必修2（人教版）
第七章　机械能守恒定律
第五节　探究弹性势能的表达式
情 景
切 入
拉满的弯弓可以把箭射出去；压缩的弹簧可以把小球弹得很远；上紧的钟表发条能够驱动表针走动．可见，发生弹性形变的物体在恢复原状的过程中能够做功，说明它具有能量．
课 标
点 击
1．理解弹性势能的概念，理解弹性势能的相对性．
2．知道弹力做功与弹性势能变化的关系．
3．理解弹性势能与哪些量有关．
课 前
导 读
一、弹性势能
1．概念．
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有________的相互作用而具有的势能．
2．决定弹性势能大小的相关因素的猜想．
弹性势能与重力势能同属于________，由此影响弹性势能的因素猜想如下：
弹力
势能
课 前
导 读
高度
形变量
A
A
劲度系数　形变量
课 前
导 读
二、弹性势能大小的探究
1．弹力做功特点．
随弹簧________的变化而变化，还因为________的不同而不同．
2．弹力做功与弹性势能的关系．
形变量
弹簧
课 前
导 读
3．“化变为恒”求拉力做功．
W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋…＋________．
4．“Fl”图象面积的意义．
表示________的值．
FnΔln
弹性势能
问 题
探 究
问题一　怎样理解弹性势能？
1．弹性势能的特点．
(1)弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点，因相对位置改变而具有的能量，因而也是对系统而言的．
(2)弹性势能也是相对的，其大小在选定了零势能面后才有意义．对弹簧，零势能面一般选弹簧自由长度时为零．
(3)物体上升，物体克服重力做功，重力势能增加，用力拉或压弹簧，弹簧克服弹力做功，弹性势能增加．
问 题
探 究
2．弹力做功与弹性势能变化的关系．
如图所示，弹簧左端固定，右端连一物体，O点为弹簧的原长处．
当物体在由O点向右移动的过程中，弹簧被拉长，弹力对物体做负功，弹性势能增加；当物体由O点向左移动的过程中，弹簧被压缩，弹力对物体做负功，弹簧弹性势能增加．
问 题
探 究
当物体在由A点向右移动的过程中，弹簧的压缩量减小，弹力对物体做正功，弹性势能减小；当物体由A′点向左移动的过程中，弹簧的伸长量减小，弹力做正功，弹性势能减小．
总之，当弹簧的弹力做正功时，弹簧的弹性势能减小，弹性势能变成其他形式的能；当弹簧的弹力做负功时，弹簧的弹性势能增大，其他形式的能转化为弹簧的弹性势能．这一点与重力做功跟重力势能变化量的关系相似．
问 题
探 究
名师提示：发生形变的物体不一定有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能．
问 题
探 究
尝试应用
1．关于弹性势能，下列说法错误的是(　　)
A．发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B．只有弹簧在发生弹性形变时才具有弹性势能
C．弹性势能可以与其他形式的能相互转化
D．弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳
问 题
探 究
B
发生弹性形变的物体的各部分之间由于有弹力的相互作用都具有弹性势能，选项A正确，选项B错误；弹性势能跟重力势能一样，可以与其他形式的能相互转化，选项C正确；所有能的单位跟功的单位相同，在国际单位制中的单位都是焦耳，选项D正确．

问题二　弹性势能表达式的探究
1．探究弹性势能的表达式的思路．
探究弹性势能的表达式的基本思路：从功能关系着手研究．功能关系是定义某种形式的能量的具体依据，从计算某种力的功入手是探究能的表达式的基本方法和思路．因此，探究弹性势能时，要从弹力做功入手进行分析．

2．弹簧弹性势能可能与哪几个物理量有关．
(1)如图所示，压缩的弹簧能将物体弹出，弹簧的压缩量越大，物体被弹出的距离越远，说明弹性势能与弹簧长度的改变量有关．
(2)用不同劲度系数的弹簧做实验，发现压缩量相同的情况下，劲度系数越大的弹簧，将物体弹出的距离越远，说明弹性势能与弹簧的劲度系数有关．
3．探究弹性势能的表达式的过程．
(1)类比重力势能的决定因素，猜测弹性势能的决定因素．

①重力势能的大小与物体的质量和高度有关，弹簧的弹性势能是否与弹簧被拉伸的长度有关？
答案是肯定的，因为弹簧的形变量越大，它对外做的功就越多．
②重力势能Ep＝mgh，与高度成正比，弹簧的弹性势能是否与弹簧被拉伸的长度成正比？
不能确定，因为举物体时，重力不变，拉弹簧时，拉得越长，拉力越大．
③弹簧的弹性势能是否与弹簧的劲度系数k有关？

答案是肯定的，因为拉伸相同的长度，k越大，用力越大．
④弹簧的弹性势能应该与弹簧的伸长量l和劲度系数k有关，其表达式怎样？
不能确定，但能肯定弹性势能随k、l的增大而增大．
(2)类比重力势能的定义方法，弄清弹簧弹力做的功与弹性势能的关系．
重力势能的变化与重力做功有关，且重力所做的功与重力势能的变化之间的关系为WG＝－ΔEp，那么弹簧的弹力所做的功是否与弹性势能的变化也有如此关系呢？

答案是肯定的，因为弹力与重力类似，均由相互作用的物体(或物体各部分)的相对位置决定，且重力和弹力做功都与路径无关，更为重要的是我们可以确定弹力做正功时，弹性势能减少，弹力做负功时，弹性势能增加，由功能关系也应有W弹＝－ΔEp.
4．弹簧弹力做功的确定．
(2)该式在教材中没有出现，也不要求定量计算，但了解这一形式对定性分析还是很有帮助的．
(3)弹性势能的求解，通常由能量转化的方式利用能量守恒(后面将要学习)求解．
(4)弹性势能表达式推导中，求弹力做功时用了极限思想，即Δl很小时，弹力可视为恒力；数形结合思想，作F－l图象．图象的面积值表示弹力做的功，用转化思想把求弹性势能Ep转化为求弹力做功．

名师提示：不能对全过程用一次功的公式W＝Flcos α计算拉力的功，是由于弹簧拉力是随弹簧形变量的变化而变化的．弹性势能的改变仅与弹力做功有关，弹力做多少正功，弹性势能就减少多少；弹力做多少负功，弹性势能就增加多少．
问 题
探 究
尝试应用
2．如图所示，在光滑水平上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中下列说法正确的是(　　)
A．弹簧对物体做正功，弹簧的弹性势能逐渐减少
B．弹簧对物体做负功，弹簧的弹性势能逐渐增加
问 题
探 究
C
C．弹簧先对物体做正功，后对物体做负功，弹簧的弹性势能先减少后增加
D．弹簧先对物体做负功，后对物体做正功，弹簧的弹性势能先增加后减少

题型1 弹性势能的计算
例1弹簧原长L0＝15 cm，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到L1＝20 cm 时，作用在弹簧上的力为400 N，问：
(1)弹簧的劲度系数k为多少？
(2)在该过程中弹力做了多少功？
(3)弹簧的弹性势能变化了多少？
(1)8 000 N/m 　(2)－10 J　(3)10 J
变式应用
1．在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为2.0 kg的木块相连，若在木块上再作用一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动0.10 m，力F做功2.5 J．此时木块再次处于平衡状态，力F的大小为50 N，如图所示．求：
在木块下移0.10 m的过程中弹性势能的增加量．

弹性势能的增加量等于弹力做负功的值，所以设法求出弹簧弹力做的功是解决问题的关键．
木块下移0.10 m的过程中，F与重力的合力等于弹簧弹力，所以力F和重力做的功等于弹簧弹性势能的增加量，故弹性势能的增加量为：ΔEp＝WF＋mgh＝2.5＋2.0×10×0.10＝4.5 (J)．
4.5 J

题型2 弹力做功与弹性势能变化的关系
例2如图所示，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连着一个轻弹簧，用手拉住弹簧上端上移H，将物体缓缓提高h，拉力F做功WF，不计弹簧的质量，则下列说法正确的是(　　)
A．重力做功－mgh，重力势能减少mgh
B．弹力做功－WF，弹性势能增加WF
C．重力势能增加mgh，弹性势能增加FH
D．重力势能增加mgh，弹性势能增加WF－mgh

可将整个过程分为两个阶段，拉力克服弹力做功WF1＝－W弹，等于弹性势能的增加；二是弹簧长度不变，物体上升h，拉力克服重力做功WF2＝－WG＝mgh，等于重力势能的增加，由WF1＋WF2＝WF可知A、B、C错误，选项D正确．
D

名师归纳：弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加．

变式应用
2．一根弹簧的弹力与弹簧的伸长量之间的关系图线如图所示，那么弹簧的伸长量由8 cm到4 cm的过程中，弹力做功与弹性势能的变化量分别为(　　)
A．3.6 J，－3.6 J B．－3.6 J，3.6 J
C．1.8 J，－1.8 J D．－1.8 J，1.8 J

C